Chapitre : Statistiques
v
I. Rappels pour une variable
1. Médiane, quartiles et écart interquartile
Lorsque l’on a ordonné une série statistique par ordre croissant des valeurs, on peut déterminer la médiane et les quartiles en regardant les fréquences cumulées croissantes (ou f.c.c.) :
Définition
• La médiane Meest la plus petite valeur pour laquelle on atteint ou dépasse 50%;
• Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur pour laquelle on atteint ou dépasse 25%;
• Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur pour laquelle on atteint ou dépasse75%; Exemple Imaginons que l’on ait le tableau statistique suivant :
Valeurs 3 5 6 8 11 12 15
f.c.c. (en %) 7 23 36 52 72 84 100 Alors Me= 8 (valeur qui correspond à 52>50),Q1 = 6 etQ3 = 12.
À la place des fréquences on peut utiliser les effectifs (cumulés croissants). Il faut alors déterminer l’effectif total N. Par suite :
• Me est la plus petite valeur pour laquelle l’effectif cumulé croissant dépasse N/2;
• Q1 est la plus petite valeur pour laquelle l’effectif cumulé croissant dépasse N/4;
• Q3 est la plus petite valeur pour laquelle l’effectif cumulé croissant dépasse 3N/4.
Il existe une autre règle pour la médiane (vue au collège), quand on écrit toutes les valeurs dans l’ordre croissant :
• S’il y a un nombre impair de données, c’est la valeur centrale ;
• S’il y a un nombre pair de données, c’est la moyenne des deux valeurs centrales ;
Mais cette règle ne s’applique pas quand les valeurs sont regroupées par classes et a peu d’intérêt quand les effectifs par valeurs sont importants.
Définition
On appelle intervalle interquartilel’intervalle[Q1;Q3]etécart interquartilele nombreQ3−Q1. On peut représenter une série statistique à une variable par un diagramme en boîte (aussi appelé boîte à moustache) de la manière suivante, en reprenant les valeurs de l’exemple plus haut :
Valeurs
0 3
Minimum
6 Q1
8 Me
12 Q3
15 Maximum écart interquartile
La droite est graduée. En particulier, il faut respecter une échelle choisie au départ.
LYCÉE ALFRED KASTLER TSTMG 2015–2016 Devoir maison no01 – mathématiques
Donné le 15/10/2015 – à rendre le 05/11/2015
Exercice 1 Le tableau ci-dessous donne la répartition de personnes d’un groupe suivant leur âge.
Âge 14 15 16 17 18 19 20
Effectif 130 204 271 316 198 77 14 1. Établir le tableau des effectifs cumulés croissants.
2. Déterminer la médiane et les quartiles de cette série.
3. Exprimer par une phrase l’information fournie par chacun des indicateurs fournis à la question précédente.
Exercice 2 Deux tireurs à l’arc A etB ont chacun réalisé 25 tirs sur une cible. Un tir rapporte un nombre de points différent selon la zone : 100,50,30,10et rapporte0points si la cible est manquée.
Ils ont obtenu les résultats suivants :
Nombre de points 0 10 30 50 100 Effectifs pour A 1 6 2 11 5 Effectifs pour B 2 8 3 4 8 1. Pour chacun des deux tireurs :
(a) établir le tableau des effectifs cumulés croissants ; (b) déterminer la médiane ainsi que les quartiles.
2. Représenter les résultats obtenus sous forme de deux diagrammes en boîte ayant la même échelle pour permettre une comparaison.
3. Peut-on indiquer quel tireur semble être le plus doué ? Expliquer.
4. Peut-on indiquer quel tireur semble le plus régulier ? Expliquer.
Exercice 3
Soit C la suite définie par C0 = 1 000 et pour tout n>0 par Cn+1 = 1,05Cn+ 1 000.
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
k etC sont deux nombres réels Initialisation :
k prend la valeur0 C prend la valeur 1 000 Traitement :
Tant que C < 10 000Faire
C prend la valeur 1,05C+ 1 000 k prend la valeur k+ 1
FinTant Sortie :
Afficher k Quel est le rôle de cet algorithme ? Expliquer.
