I. Fonctions harmoniques

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

Mines Maths 2 MP 2004 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants.

Le premier problème est consacré à l’étude des principales propriétés des fonctions harmoniques (fonctions de deux variables réelles dont le laplacien est nul). Après avoir donné quelques exemples de fonctions harmoniques surR², on démontre trois grandes propriétés de ces fonctions :

• Le principe du maximum, qui affirme qu’une fonction harmonique sur un ouvert et continue sur l’adhérence de cet ouvert atteint son maximum sur son bord.

Cette propriété n’est démontrée que dans le cas où l’ouvert est un disque.

• La propriété de la moyenne, qui affirme que si f est harmonique sur R², alors pour tout point(x0, y0)deR²et pour tout r >0:

1 2π

Z

C((x0,y0),r)

f = f(x0, y0)

• Enfin, le fait que les fonctions harmoniques surR² et bornées sont constantes.

La difficulté de ce problème porte davantage sur la diversité des notions abordées que sur la technicité des questions. C’est un excellent problème de synthèse qui aborde toutes les notions d’analyse au programme.

Le second problème porte sur les difféomorphismes deR². Étant donnésnpoints distincts (A1,A2, . . . ,An) et n autres points distincts (A^′₁,A^′₂, . . . ,A^′_n), on montre l’existence d’un C^∞-difféomorphisme de R² envoyant Ai sur A^′_i pour tout i.

Ce problème demande plus d’initiative et de maîtrise technique que le premier.

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Indications

Problème I 3 On peut poserα= y

x .

4 Montrer la convergence normale de la série de fonctionsPun K.

5 Montrer la convergence normale sur tout compact des séries de fonctions de terme général∂un

∂x , ∂un

∂y , puis celles de terme général∂²un

∂x² , ∂²un

∂y² , ∂²un

∂x∂y pour montrer queϕest de classeC², et enfin calculer le laplacien deϕ.

7 Utiliser le fait que (ap, bp) est un maximum local de la fonction x 7→ fp(x, bp) et de la fonctiony7→fp(ap, y).

9 Remarquer que le maximum de f respectivement sur D et sur C est atteint respectivement en des(x0, y0)et en(x1, y1)puis comparerfp(x0, y0)etfp(x1, y1).

10 Calculer le maximum def −get de g−f.

13 Remarquer que(ρcosθ, ρsinθ)est un paramétrage du cercle de rayonρ.

14 Utiliser le fait que la forme différentielle trouvée à la question précédente est exacte.

15 Intégrer en coordonnées polaires. Commencer par intégrer enθ, utiliser la question précédente, puis intégrer enr.

16 Faire un dessin de la situation décrite dans l’énoncé.

17 Majorer |f(x0, y0)−f(0,0)| en fonction d’une intégrale de |f| sur la différence symétrique de deux disques de rayonr. Utiliser la question précédente, puis faire tendrervers⁺∞.

Problème II

18 Raisonner par récurrence surn.

22 Montrer que si|λ|< 2M

r , alorsθ^P_λ,r est unC^∞-difféomorphisme.

24 Utiliser la question précédente pour construire une suite finie de points Pk

du segment[BB^′]tels queθ_λ,r^Pⁱ(Pi) = Pi+1 et qui laisse les pointsAi invariants.

25 Il y a une erreur d’énoncé : il ne s’agit pas de trouver un endomorphisme, mais bien un difféomorphisme.

26 Distinguer les pointsAiappartenant au segment[BB^′]des autres. La question 24 permet de construire un difféomorphisme échangeant deux points consécutifs du segment et laissant les autres points invariants. Si on numérote les points de ce segment de 1 à n, ce difféomorphisme s’apparente d’un point de vue algébrique à la transposition (i, i+ 1). Le problème qui se pose est donc de construire la transposition(1, n)à partir des transpositions(i, i+ 1).

