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(1)

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TECHNIQUE

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V AALLA TOUN

MOST AF A Proposition de correction de PH-I TSI Session 2018

I. Questions de cours :

I.1. Généralités

I.1.1. la densit´e volumique de courant:

ρ =

^dQ_dv

= nq

I.1.2. l’expression de la charge

d

³

Q = ρ ( M ) dv = ρ ( M ) ^#» v #»

dsdt

I.1.3. l’expression de la charge #»

J(M)

#» J = ρ ( M ) ^#» v = nq #» v

I.1.4. l’intensit´e I dans le conducteur

I =

^dQ_dt

= R R _#»

J ( M ) ds ^#»

I.2. Bilan de charge

I.2.1. on a :

dQ

_{sur f}

= [ J ( x ) − J ( x + dx )] Sdt = −

^∂J_∂t

Sdxdt = −

^∂_∂t^J

dvdt

I.2.2. la variation de la chargedQ:

dQ

_{sur f}

= [ Q ( t + dt ) − Q ( t )] = [ ρ ( x, t + dt ) − ρ ( x, t )] dv =

^∂ρ⁽_∂t^x,t⁾

dvdt

I.2.3. Bilan local de la charge :

`a partir des deux bilans on trouve :

∂J

∂t

+

^∂ρ_∂t

= 0

Par g´en´eralisation dans les trois directions on trouve la forme locale de la conservation de la charge

div #»

J ( M ) +

^∂ρ⁽_∂t^M,t⁾

= 0

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MOST AF A

I.2.4. Les deux relations de Mawell sont : Mawell-Gauss:

div#»

E = ^ρ

ε0

Mawell-Ampere :

rot#»

B =_µ₀^#»J +_µ₀_ε₀^∂_∂t^#»^E a partir des deux equations on a :

div(rot#»

B) = 0=µ0div#»

J +µ0ε0

∂div#»

E

∂t donc on trouve la forme locale pr´ec´edente :

div #»

J ( M ) +

^∂ρ⁽_∂t^M,t⁾

= 0

I.3. Loi d’Ohm locale

I.3.1. on applique le P.F.D. `a un electron de masse m : md#»v

dt =−e#»

E −^m τ

#»v

donc l’equation differentielle du mouvement est :

d#»v dt + ^#»^v

τ = _m^e ^#»E

la resolution de cette equation donne la solution sous la forme suivante :

#» v = v ^#»

₀

exp (−

^t

τ

) −

^eτ_m

^#» E

I.3.2. En regime permanent la vitesse limite est :

#» v = −

^eτ_m

^#» E

donc :

#» J = − _ne ^#» _v =

^ne_m²^τ

^#» E

I.3.3. La loi d’Ohm locale est :

#» J = γ #»

E

donc la conductivite electrique est donn´ee par l’expression :

γ =

^ne_m²^τ

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MOST AF A I.4. R´esistances des appareils de mesure

I.4.1. Calcul de la r´esistance du galvanom`etre

La résistance d’un conducteur de longueur L , section S et résistivitéρest : R =_ρ^L

S D´efinition

donc

rG =Nρ4l

S =16Nρ l πd²

r

_G

= 16Nρ

_πd^l₂

= 815 Ω

I.4.2. Amp`erem`etre

calcul de la r´esistancers

I_A

A IA

rG

iG

G

rs

is

on utilise diviseur de courant on trouve :

iG = ^r^s rs+r_GIA

Donc :

m= ^I^Amax iGmax

=1+^r^G rs

Ainsi

r

_s

=

_m^r₋^G₁

' 0, 815 Ω

rGetrssont en parall`eles donc

r

_A

=

_r^r^G^r^s

G+r_s

=

^r_m^G

= 0, 815 Ω

I.4.3. Volt-m`etre iG

V

RV

iG rG

G

à partir du schéma équivalent on :

U = (R_V+r_G)i_G =ki_G donc :

k= RV+rG

ainsi :

R

_V

=

_i^U^max

Gmax

− r

_G

= 99, 18k Ω

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MOST AF A

I.4.4.1. `a partir du montage courte d´erivation on a : Rc = ^R.R^V

R+RV

= ^R.

