Fonctions de la variable complexe, ENS de Cachan,
2001-02, 0 Introduction
0.1 Formules
Gr^ace aux fonctions de la variable complexe, on peut obtenir de nombreuses formules, dont voici quelques exemples:
1. des developpements en serie,
2sin2
z
=X
n2Z
(
z n
1 )2 pourz
2C Z;
2. des developpements en produits innis,sin
z
z
=+1
Y
n=1(1
z
2n
2);
pourz
2C;
3. des transformees de Fourier,Z
+1
1
e
ixdx
1 +
x
2 =e
jj pour 2R;
4. des calculs de rayon de convergence,R
conv(tan) = 2:
0.2 Theoremes
De nombreux theoremes ont une demonstration (relativement) facile lorsque l'on utilise les fonctions de la variable complexe, alors m^eme que leur enonce ne fait pas intervenir de maniere directe ces fonctions:
1. Le theoreme de d'Alembert-Gauss : tout polyn^ome non constant de la variable complexe admet au moins une racine (complexe).
2. Le theoreme de Riemann : tous les ouverts simplement connexes de
R
2sont homeomorphes (et m^eme, une fois identies a des ouverts de
C, et a l'exception de C lui{m^eme, ils sont en bijection a travers des applications (bi-)holomorphes).
3. Les theoremes d'interpolation : les operateurs lineaires continus de
l
1 dansl
1 et del
1 dansl
1 se prolongent en operateurs continus del
p dansl
p pour toutp
2[1;
+1].4. Le theoreme de Wiener : Soit
f
une fonction 2-periodique de R dansC qui ne s'annule pas et dont les coecients de Fourier verientP
j
c
n(f
)j<
+1. Alors 1=f
est developpable en serie de Fourier et ses coecients verientPjc
n(1=f
)j<
+1.5. Le theoreme des nombres premiers : Si
(x
) designe le nombre de nombres premiers inferieurs ax
, alors(x
) equivaut ax=
logx
, lorsquex
tend vers +1.0.3 Proprietes de structure
La theorie des fonctions holomorphes (C-derivables sur un ouvert deC) jouit de proprietes de structure beaucoup plus agreables que celles des fonctions derivables de RdansR. En eet :
1. toute fonction holomorphe est
C
1 et m^eme analytique,2. la convergence compacte d'une suite de fonctions holomorphes entra^ne celle de ses derivees de tout ordre.
0.4 Fonctions
La theorie des fonctions de la variable complexe permet de mettre en lumiere des fonctions aux proprietes remarquables :
1. la fonction ,
2. la fonction
de Riemann, 3. la fonction P de Weierstrass.1 Proprietes elementaires
1.1 Denition
Denition
: Soit C un ouvert etz
0 2 . On dit quef
: ! C estC-derivable en
z
0 (de derivee complexef
0(z
0)) lorsqueh!0;(h6=0lim;z0+h2)
f
(z
0+h
)f
(z
0)h
=f
0(z
0):
Si
f
est C-derivable en tout pointz
0 de , on dit quef
est holomorphe sur et on notef
2H(). Lorsquef
2H(C), on dit quef
est entiere.Remarque
: Sif
: !C estC-derivable enz
0, alors elle est continue enz
0.Proposition
: On a les m^emes proprietes algebriques avec la derivation complexe qu'avec la derivation usuelle:1. Si
f;g
: ! C sont C-derivables enz
0 de deriveesf
0(z
0) etg
0(z
0) respectivement, alorsf
+g
etfg
sont encore C-derivables enz
0, de derivees respectivesf
0(z
0) +g
0(z
0) etf
(z
0)g
0(z
0) +f
0(z
0)g
(z
0).2. Si
f
: ! C est C-derivable enz
0 de deriveef
0(z
0) et sif
(z
0) 6= 0, alors 1=f
estC-derivable enz
0 de derivee ff(0z(z00)) 2.
