K Publié dans les Annales des Concours 1/16

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e3a Mathématiques PSI 2020 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l’univer- sité) ; il a été relu par Florian Metzger (professeur en CPGE) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l’université).

L’énoncé est composé de quatre exercices indépendants traitant différents sujets d’analyse, d’algèbre et de géométrie.

• L’exercice 1 étudie la convergence de la série de fonctions X

n

(−1)

√ 1 + nx

en se basant à plusieurs reprises sur le théorème spécial des séries alternées.

On obtient in fine un développement asymptotique de la somme de cette série lorsque x tend vers

∞.

• L’exercice 2 s’intéresse aux matrices carrées à diagonale propre, c’est-à-dire telles que les racines de leur polynôme caractéristique sont égales à leurs élé- ments diagonaux. Un exemple en dimension 3 est étudié et le sujet en profite pour faire une incursion dans les probabilités. On caractérise finalement les matrices symétriques réelles qui sont à diagonale propre.

• L’exercice 3 porte sur les intégrales généralisées de la forme I(λ) =

Z

a

λ − f (t) t dt

lorsque λ varie et que f est une fonction continue sur R . Après avoir étudié le cas où f est la fonction t 7→ cos(t/(1 + t

)), le sujet s’intéresse au cas d’une fonction f qui est T-périodique. L’étude de I(λ) permet d’obtenir un équivalent lorsque x tend vers l’infini de l’intégrale

Z

a

f (t) t dt

À l’aide d’un changement de variable, on en déduit un équivalent lorsque x tend vers l’infini des intégrales

Z

0

| sin(nt)|

t dt puis

Z

0

| sin(nt)|

sin t dt

• L’exercice 4 étudie un endomorphisme d’un plan euclidien donné par la matrice 0 −1

1 2 cos θ

En exhibant un produit scalaire adapté, on montre que f est une rotation d’angle θ.

Le sujet est très varié et aborde de nombreux thèmes aux programmes des deux années de classes préparatoires, ce qui en fait un sujet idéal de révision. Il est réalisable dans le temps imparti, à condition de ne pas traîner sur l’exercice 3, qui demande une bonne maîtrise du cours d’intégration.

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Indications

Exercice 1

1 Appliquer le théorème spécial des séries alternées à la série numérique de terme général f

(x), pour x ∈ J.

3 Montrer la convergence uniforme de la suite des restes partiels

P

k=n+1

f

n∈N

en utilisant à nouveau le théorème spécial des séries alternées pour borner chaque reste par son premier terme, en valeurs absolues.

4 La convergence uniforme montrée à la question 3 permet d’intervertir la limite et la somme.

5.1 Comparer la série P

n>1

u

à la série P

n>0

f

(1).

5.2 Étudier le comportement en l’infini de ϕ(x) − ` − a/ √

x en l’écrivant comme une somme de série. Appliquer alors l’inégalité des accroissements finis au terme général de cette série.

Exercice 2

4.2 Utiliser le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles, puis exploiter le résultat de la question 4.1 pour une matrice diagonale.

4.3 Calculer Tr (A

A) de deux façons différentes, à l’aide des questions 4.1 et 4.2.

Exercice 3

1.1 Composer le développement asymptotique de t 7→ t/(1 + t

) en l’infini et le développement limité de cos à l’ordre 2 en 0.

1.2 Distinguer les cas λ 6= 1 et λ = 1.

2 Calculer de deux façons différentes la limite en

∞ de Z

a

λ − f (t) t dt −

Z

a

µ − f (t) t dt après avoir justifié l’existence des deux intégrales.

3.1 Appliquer le théorème fondamental du calcul intégral.

3.2 Exprimer Z

a

H

(t)/t

dt à l’aide d’une intégration par parties.

4.1 Montrer que la fonction ϕ est de classe C

et de dérivée nulle.

4.4 Appliquer successivement les résultats des questions 4.3, 3.1 puis 2.

5.2 Composer les développements limités de sin en 0 à l’ordre 3 et de 1/(1 − u) en 0 à l’ordre 1.

5.3 Déduire du résultat de la question 5.2 que la fonction t 7→ |1/t − 1/ sin t| est prolongeable par continuité sur le segment [ 0 ; π/2 ].