1+ _R^R

V

PuisqueRV >>Ron fait D.L.1

Rc = R(1− ^R R_V) donc

ε

_c

= |

^R^c_R⁻^R

| =

_R^R

V

`a partir du montage longue d´erivation on a :

R_l = R+r_A PuisqueR >>rAon a :

ε

_l

= |

^R^l_R⁻^R

| =

^r_R^A

les graphes deεc(R)_et _ε_l(R)

εl(R) εc(R)

R εl(R) εc(R)

Pour les faibles r´esistances,R/RVest plus petit querA/R: il faut utiliser le montage AVAL Pour les grandes r´esistances, c’est l’inverse il faut utiliser le montage AMONT.

I.4.4.2 Les erreurs introduites sont des erreurs systématiques. Ces erreurs sont par défaut pour la courte dérivation et par excès pour la longue dérivation

II. M´esure de l’intensit´e de courant

II.1. Principe d’un galvanom`etre

II.1.1. La r´esultante de Laplace sur le cadre pour les MNetQPon #»

B etd#»

l sont parall`eles donc la force de Laplace est nulle

sur les deux autres cot´es on a :

#»F_QM =Noi# »

QM∧ ^#»B0 =NoihB0#»n

et #»

FNP = Noi# »

NP∧ ^#»B0=−NoihB0#»n

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avec #»n = ^#»uz∧ ^#»u

et #»

S =S#»n donc la r´esultante des forces de Laplace sur la bobine est :

#»FL = ^#»FQM+^#»FNP =0

II.1.2. Le moment des forces de Laplace sur la bobine

M# »L = ^{# »}MO(^#»FQM) +M^{# »}L(^#»FNP) M# »L =OG^{# »}₄∧ ^#»F_QM+OG^{# »}2∧ ^#»FNP

M # »

_L

= − i2ahN

_o

B

_o

#» u

_z

= − ϕi #» u

_z

II.1.3. Théorème du moment cinétique

d#»

σo

dt = M^{# »}L +M^{# »}r

donc

Jd²θ dt²

#»uz =−Cθ#»uz−iϕ#»uz

ainsi l’équation différentielle vérifie par θ(t)est :

J

^d_dt²₂^θ

+ Cθ = − i ϕ θ ¨ +

^C_J

θ = −

ⁱ_C^ϕ

II.1.4. La puissance fournie par le couple # » M_L est : P =M^{# »}_L∗ −^dθ

dt

#»uz =idθ

dtϕ=ei

Le signe (-) provient du fait que la rotation se fait dans le sens oppos´ee deθ

e = _ϕ _θ ^˙

Remarque :

cas de l’induction de Lorenz : e =NR _#»

Em(M)dl^#»avec #»

Em(M) = ^#»ve∧ ^#»B0

Pour les branches MN et PQ, #»

Em(M) est normal au ciruit donc eest nulle ,mais il est parallele pour les branchesQMet NP, dans la f.e.m. est :

e =N( Z _M

Q

#»Em(M)dl^#»+ Z _P

N

#»Em(M)dl^#») = 2ahNB₀θ˙ = _ϕ_θ^˙

II.1.5. Le circuit ´electrique ´equivalent est :

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à partir du schéma équivalent et l’expression deeon a :

i =

_R^E₊⁺_r^e

G

=

^E_R⁺₊^{θ ϕ}_r^˙

G

i E

R

e rG

II.1.6. L’equation differentielle devient :

θ ¨ +

_J₍_R^C₊²_r

G)

θ ˙ +

^C_J

θ = −

_J₍_R^Eϕ₊_r

G)

qu’on peut mettre sous la forme :

θ ¨ +

²

τ

θ ˙ + _ω

₀²

_θ = _ω

₀²

_θ

_eq

avec

τ = ^2J(R+rG) ϕ

2

; ω02= ^C

J ; θeq =− ^Eϕ C(R+r_G)

L’équation d’un oscillateur amortie , la forme générale de θ(t) est la somme de la solution ho- mogène θ(t)_h et la solution particulière θp tel que la forme de θ(t)_h dépend du signe de ∆⁰ =

1

τ −_ω₀²_donc_θ(t) =_θ_eq+_θ(t)_h

• Si∆⁰ <0 : r´egime pseudo p´eriodique : θ(t) = θeq+Ae⁻^τ^tcos(ωt+ϕ)