3. Soit
;
0 deux ouverts de C, etf
: ! C,g
: 0 ! C. Soitz
0 2 tel quef
(z
0) 20. Alors sif
est C-derivable enz
0 de deriveef
0(z
0) et sig
est C-derivable enf
(z
0) de deriveeg
0(f
(z
0)), la composeeg of
estC-derivable enz
0 de deriveef
0(z
0)g
0(f
(z
0)).4. Soit
I
un intervalle de R, un ouvert deC,f
: !C et:I
!C. On suppose quet
0 2I
et (t
0) 2. Alors si est derivable ent
0 de derivee0(t
0) et sif
est C-derivable en (t
0) de deriveef
0((t
0)), la composeef o
est derivable ent
0 de derivee0(t
0)f
0((t
0)).Preuve
: Les demonstrations sont identiques a celles des proprietes correspondantes dans le cas reel.Corollaire
: SiP
2 C[X
], la fonctionz
7!P
(z
) est entiere et sa derivee complexe est egale a la fonctionz
7!P
0(z
), ouP
0 est la derivee formelle deP
. SiP;Q
2C[X
]C[X
] f0g, la fonctionz
7!P
(z
)=Q
(z
) estholomorphe surC
Q
1(f0g) et sa derivee complexe est egale a la fonctionz
7! P0(z)Q(Qz)(zP)2(z)Q0(z), ouP
0;Q
0 sont les derivees formelles deP
etQ
.Preuve
: Il sut d'utiliser les proprietes algebriques de laC-derivation et les fonctionsz
7!c
(pourc
2C donne) etz
7!z
.Proposition
: Soit Pn2Na
n(z z
0)n une serie entiere de rayon de convergenceR
2]0;
+1] avecz
0;
(a
n)n2N2C. Alors1. la serie entierePn2N
na
n(z z
0)n 1 est encore de rayon de conver- genceR
,2. la fonction
z
2B
(z
0;R
) 7! Pn2Na
n(z z
0)n est holomorphe surB
(z
0;R
) et sa derivee complexe enz
estPn2Nna
n(z z
0)(n 1). Elle est doncC-derivable une innite de fois.Preuve
: On sait queR
Pan(z z0)n = supfr
2[0;
+1[;
(a
nr
n)n2Nest une suite bornee g. On en deduit que
R
Pnan(z z0)n 1R
Pan(z z0)n d'une part, et que, pour" >
0 assez petit,R
Pn an(z z0)n 1R
Pan(z z0)n"
d'autre part. En eet, on a (toujours pour" >
0 assez petit)nlim!1
n
R
Pan(z z0)n"
R
Pan(z z0)n"=
2n
= 0
:
En appliquant l'argument precedent a la serie entierePn2N
na
n(z z
0)n 1, on voit que la serie entiere P+1n=2n
(n
1)a
n(z z
0)n 2 a encoreR
pour rayon de convergence.On remarque alors que pour tout
w;h
2C, on a d'apres la formule de Taylor avec reste integral a l'ordre 2:(
w
+h
)nw
nnhw
n 1 =Z
1
0
(1
)d
2d
2(w
+h
)nd;
d'ou l'inegalite
(
w
+h
)nw
nnhw
n 1
j
h
j2n
(n
1)(jw
j+jh
j)n 2:
On en deduit le resultat demande.Corollaire
: La fonctionz
7!e
z(denie pare
z =P+1n=0 znn!) est entiere, ainsi que les fonctions trigonometriques et hyperboliques qui s'en deduisent:z
7!cosz
=e
iz+e
iz2
; z
7!sinz
=e
ize
iz 2i ;
z
7! chz
=e
z+e
z2
; z
7! shz
=e
ze
z2
:
Remarque
: Attention, les proprietes de type \egalite" de ces fonctions (telles que cos2z
+ sin2z
= 1) se conservent en general pourz
2 C, mais pas le plus souvent celles de type \inegalite" (telles quejcosz
j1, valable pourz
2R, mais pas pourz
2C).Denition
: Soit C un ouvert. On dit quef
: ! C est analytique sur lorsque pour toutz
0 2 ,f
est developpable en serie entiere autour dez
0 (avec un rayon de convergence strictement positif).Corollaire
: Soit C un ouvert. Sif
: ! C est analytique sur , alors elle est holomorphe sur .Remarque
: On peut montrer directement qu'une serie entiere est analytique sur son disque (ouvert) de convergence. On verra par la suite que toute fonction holomorphe etant analytique, ce resultat est aussi un corollaire de la proposition precedente.1.2 Les relations de Cauchy{Riemann
Denition
: Soit C un ouvert. On note ~ l'ouvert de R2 suivant :~ = f(
x;y
)=x
+iy
2g. Sif
est une application de dans C, on note ~f
l'application de ~ dansR2 denie par ~f
(x;y
) = (Ref
(x
+iy
);Imf
(x
+iy
)).Reciproquement, si
U
R2 est un ouvert, on noteU
C l'ouvert forme par lesfx
+iy=
(x;y
)2U
g, et pourg
= (g
1;g
2) application deU
dansR2, on denitg
:U
!C parg
(x
+iy
) =g
1(x;y
) +ig
2(x;y
).Proposition
: Soit C un ouvert, etz
0 2 . On a equivalence entre les proprietes suivantes:1.