Exercice 4 4 En écrivant − →

k = x

− → ı + x

− →  , traduire les contraintes sur − →

k en un système d’équations polynomiales vérifiées par x

et x

. On peut aussi préférer employer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

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Exercice 1

1 Soit x ∈ J. Appliquons le théorème spécial des séries alternées pour montrer la convergence de la série numérique P f

(x) :

• le terme (−1)

f

(x) est positif pour tout n ∈ N ;

• pour tout n ∈ N , puisque x est positif,

|f

(x)| = 1

p 1 + (n + 1)x 6 1

√ 1 + nx = |f

(x)|

• comme x est strictement positif et par opérations sur les limites usuelles,

√ 1

1 + nx − −−−− →

n→⁺∞

0

Le théorème spécial des séries alternées assure ainsi que P f

(x) converge simplement pour tout x ∈ J :

La série de fonctions P

f

converge simplement sur J.

On a même montré que la série de fonctions P f

converge simplement sur ] 0 ;

∞ [, puisqu’on a seulement utilisé l’hypothèse x > 0 et pas x > 1.

2 Soit n ∈ N . Calculons la borne supérieure de g

= |f

| sur J. La fonction g

est dérivable sur J comme inverse de la fonction x 7→ √

1 + nx qui ne s’annule pas sur J.

Pour tout x ∈ J, sa dérivée vaut

g

(x) = −n 2(1 + nx) √

1 + nx

qui est négative, puisque n et x sont positifs. La fonction g

est donc décroissante sur J. Puisque g

(1) = 1/ √

1 + n, la fonction g

est bornée et sa borne supérieure est sa valeur en 1 :

sup

x∈J

g

(x) = g

(1) = 1

√ 1 + n

La série de Riemann X

n>0

√ 1

1 + n = X

n>1

1

n

est divergente puisque 1/2 < 1, d’où La série de fonctions P f

ne converge pas normalement sur J.

3 Soit x ∈ J. D’après la question 1, P

f

(x) est convergente donc la suite des restes partiels de terme général

R

(x) =

+∞

P

k=n+1

f

(x)

est bien définie pour n ∈ N . Le théorème spécial des séries alternées implique en par- ticulier la majoration du reste

∀n ∈ N |R

(x)| 6 |f

(x)| = 1

p 1 + (n + 1)x = g

(x)

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K Publié dans les Annales des Concours 4/16 D’après le résultat de la question 2, la fonction g

, et donc la fonction |R

|, admet une borne supérieure sur J et

sup

x∈J

|R

(x)| 6 sup

x∈J

|g

(x)| = 1

√ n + 2 − −−−− →

n→+∞

0

La suite des restes partiels converge ainsi uniformément vers 0 sur J, ce qui assure que La série de fonctions P

f

converge uniformément sur J.

4 Pour n = 0, f

est la fonction constante en 1. Pour tout n ∈ N

, la fonction f

admet une limite en

∞ et par limites usuelles : f

(x) −−−−→

x→+∞

0

Puisque

∞ est une borne de J, la convergence uniforme de la série de fonctions P f

sur J permet de conclure, par le théorème de la double limite, à l’existence de la limite

` = lim

x→+∞

+∞

P

n=0

f

(x) =

+∞

P

n=0

x→

lim

f

(x) = f

(x)

| {z }

=1

+

+∞

P

n=1

x→

lim

f

(x)

| {z }

=0

= 1

5.1 Pour tout n ∈ N

, f

(1) = (−1)

√ 1 + n = −u

Par suite, P

n>1

u

= − P

n>0

f

(1)

qui converge et dont la somme vaut −ϕ(1), d’après le résultat de la question 1. Ainsi, La série P

n>1

u

converge vers a = −ϕ(1).

5.2 Soit x ∈ J. D’après la question 4, on a ` = 1. De plus, f

(x) = 1. D’après la convergence simple démontrée à la question 1,

ϕ(x) − ` =

+∞

P

n=0

f

(x) − f

(x) =

+∞

P

n=1

f

(x) La question 5.1 assure alors que

a =

+∞

P

n=1

u

d’où a

√ x =

+∞

X

n=1

(−1)

√ nx

Par linéarité de la somme de séries convergentes, on obtient finalement ϕ(x) − ` − a

√ x =

+∞

X

n=1

(−1)

1

√ 1 + nx − 1

√ nx

Soit n ∈ N

. La fonction y 7→ y

est de classe C

sur J et pour tout y ∈ J, sa dérivée en y vaut −y

/2. D’après l’inégalité des accroissements finis sur l’in- tervalle [ nx ; nx + 1 ],

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