• Si∆⁰ >0 : r´egime ap´eriodique : θ(t) = θeq+Ae⁻^r¹^t+Be⁻^r²^t

• Si∆⁰ =0 : r´egime critique : θ(t) = _θ_eq+ (At+B)e⁻^ω⁰^t II.1.7. On a θeq = −_C₍_R^Eϕ₊_r

G) et on a à l’équilibre i = ₍_R₊Ê_r

G) donc θeq = −^iϕ_C donc i est proportionnelle

àθeqpour retrouver cette valeur il faut que le régime transitoire s’annule très vite donc il faut se placer en régime critique.

| θeq | θ(t)

t

II.2. Pince amp`erm´etrique

II.2.1. On a invariance par rotation autour de l’axeoz, par translation le long de z de la distribution de courant et tout plan diam´etral est un plan de sym´etrie de la distribution de courant donc :

#» B ( M ) = B ( r ) ^#» u

θ

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II.2.2. Théorème d’ampère appliqué à un contour circulaire de rayonr:

H _#»

B ( M ) dl ^#» = µ

_o

I

_enl

on trouve

#» B ( M ) =

_2πr^µ^o^I

^#» u

_θ

II.2.3. Le flux `a travers le tore : Φ =_NΦ(spire) = NR R _#»

B(M)ds^#»on trouve :

Φ =

^µ^o_2π^{N Ia}

ln (

^R_R^o⁺^a²

o−^a₂

)

le coefficient d’inductance mutuelle est defini par : Φ= MI donc :

M = ^Φ

I =

^µ_2π^o^Na

ln (

^R_R^o⁺²^a

o−₂^a

)

II.2.4. Le fil est travers´e par un courant variable donc le champ B(t)est variable donc on a l’induction de Neumann ce qui entraine la cr´eation de courant variablei(t)dans le tore

II.2.5. Le flux propre `a travers le tore : Φp = _NΦ(spire) = NR R _{# »}

Bp(M)ds^#»

la distribution de courant est invariant par rotation autour de l’axe ozet tout plan diam´etral est un plan de sym´etrie de la distribution de courant donc :

#» B ( M ) = B ( r, z ) ^#» u

θ

théorème d’Ampère :

H _{# »}

B

_p

( M ) dl ^#» = µ

_o

Ni ( t )

on trouve :

B # »

_p

( M ) =

^Nµ_2πr^oⁱ⁽^t⁾

^#» u

_θ

Donc le flux propre est :

Φ

p

=

^µ^o^aN_2π²ⁱ⁽^t⁾

ln (

^R_R^o⁺^a²

o−^a₂

)

II.2.6. le coefficient d’inductance mutuelle est d´efini par : Φp =Lidonc le flux totale est : Φt = Li(t) +MI D’apres la loi de Fraday one =−^dΦ_dt avece=Ri on a :

e=Ri =−Ldi

dt −MdI dt En notation complexe on trouve la relation :

i = −

_R^MjωI₊_jLω

II.2.7. PourNtr`es grand et en module on a :

i ≈

^M_L

_I ≈

_N^I

ce dispositif permet de mesurer des courants intenses puisque Nest grand , son avantage princi- pale est la mesure de I sans ouverture du circuit

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III. Exemple d’un capteur de temp´erature

III.1. L’expression de la tensionVs:

on utilise le diviseur de courant on trouve :

V

_B

= R

₂

I

₂

=

_R^R²⁽^R³⁺^R⁰⁴⁾

1+R₂+R₃+R⁰₄

I

_o

AvecR⁰₄= R4+RP et

V

_D

= R

₃

I

₃

=

_R^R³⁽^R¹⁺^R²⁾

1+R₂+R₃+R⁰₄

I

_o

DoncVs =VD−VB , on trouve :

V

_s

=

_R^R¹^R³⁻^R²⁽^R⁴⁺^R^P⁾

1+R₂+R₃+R₄+R_P

I

_o

III.2. At=0^◦C, le pont est equilibr´e doncVs =0 doncR1R3−R2(R4,0+RP,0) =0 Ainsi :