f
estC-derivable enz
0 (de deriveef
0(z
0)),2. ~
f
est dierentiable en (Rez
0;Imz
0) et sa matrice Jacobienne est une matrice de similitude directe (egale aRef
0(z
0)Imf
0(z
0)Imf
0(z
0)Ref
0(z
0)
), 3. ~
f
= ( ~f
1; f
~2) est dierentiable en (Rez
0;Imz
0) et ses derivees partiellesen ce point verient les relations de Cauchy{Riemann
@ f
~1@
1 (Rez
0;Imz
0) =@ f
~2@
2 (Rez
0;Imz
0);
@ f
~1@
2 (Rez
0;Imz
0) =@ f
~2@
1 (Rez
0;Imz
0) (etf
0(z
0) = @@f~11(Rez
0;Imz
0) +i
@@f~21(Rez
0;Imz
0)).Preuve
:f
(z
0+h
)f
(z
0) =f
0(z
0)h
+o
(jh
j)()
f
(Rez
0+Reh
+i
(Imz
0+Imh
))f
(Rez
0+iImz
0)= (
Ref
0(z
0) +iImf
0(z
0))(Reh
+iImh
) +o
(jh
j)()
f
~1(Rez
0+Reh;Imz
0+Imh
) ~f
1(Rez
0;Imz
0)f
~2(Rez
0+Reh;Imz
0+Imh
) ~f
2(Rez
0;Imz
0)
=
Ref
0(z
0)Imf
0(z
0)Imf
0(z
0)Ref
0(z
0)
Imh Reh
+
o
(jh
j):
Exemple
: Les fonctionsz
7!z
etz
7! jz
j2 sont dierentiables (en tant que fonctions deR2dansR2) mais pas holomorphes surC (chercher les points deC-derivabilite).Lorsque
P
2C[X
], on sait quex
+iy
7!P
(x
+iy
) est holomorphe. Ce n'est par contre pas le cas en general pourx
+iy
7!P
1(x;y
) +iP
2(x;y
), quandP
1;P
22R[X
]. Ainsi,z
7!jz
j2 n'est pas holomorphe surC alors quej
z
j2 =x
2+y
2 pourz
=x
+iy
, (x;y
2R).Exemple
: La fonction log qui ax
+iy
2C R associe 12 log(x
2+y
2) +i
arctan (y=x
) six >
0;
12 log(x
2+y
2) +i
2i
arctan (x=y
) siy >
0;
12 log(x
2+y
2)i
2i
arctan (x=y
) siy <
0;
est bien denie et holomorphe surC R , on l'appelle determination prin- cipale du logarithme. On voit facilement qu'elle est identique au logarithme usuel surR+.
