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Centrale Physique 1 PC 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Anne Mounier (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Le sujet porte sur l’étude du rayonnement émis par des électrons dans un accélé- rateur synchrotron.

• Dans une première partie, on s’intéresse à la puissance rayonnée par une charge accélérée. Cette partie s’approche de l’étude du rayonnement dipolaire.

• La deuxième partie s’attache à un élément crucial du synchrotron, l’injecteur dans lequel les électrons sont accélérés par un champ électrostatique. Elle per- met de tester ses connaissances en électrostatique et sur l’étude du mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique.

• La troisième partie, consacrée à l’étude de l’anneau de stockage du synchro- tron, qui peut être considéré comme la piste de fond des électrons, complète la précédente en étudiant cette fois-ci le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique. Elle permet également d’introduire le caractère re- lativiste des phénomènes, même si aucune connaissance de relativité restreinte n’est bien sûr nécessaire pour résoudre le problème.

• Par la suite, dans la quatrième partie, on étudie plus précisément le rayonne- ment synchrotron et son spectre.

• Enfin, dans la dernière partie du problème, on considère des dispositifs magné- tiques particuliers qui permettent de rendre le rayonnement synchrotron plus intense. Après une nouvelle étude sur le mouvement de particules chargées dans un champ magnétostatique, on développe des questions plus qualitatives.

Ce problème d’une difficulté raisonnable permet de vérifier ses compétences dans plusieurs domaines de l’électromagnétisme. Il traite ainsi principalement du mouve- ment de particules chargées dans un champ électromagnétique, mais également de rayonnement dipolaire, d’électrostatique et de magnétostatique.

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Indications

Partie I

I.B Utiliser le développement d’un double produit vectoriel

−

→ a ∧ − → b

∧ − → c = − → a · − → c − →

b − − → a · − → b − → c

Partie II

II.A.1 Étudier d’abord les invariances et les symétries du problème pour réduire les dépendances spatiales de − →

E et déterminer sa direction.

II.A.2 Utiliser le théorème de superposition.

II.C.1 Déterminer tout d’abord x(t), puis utiliser la condition limite sur la taille de la cavité accélératrice x(t = T) = d.

Partie III III.A.2 Poser le changement de variables u = x + iy.

III.B Exprimer l’accélération en fonction de la vitesse v

0

et du rayon du cercle R

0

. Partie IV

IV.A.3 Il est possible de considérer en première approximation que l’arc de cercle AB est rectiligne, ce qui simplifie la détermination de la longueur de l’impulsion.

IV.A.5 Attention à bien effectuer les développements limités au même ordre ! Partie V

V.C La moyenne temporelle

cos

²

ωt

sur une période vaut 1/2.

V.E Exprimer de deux manières différentes l’énergie rayonnée pendant une pé- riode d’oscillation magnétique.

V.F Déterminer Ψ

0

en calculant la pente maximale de x(z), puis comparer sa valeur à celle de ∆θ.

V.G Une polarisation circulaire peut se décomposer en la somme de deux polari- sations rectilignes.

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Rayonnement synchrotron

I. Rayonnement d’une particule chargée accélérée

I.A.1 Le rayonnement électromagnétique se propage dans le vide à la célérité c. La propagation de la source située en O au point M dure r/c. Par conséquent, le champ

−

→ B (r, t) dépend des caractéristiques de la source à l’instant t − r/c, que l’on nomme instant retardé.

I.A.2 L’onde rayonnée s’apparente localement à une onde plane se propageant dans le vide selon − → e

r

. De plus, ( − → e

r

, − →

E , − →

B ) forme un trièdre orthogonal direct. La relation de structure de l’onde s’écrit donc :

−

→ B =

−

→ e

r

∧ − → E

c soit − →

E = c − → B ∧ − → e

r

Reprenons l’expression de − → B

−

→ E (M, t) = −q

4π ε

0

rc

²

( − → e

r

∧ − → a (t − r/c)) ∧ − → e

r

I.B Repartons de l’expression générale du vecteur de Poynting

−

→ Π =

−

→ E ∧ − → B µ

0

et utilisons le développement d’un double produit vectoriel qui s’exprime pour tous vecteurs − → a , − →

b et − → c

−

→ a ∧ − → b

∧ − → c = − → a · − → c − →

b − − → a · − → b − → c On obtient alors, en se souvenant que le champ − →

B est orthogonal à la direction de propagation − → e

r

−

→ Π = c µ

0

− → B · − →

B − → e

r

− − → B · − → e

r

− →

B

= cB

²

µ

0

−

→ e

r

Or en notant θ l’angle entre − → a et − → e

r

, l’amplitude du champ magnétique s’écrit B = q a(t − r/c)

4π ε

0

c

³

r sin θ

Finalement, − →

Π ( − → r , t) = q

²

a

²

(t − r/c) 16π

²

c

³

r

²

ε

0

sin

²

θ − → e

r

Le vecteur de Poynting représente la densité surfacique de puissance du champ électromagnétique. Le rayonnement s’effectue préférentiellement dans la di- rection où la norme de ce vecteur est maximum, ce qui correspond ici à θ = π/2, c’est-à-dire dans le plan (xOy) perpendiculaire à la direction de l’accé- lération. Enfin, la direction du champ électrique reste constante au cours du temps.

L’onde est donc polarisée rectilignement suivant la direction de − →

E qui vaut ( − → e

r

∧ − → e

z

) ∧ − → e

r

= − → e

z

− cos θ − → e

r

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La réponse sur la polarisation de l’onde est donnée à la fin de l’énoncé, à la question V.G. C’est pourquoi il est important de lire les énoncés en entier.

I.C La puissance rayonnée par la particule chargée s’obtient en intégrant le vecteur de Poynting, qui s’exprime en W.m

⁻²

, sur la surface S d’une sphère de rayon r

P (r, t) = Z Z

S

−

→ Π · d − → S

= Z

π

θ=0

Z

²π

ϕ=0

Π(r, t)r

²

sin θ dθ dϕ

P (r, t) = q

²

a

²

(t − r/c) 8π c

³

ε

0

Z

π

0

sin

³

θ dθ

Utilisons la valeur de l’intégrale donnée pour retrouver la formule de Larmor P (r, t) = q

²

6π ε

0

c

³

a

²

(t − r/c)

II. Injecteur

II.A.1 Tout d’abord, la source, c’est-à-dire le plan chargé (yOz), est invariante par toute translation suivant les vecteurs − → e

y

et − → e

z

, donc le champ électromagnétique ne dépend que de la variable spatiale x.

Ensuite, considérons les plans passant par un point M quelconque de l’espace. Les plans (M, − → e

x

, − → e

y

) et (M, − → e

x

, − → e

z

) sont des plans de symétries de la source. Or − →

E est un vecteur polaire, donc il est contenu dans ces plans : le champ est suivant la direction

−

→ e

x

. Finalement,

−

→ E (M) = E(x) − → e

x

Considérons une portion de cylindre Σ, d’axe (Ox), fermée par des cha- peaux plans d’aire S situés en x = x

1

et x = x

2

, avec x

1

< x

2

, et notons Q

int