R

_4,0

=

^R_R¹^R³

2

− R

_P,0

= R

₁

− R

_P,0

= 900 Ω

III.3. On remplaceR_Ppar son expression et on utilise la condition d’´equilibrage du pontR_4,0on trouve :

V

_S

( t ) ==

_4R⁻^R²^R^P,0^αt

1+_R_P,0_αt

I

_o

=

⁻^t

10⁴+t

III.4. Pourt=100^◦Cdans le d´enominateur 10⁴ >> 10²ainsi :

V

_S

( t ) = − 10

⁻⁴

t

III.5. On peut utiliser le montage A.O. non inverseur on a :

V

_S⁰

( t ) = ( 1 +

^R_R⁰²0

1

) V

_S

( t )

avec : R₂⁰ =_9kΩ,R⁰₁ =_1kΩdonc V_S⁰(t) =10VS(t)

R₁⁰

R₂⁰

Vs

− +

V_S⁰

Je propose un montage A.O. inverseur pour eliminer le signe (-) de la tension VS(t) avec : R⁰₂=_10kΩ,R⁰₁ =_1kΩdoncV_S⁰(t) = −10V_S(t)

Remarque

III.6. On aV_S⁰(t=100^◦C) = −0, 1V le quantum est :q = ^∆V

0 S

2ⁿ−1 =0, 39mV Donc

∆ t = 10

³

q = 0, 39

^◦

C ' 0, 4

^◦

C

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IV. ´Etude d’un capteur de d´eplacement :

IV.1. Expression de la capacit´e d’un condensateur plan :

IV.1. Invariance par translation selonx ety, (xoz) et(yoz) deux plans de sym´etries de la distribution de charge donc

#» E ( M ) = E ( z ) ^#» u

_z

IV.2. Le champ cree par un plan infini est :

#» E ( M ) =

^Q¹

ε₀l²

#» u

_z

IV.3. La circulation de #»

E(M)entre les armatures :

V = V

_P₁

− _V

_P₂

=

^Q¹

ε₀l²

e

IV.4. L’expression de la capacit´e C est :

C =

_V ^Q¹

P1−V_P

2

=

^ε⁰_e^l²

IV.2. Capteur de d´eplacement :

IV.2.1. Les expressions des capacit´es initiales :

C

_12,0

( x = 0 ) =

^ε_2e⁰^l²

C

_13,0

( x = 0 ) =

^ε_2e⁰^l²

C

₀

= C

_13,0

( x =

₂^l

) =

^ε⁰_e^l²

IV2.2. L’armatureP₁est translat´e de x :

C

₁₂

( x ) =

^ε_e⁰

l (

₂^l

− x ) = C

₀

(

¹₂

−

^x_l

)

C

₁₃

( x ) =

^ε_e⁰

l (

₂^l

+ x ) = C

₀

(

¹₂

+

^x_l

)

IV2.3. L’expression devs(t):

On utilise le diviseur de tension aux points Bet D:

v

_B

=

_R₊^R_R

v

_e

=

^v₂^e

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MOST AF A v

_D

=

_Z ^Z^C12

C12+Z_C13

v

_e

v

_D

=

_C^C¹³^v^e

12+C₁₃

Doncvs(t) = vD −vB, on trouve :

v

_s

( t ) =

₂₍^C_C¹³⁻^C¹²

12+C₁₃)

v

_e

on remplace par les expressions deC₁₂ etC₁₃on trouve l’expression suivant :

v

_s

( t ) =

^x_l

v

_e

IV2.4. Le spectre de Fourier devs(t):

v

_s

( t ) =

^X^m_l^V^m

[ cos ( ωt ) × _cos ( ω

_g

t )]

donc :

v

_s

( t ) =

^X^m_2l^V^m

[ cos (( ω

_g

− ω ) t ) + cos (( ω

_g

+ ω ) t )]

en effet le spectre devs(t)contient les deux pulsationsωg−ω etωg+ω IV2.5. Le montage de la figure 8a:

Figure 1: Circuit de conditionnement du signal util

Pour l’amplificateur AO2 ,il me semble une erreur de signe : il faut inverser le signe des deux entrées pour avoir un fonctionnement linéaire , ce qui j’ai pris pour résoudre la question Remarque