En coordonnees polaires, (et pour
2];
[),sa valeur est log(re
i) = logr
+i
.Cette fonction ne peut pas se prolonger contin^ument surC car
y!0lim+;x!x0log(
x
+iy
) = limy!0 ;x!x0log(
x
+iy
) + 2i
pour tout
x
0 2R.Attention a l'utilisation des formules telles que log(
e
z) =z
oulog(
z
1z
2) = logz
1 + logz
2. Elles ont un domaine de validite qui ne re- couvre pas entierement le domaine ou chacuns des termes qui les composent peuvent ^etre denis. En pratique, on note souvent log au lieu de log. At- tention donc aux confusions !En general, pour tout C ouvert connexe, on appelle determina- tion du logarithme (ou simplement logarithme) une fonction
f
: ! C holomorphe telle quee
f(z) =z
sur . Un tel logarithme n'existe pas pour tout ouvert de C. D'autre part sif
1 etf
2 sont deux logarithmes sur un m^eme ouvert C (toujours suppose connexe), alors il existek
2Ztel quef
1f
2 = 2ki
.On denit la determination principale des puissances
-iemes surC Rpar
z
=e
logz:
Ce sont encore des fonctions holomorphes sur C R . Elles peuvent se prolonger en fonctions holomorphes surC si et seulement si
e
2i = 1, i.e.si
2 Z. Elles peuvent se prolonger en fonctions holomorphes sur C si et seulement si2N(ce sont alors des polyn^omes).2 Integrale le long d'un chemin et applications
2.1 Denition
Denition
: Soit C un ouvert. On appelle chemin continu (resp.continu et
C
1 par morceaux, resp.C
1) de une application : [a;b
]! (aveca < b
) continue (resp. continue etC
1 par morceaux, resp.C
1). Si de plus (a
) = (b
), on dit que le chemin est un lacet. L'ensemble ([a;b
]) de est appele \image du chemin".Denition
: Deux chemins 1;
2 : [a
1;b
1];
[a
2;b
2] ! sont ditsC
1- equivalents lorsqu'il existe : [a
1;b
1]![a
2;b
2] bijection de classeC
1 ainsi que sa reciproque (i.e. 0 ne s'annule pas sur [a
1;b
1]) telle que 1 =2o
. Si de plus on peut choisir croissante, on dit que les chemins sontC
1- equivalents et de m^eme orientation.Remarque
: Il s'agit dans les deux cas de relations d'equivalence.On notera [
] et []or la classe d'equivalence relative a ces relations. Engeometrie, on parle d'arc geometrique et d'arc geometrique oriente. Atten- tion, a cause des points doubles et des extremites, ce ne sont pas en general des sous-varietes deC (identie a R2).
Remarque
: Tout chemin est equivalent (de m^eme orientation) a un chemin dont la source est [0;
1]. Il sut de prendre une bijectionane.Remarque
: Soit un ouvert de C et deux chemins 1;
2 : [a
1;b
1];
[a
2;b
2] ! tels que 1(b
1) = 2(a
2). On denit 1 [2 (parfois note1+2): [a
1;b
1+b
2a
2]! part
7!1(t
) sit
2[a
1;b
1];
t
7!2(t
+a
2b
1) sit
2[b
1;b
1+b
2a
2];
et 1: [a
1;b
1]! part
7!1(b
1+a
1t
):
On voit tout de suite que si
1;
2 sont continus (resp. continus etC
1 par morceaux), il en est de m^eme pour1[2 et 1. Par contre1[2 peut ne pas ^etre de classeC
1 alors que 1 et2 le sont !Exemple
: Siz
1;z
2 2 C, alorst
2 [0;
1] 7! (1t
)z
1 +tz
2 est un chemin de classeC
1 note [z
1;z
2]. Le cas ouz
1=z
2 (lacet reduit a un point) appara^tra souvent dans la suite.Lorsque
z
1 =x
1 +iy
1;z
2 =x
2+iy
1, ce chemin est equivalent at
2 [x
1;x
2] 7!t
+iy