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I. Fonctions harmoniques

1 La fonctionf est de classeC²; calculons ses dérivées secondes :

∂²f

∂x²(x, y) = e^x+iy et ∂²f

∂y²(x, y) = i²e^x+iy=−e^x+iy

d’où ∆f = 0

Pour tout n ∈ N, la fonction gn est une fonction polynôme, donc elle est de classeC². Pour toutn, on a

∂²gn

∂x² (x, y) =n(n−1)(x+ iy)ⁿ⁻²

et ∂²gn

∂y² (x, y) = i²n(n−1)(x+ iy)ⁿ⁻²=−n(n−1)(x+ iy)ⁿ⁻²

d’où ∆gn= 0

On en déduit ∀n∈N ∆gn= 0

2 Comme suggéré par l’énoncé, on pose r = p

x²+y². On introduit également la fonctionerdéfinie surR² parr(x, y) =e p

x²+y².

On pourrait, comme on le fait souvent, confondre la variable r et le chan- gement de variableer(qui est une fonction), et ce sans être pénalisé lors de la correction. Il peut cependant être de bon ton de faire cette différence, notamment dans les premières questions d’un problème.

On pose h(x, y) =u◦er(x, y)

En tant que composée de fonctions de classeC², h est de classe C² sur R²r{0}, et on peut écrire

∂h

∂x = ∂er

∂xu^′◦er

ainsi que ∂²h

∂x² = ∂²er

∂x²u^′◦er+ ∂er

∂x 2

u^′′◦re et de même pour les dérivées par rapport ày. On trouve alors

∆h= ∆er u^′◦er+k−−→

graderk²u^′′◦er Calculons à présent les dérivées partielles dere:

∂re

∂x(x, y) = x px²+y²

∂²re

∂x²(x, y) = 1 x²+y²

px²+y²−x x px²+y²

= y²

(x²+y²)^3/2 Et par symétrie, on trouve les dérivées partielles par rapport ày:

∂er

∂y(x, y) = y

px²+y² et ∂²er

∂y²(x, y) = x² (x²+y²)^3/2

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On en déduit k−−→

gradrke ² = 1

∆er= 1 re

On trouve alors ∆h(r) = 1

ru^′(r) +u^′′(r) PosonsI = ] 0 ; +∞[. Il vient

hest harmonique ⇐⇒ ∆h= 0

⇐⇒ ∀r∈I 1

ru^′(r) +u^′′(r) = 0

⇐⇒ ∀r∈I u^′(r) +r u^′′(r) = 0

⇐⇒ ∀r∈I d

dr(ru^′(r)) = 0 hest harmonique ⇐⇒ ∃A∈R ∀r∈I u^′(r) = A

r

Enfin hest harmonique ⇐⇒ ∃(A,B)∈R² u(r) = A log(r) + B

3 Sur R²r(y^′Oy), si ν est de classeC², alors la fonction kqui a été définie par k(x, y) =ν(y/x)est de classeC². On pose

e

α: (x, y)7→ y

x et α= y

x On trouve alors, d’après la question précédente,

∆k= ∆α ue ^′◦αe+k−−→

gradαke ²u^′′◦αe Il reste alors à évaluer les dérivées partielles deαe:

∂αe

∂x(x, y) =−y x²

∂²αe

∂x²(x, y) =2y x³

∂αe

∂y (x, y) =1 x

∂²αe

∂y²(x, y) = 0

On en déduit k−−→

gradαke ² = y² x⁴ + 1

x²

∆αe = 2y x³ Par suite kest harmonique ⇐⇒ ∆k= 0

⇐⇒ 2y x³ν^′y

x +y²

x⁴ν^′′y x

+ 1 x²ν^′′y

x = 0

kest harmonique ⇐⇒ 2y x ν^′y

x +

1 +y²

x²

ν^′′y x

= 0

On a alors kest harmonique ⇐⇒ 2αν^′(α) + 1 +α²

ν^′′(α) = 0

⇐⇒ d

dα 1 +α² ν^′(α)

= 0 kest harmonique ⇐⇒ ∃A∈R ν^′(α) = A

1 +α² Conclusion :

kest harmonique ⇐⇒ ∃(A,B)∈R² ν(α) = A Arctan (α) + B