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Les r´esistances R1etR2sont parcourus par le mˆeme courantidonc

V

₁

− V

₂

= ( R

₁

+ 2R

₂

) i

et si l’amplificateur AO2 fonctionne en r´egime lin´eaire on a :

V

_D

− V

_B

= v

_s

( t ) = R

₁

i

Donc :

V

₁

− _V

₂

= ( 1 +

^2R_R²

1

) v

_s

( t )

Pour l’amplificateur AO3 , on a fonctionnement lineaire donc : V⁻ = V⁺ , on utilise Millman avec la condition R3 =R₄, on trouve :

v

_s1

( t ) = V

₁

− _V

₂

Ainsi on trouve la relation entrevs1(t)etvs(t):

v

_s1

( t ) = ( 1 +

^2R_R²

1

) v

_s

( t )

Donc le r ˆole du montage est l’amplification devs(t)

IV2.6. Les expressions des tensionsvs2(t)etvs3(t): vs2(t) =k×vs1(t)×ve(t)On trouve :

v

_s2

( t ) =

^kX^m_2l^V^m²

( 1 +

^2R_R²

1

)[ cos ( ωt ) + cos ( ωt ) × cos ( 2ω

_g

t )]

donc :

v

s2

( _t ) =

^kX^m_2l^V^m²

( ₁ +

^2R_R²

1

)[ _cos ( _ωt ) +

¹₂

( _cos (( _2ω

_g

− _ω ) _t ) + _cos (( _2ω

_g

+ _ω ) _t ))]

on pose α= ^kX_2l^m^V^m²(1+^2R_R²

1 )donc :

v

_s2

( t ) = α [ cos ( ωt ) +

¹₂

( cos (( 2ω

_g

− ω ) t ) + cos (( 2ω

_g

+ ω ) t ))]

Le filtre passe bas de fr´equence de coupureωc <<_ω_g_{donc :}

v

_s3

( t ) = α H ( ω ) cos ( ωt + ϕ )

Avec

ϕ = arg ( H )

La chaine n’est pas lin´eaire car elle contient le multiplieur qui fait enrichir le spectre par d’autres harmoniques

IV2.7. Sch´ema d’un filtre passe bas passif et sa pulsation de coupure : la fonction de transfert du filtre

est :

H ( jω ) =

₁₊_jRCω¹

la fr´equence de coupure est : ωc = _RC¹

R

C vs3

vs2

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MOST AF A Proposition de correction de PH-I TSI Session 2018

I. Questions de cours :

I.1. Généralités

ρ =

= nq

d

Q = ρ ( M ) dv = ρ ( M ) #» v #»

dsdt

#» J = ρ ( M ) #» v = nq #» v

I =

= R R #»

J ( M ) ds #»

I.2. Bilan de charge

dQ

= [ J ( x ) − J ( x + dx )] Sdt = −

Sdxdt = −

dvdt

dQ

= [ Q ( t + dt ) − Q ( t )] = [ ρ ( x, t + dt ) − ρ ( x, t )] dv =

dvdt

+

= 0

div #»

J ( M ) +

= 0

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MOST AF A

div #»

J ( M ) +

= 0

I.3. Loi d’Ohm locale

#» v = v #»

exp (−

) −

#» E

#» v = −

#» E

#» J = − ne #» v =

#» E

#» J = γ #»

E

γ =

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MOST AF A I.4. R´esistances des appareils de mesure

r

= 16Nρ

= 815 Ω

r

=

' 0, 815 Ω

r

=

=

= 0, 815 Ω

R

=

− r

= 99, 18k Ω

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Q = ρ ( M ) dv = ρ ( M ) ^#» v #»

#» J = ρ ( M ) ^#» v = nq #» v

= R R _#»

J ( M ) ds ^#»

#» v = v ^#»

^#» E

^#» E

#» J = − _ne ^#» _v =

^#» E

e = _ϕ _θ ^˙

θ ˙ + _ω

_θ = _ω

_θ

#» B ( M ) = B ( r ) ^#» u

H _#»

B ( M ) dl ^#» = µ

^#» u

M = ^Φ

#» B ( M ) = B ( r, z ) ^#» u

H _{# »}

( M ) dl ^#» = µ