1. De m^eme, lorsquez
1 =x
1 +iy
1;z
2 =x
1 +iy
2, ce chemin est equivalent at
2 [y
1;y
2] 7!x
1 +it
. LorsqueT
C est un triangle dont les sommetsz
1;z
2;z
3 sont orientes positivement par rapport a son isobarycentre, on denit@T
= [z
1;z
2][[z
2;z
3][[z
3;z
1].Exemple
: Lorsquez
0 2C,r >
0 on noteC
(z
0;r
) le chemin [0;
2]!C deni par
t
7!z
0 +re
it. On utilise aussi souvent des arcs de cercles, denis par la m^eme formule, mais avec un ensemble source dierent.Denition
: Soit un ouvert de C,f
: ! RN ou CP continue, et : [a;b
] un chemin continu etC
1 par morceaux. On noteZ
f
=Zf
(z
)dz
=nX1i=0
Z ti+1
ti
f
((t
))0(t
)dt;
ou les
a
=t
0< :: < t
n=b
sont les points ou n'est pas derivable.Remarque
: Il s'agit de l'integrale curviligne habituelle si l'on identie a un ouvert deR2.Remarque
: La quantite Rf
ne depend que de []or. De plus, un changement d'orientation de produit un changement de signe de Rf
.Proposition
: Soit C un ouvert etf
2H(). Soit un chemin de continu et de classeC
1 par morceaux. Alors
Z
f
sup
z2([a;b])j
f
(z
)j long ();
oulong (
) =nX1i=0
Z ti+1
ti j
0(t
)jdt:
Preuve
: C'est une consequence immediate de la denition de l'integrale sur un chemin d'une fonction continue.Exercice
: Calculer RC(a;r)dzz pourr
6=ja
j.Exercice
: Calculer R@T dzz ouT
est le triangle de sommetsf 1;
1g,f2
;
1g,f 1;
2g.Exercice
: Montrer que pour tout triangleT
C, on aZ
@T
dz
= 0 etZ
@T
z dz
= 0:
2.2 Formule de Cauchy dans les ouverts convexes
Theoreme
(Goursat): Soit un ouvert deC, etT
un triangleplein
ferme. Lorsque
f
2H() (ouf
2H( fz
0g)\C
()), on aZ
@T
f
= 0:
Preuve
: On suppose pour commencer quez
0 2= T
. On poseT
0=T
et on noteT
0(1);::;T
0(4)les triangles semblables aT
0de rapport 1=
2;
1=
2;
1=
2;
1=
2 obtenus en prenant les milieux des segments qui formentT
. On aZ
@T
f
=X4i=1
Z
@T0(i)
f:
Donc il existe
i
0 2f1;::;
4gtel que
Z
@T0(i0)
f
14
Z
@T
f
:
On pose alorsT
1=T
0(i0).On construit par recurrence des triangles
T
k de la maniere suivante:on suppose que
T
k est deni, et on considereT
k(1);::;T
k(4)les triangles sem- blables aT
k de rapport 1=
2;
1=
2;
1=
2;
1=
2 obtenus en prenant les milieux des segments qui formentT
k. On peut alors trouveri
k 2f1;::;
4gtel que
Z
@Tk(ik)
f
14
Z
@Tk
f
:
On pose alorsT
k+1=T
k(ik).On notef
z
~g =\n2NT
n (intersection de compacts embo^tes de C dont le diametre tend vers 0).On a
Z
@T
f
4k
Z
@Tk
f
4k
Z
@Tk
f
(z
)f
(~z
) (z z
~)f
0(~z
)
dz
4k sup
a;b2Tkj
a b
j long (@T
k) supjz ~zjdiam(
T
k)
f
(z
)f
(~z
)z z
~f
0(~z
)
2kdiam(T)2 k long (
@T
) supz2B(~z;2 kdiam(T))
f
(z
)f
(~z
)z z
~f
0(~z
)
:
On en deduit que Z
@T
f
= 0:
Lorsque
z
0 2T
, on coupe le triangle en quatre morceaux pour se ramener au cas ouz
0 est au sommet. Dans ce dernier cas, on coupe de nouveau en quatre morceaux le triangle, celui qui contient le sommet etant de mesure arbitrairement petite. Commef
est bornee, le resultat s'en de- duit.Corollaire
: Soit C un ouvertconvexe
, etf
2 H() (ouf
2H( f
z
0g)\C
()). Alors il existeF
2H() primitive complexe def
, i.e.telle que
F
0=f
.Preuve
: Soit ~z
2. On poseF
(z
) =R[~z;z]f
, ce qui est bien deni car est convexe.On a
