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CCP Physique 1 PC 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Cyril Ravat (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants.

Le premier est consacré à différentes techniques de mesure de résistances élec- triques. Après quelques calculs d’électrocinétique élémentaire, une sous-partie, plus conséquente, aborde des points d’électrostatique. La fin se consacre à une étude de la mise en évidence de la disparition du phénomène de résistance électrique dans les su- praconducteurs. L’ensemble est assez directif et ne présente que peu de difficultés en dehors d’une « indication » fournie par l’énoncé qui suggère d’utiliser un théorème. . . hors-programme.

La production de froid fait l’objet du deuxième problème. Outre le recours à des concepts de thermodynamique phénoménologique vus en première année, cette partie comporte quelques questions qui demandent une certaine habileté pour mani- puler les dérivées partielles. Ces calculs sont utilisés pour montrer la possibilité du refroidissement d’un gaz qui suit le modèle de Van der Waals lors d’une détente de Joule–Thomson. En dehors de ces questions un peu calculatoires, ce problème n’est pas très difficile et il laisse parfois au candidat quelques initiatives en ne donnant pas toutes les approximations utiles pour mener les calculs ou applications numé- riques demandées. Il se termine par une étude d’un réfrigérateur sans partie mobile où se côtoient des notions de mécanique des fluides et de chimie via des diagrammes binaires.

L’ensemble de ce sujet est assez long et fait beaucoup appel aux connaissances acquises en première année, ce qui peut dérouter les candidats : plus fréquent en filière MP, ce type de sujet était jusqu’ici rare en filière PC. C’est l’occasion de souligner que le programme des concours est bien composé de celui des deux années de formation. L’épreuve est en outre relativement calculatoire. On peut d’ailleurs regretter que certains calculs demandés ne soient pas dans l’esprit des programmes actuels. Le sujet est néanmoins bien guidé dans son ensemble et il ne devrait pas poser de difficultés insurmontables pour qui maîtrise bien son cours : cela en fait un assez bon problème d’entraînement.

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Indications

Premier problème

I.1.2 Pour déterminer l’incertitude, calculer la différentielle et passer aux incerti- tudes en sommant les valeurs absolues des différents termes.

I.2.1 Les théorèmes de Thévenin et Norton sont hors-programme : orienter le circuit et utiliser les lois de Kirchhoff. Écrire deux lois des nœuds en B et D et trois lois des mailles indépendantes.

I.2.4 Appliquer le théorème du moment cinétique à l’équilibre en utilisant le moment des forces de Laplace qui s’exercent sur le cadre et le couple de torsion.

I.3.4 Montrer d’abord, par une analyse des symétries, que le potentiel ne dépend pas de θ.

I.3.8 Vérifier que la forme proposée est la somme de deux fonctions qui sont chacune solution de l’équation de Laplace.

I.3.11 On donne l’intégrale Z

0

f

(x)

1 + f

(x) dx = Arctan f (A)

− Arctan f (0)

I.4.2 Justifier que V

= − V

puis utiliser le potentiel établi à la question I.3.8 pour déterminer V

en fonction de V

.

I.5.1 Le conducteur est supposé filiforme.

I.5.2 Appliquer le théorème de l’énergie mécanique à un électron. Attention, V est une énergie potentielle, pas un potentiel électrostatique.

I.5.3 Traduire le fait que la fonction d’onde doit être au moins de classe C

au passage de l’interface. Ne pas oublier l’onde réfléchie Ψ

(ωt + k

x).

Deuxième problème

II.3.2 Utiliser l’expression de la différentielle d’une fonction de deux variables : df = ∂f

∂x dx + ∂f

∂y dy et traduire le caractère isenthalpique.

II.3.3 Le coefficient de compressibilité isotherme χ

est toujours positif.

II.4.1 Supposer que les transformations du cycle sont au moins quasi-statiques pour définir le travail théorique reçu W.

II.5.1 Les bulles qui apparaissent sont des bulles de vapeur d’eau. Penser à la poussée d’Archimède.

II.5.3 En régime permanent, on a en fait une vitesse d’écoulement de l’eau liquide à la vitesse v

dans le tube.

II.5.6 À l’équilibre, le potentiel chimique de l’espèce A a la même valeur en phase gazeuse et en phase liquide. La relation à démontrer n’est autre que la loi de Raoult pour les mélanges idéaux.

II.5.7 Calculer le rapport p

/p

car la pression de vapeur saturante du butane à la température de fonctionnement n’est pas donnée.

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Mesure de résistances

1. Mesure directe

I.1.1 Représentons le circuit proposé sur un schéma :

r A I

e X

I.1.2 La loi de Pouillet pour un circuit à une seule maille permet d’écrire I = e

X + r

soit X = e

I − r = 250 Ω On évalue l’incertitude à partir d’un calcul différentiel

dX = d e I

+ dr

On calcule d e

I = de

I − e dI I

On en déduit dX = e

I de

e − dI I

+ dr On passe aux incertitudes

∆X = e I

∆e e − ∆I

I

+ ∆r

On se place ensuite dans le cas « le plus défavorable » en sommant les différents termes

∆X = e I

∆e e + ∆I

I

+ ∆r = 4,3 Ω

La méthode de calcul des incertitudes à partir de la différentielle en se plaçant « dans la configuration la plus défavorable » ne permet pas un travail précis sur l’incertitude mais seulement de déterminer un ordre de grandeur de cette dernière. Un traitement sérieux ferait appel à des méthodes statistiques qui ne sont pas au programme des classes préparatoires.

Vu que l’incertitude est évaluée à plusieurs ohms, il convient de ne pas donner trop de chiffres significatifs sur l’application numérique de X.

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I.1.3 Il s’agit du principe de l’ohmmètre (méthode dite volt-ampèremétrique).

Ce n’est pas très précis car cela repose sur la mesure d’une intensité faible qui contri- bue à rendre l’incertitude importante. Notons que ce n’est pas l’appareil utilisé qui est en cause (un ampèremètre à 0,1 % près est un bon instrument) mais bien la mé- thode de mesure. Il est plus précis d’utiliser une technique où l’on cherche à détecter un « zéro » que de devoir mesurer une valeur faible (comme c’est le cas dans les questions suivantes).

2. Pont de Wheatstone

I.2.1 Commençons par faire un schéma orienté

X

R

R

A C

D R

B i

i

r i

i

µ A

e I

I

Ce circuit présente six intensités inconnues dont une seule, I, nous intéresse. On écrit les lois de Kirchhoff : d’abord deux lois des nœuds

en D : i

= i

+ I (N

)

en B : i

= I + i

(N

)

puis trois lois des mailles

maille eADC : e = Xi

+ R

i

(M

)

maille eABC : e = R

i

+ R

i

(M

)

maille BCD : R

i

= R

i

+ rI (M

)

Il reste à résoudre ce système. On procède par substitutions successives. On com- mence par reporter l’équation (N

) dans (M

) et (N

) dans (M

) pour en tirer les expressions respectives de i

et i

:

i

= e + XI X + R

et i

= e − R

I R

+ R

On injecte ensuite ces résultats dans (M

) R

e − R

I R

+ R

= R

e + XI X + R

+ r I

Finalement, I =

R

R

+ R

− R

X + R

r + X R

X + R

+ R

R

R

+ R

e

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