F
(z
+h
)F
(z
) =Z
[~z;z+h]
f
Z[~z;z]
f
=
Z
[z;z+h]
f
d'apres le theoreme de Goursat.On en deduit que pour tout
z
2 (etjh
jassez petit),
F
(z
+h
)F
(z
)h f
(z
)
h
1Z
[z;z+h]
f f
(z
)
=
Z
1
0
f
(z
+th
)dt f
(z
)
sup
jz1 zjjhjj
f
(z
1)f
(z
)j et ceci tend vers 0 par continuite def
.Exercice
: En considerant le triangle de sommets 0;R
et (1 +i
)R
et la fonctionz
!e
z2=2, calculer (et demontrer la convergence) de l'integrale de FresnelR0+1e
it2=2dt
.Proposition
: Soit un ouvert deC etf
: !C continue telle qu'il existeF
2H() veriantF
0=f
(au sens complexe). Alors1. Si
est un lacet continu etC
1 par morceaux de , on a Rf
= 0, 2. Si1et2 sont deux chemins continus etC
1par morceaux de ayantm^emes extremites,R1
f
=R2f
.Preuve
: Le premier point est une consequence du deuxieme, il sut de prendre pour2 un lacet reduit a un point.On montre donc le second point. Soit
: [a;b
]! un chemin continu etC
1 par morceaux. On a alorsZ
f
=nX1i=0
Z ti+1
ti
f
((t
))0(t
)dt
=nX1
i=0
Z ti+1
ti (
F o
)0(t
)dt
=nX1
i=0
F
((t
i+1))F
((t
i))=
F
((b
))F
((a
)):
On voit donc que si
1 et2 ont m^emes extremites, on a bien R1f
=R2f
.Corollaire
: Soit C un ouvertconvexe
, etf
2 H() (ouf
2H( f
z
0g)\C
()), alors la conclusion de la proposition precedente est encore valable.Exercice
: Calculer la transformee de Fourier d'une Gaussienne centree reduite, c'est{a{direR+11e
i x x2=2dx
.2.3 Formule de Cauchy pour les chemins homotopes
Denition
: Soit C un ouvert et 1;
2 : [a;b
] ! deux chemins continus denis sur un m^eme intervalle.1. On dit que
1 et2 sont homotopes (dans ) lorsqu'il existeH
: [a;b
][0;
1]! continue (des deux variables), dite homotopie de chemins, telle queH
(;
0) =1,H
(;
1) =2.2. Si
1et2 ont m^emes extremites, on dit qu'ils sont homotopes stricte- ment (dans ) lorsqu'il existeH
: [a;b
][0;
1]! continue (des deux variables), dite homotopie stricte de chemins, telle queH
(;
0) = 1,H
(;
1) =2, etH
(a;
) =1(a
) =2(a
); H
(b;
) =1(b
) =2(b
):
3. Si
1 et 2 sont des lacets, on dit qu'ils sont homotopes au sens des lacets lorsqu'il existeH
: [a;b
][0;
1] ! continue (des deux vari- ables), dite homotopie de lacets, telle queH
(;
0) =1,H
(;
1) = 2, etH
(;u
) est un lacet pour toutu
2[0;
1].Exercice
: Montrer que l'homotopie de chemin, l'homotopie stricte de chemin et l'homotopie de lacets sont des relations d'equivalence.Remarque
: Si 1;
2 : [a;b
] ! sont des chemins denis sur un m^eme intervalle et equivalents de m^eme orientation, ils sont homotopes strictement: si est le changement de variables (2 = 1o
), on poseH
(t;u
) =1((1u
)t
+u
(t
)).On voit donc que l'on peut denir l'homotopie pour les classes d'equiva- lence de chemins (avec conservation de l'orientation), en se limitant a des changements de variable conservant l'intervalle source. Mais cela permet aussi de justier une denition de l'homotopie (et de ses variantes) pour des chemins n'ayant pas le m^eme intervalle source. On utilise pour cela un changement de variable ane par exemple, qui permet de se ramener au m^eme intervalle. Tout autre changement de variables (conservant l'orienta- tion) donnerait alors le m^eme resultat.
Theoreme
: Soit C un ouvert etf
2H()(ouf
2H( fz
0g)\C
()).1. Si
1 et 2 sont des lacets continus etC
1 par morceaux dehomo- topes au sens des lacets
, on aR1f
=R2f
. En particulier si2 est le lacet reduit a un point,R1f
= 0.2. Si
1et2 sont deux chemins continus etC
1par morceaux de ayant m^emes extremites et etant homotopes strictement,R1f
=R2f
.Preuve
: On commence par montrer 2. On dispose deH
: [a;b
][0;
1]! continue (des deux variables) telle queH
(;
0) = 1,H
(;
1) =2, etH
(a;
) =1(a
) =2(a
); H
(b;
) =1(b
) =2(b
):
On note =d
(H
([a;b
][0;
1]);
c). Il est clair que>
0.On pose
t
j =a
+j
b an . Il est clair quea
=t
0< t
1< :: < t
n =b
. De m^eme, on poseu
j = nj, et on a 0 =u
0< :: < u
n= 1.On denit alors
H
n de la maniere suivante: pourt
2 [t
i;t
i+1],u
2 [u
j;u
j+1],H
n(t;u
) =u
j+1u
u
j+1u
jt
i+1t
t
i+1t
iH
(t
i;u
j) +u
j+1u
u
j+1u
jt t
it
i+1t
iH
(t
i+1;u
j) +u u
ju
j+1u
jt
i+1t
t
i+1t
iH
(t
i;u
j+1) +u u
ju
j+1u
jt t
it
i+1t
iH
(t
i+1;u
j+1):
Il est clair que
H
nest continue et approximeH
au sens suivant:j
H
n(t;u
)H
(t;u
)jsup
j
H
(t;u
)H
(t
i;u
j)j;
jH
(t;u
)H
(t
i+1;u
j)jj
H
(t;u
)H
(t
i;u
j+1)j;
jH
(t;u
)H
(t
i+1;u
j+1)j
sup
jj(t;u) (~t;u~)jjp1+(bn a)2
j
H
(t;u
)H
(~t; u
~)j:
En eet,
H
n(t;u
) est combinaison convexe deH
(t
i;u
j),H
(t
i+1;u
j),H
(t
i;u
j+1) etH
(t
i+1;u
j+1).Comme
H
est uniformement continue (gr^ace au theoreme de Heine), on voit queH
nconverge versH
uniformement sur [a;b
][0;
1]. En particulier, lorsquen
est assez grand, on ad
(H
n([a;b
][0;
1]);
c)=
2, doncH
n est une homotopie stricte de chemin entreH
n(;
0) etH
n(;
1).De plus
H
npossede par rapport aH
une propriete supplementaire : ses sections (c'est-a-dire les fonctionsH
n(t;
) etH
n(;u
) sont toutes continues et de classeC
1 par morceaux (en fait anes par morceaux).On ecrit
Z
Hn(;0)
f
ZHn(;1)
f
=Z
t2[a;b]7!Hn(t;0)
f
+Z
u2[0;1]7!Hn(b;u)
f
Z
t2[a;b]7!Hn(t;1)
f
Zu2[0;1]7!Hn(a;u)
f
= K
2
X
k=1
Z
Hn(@R(K)k )
f;
ou
H
n(@R
(kK)) designe le chemin forme par la reunion des images (parH
n) des quatre intervalles formant@R
(kK),R
(kK) etant lek
-ieme rectangle forme par une partition enK
2 rectangles semblables de [a;b
][0;
1]. Par exemple,H
n(@R
(1K)) =ft
2[a;a
+b a
K
]7!H
n(t;
0)g +fu
2[0; K
1]7!H
n(a
+b a
K ;u
)gf
