K Publié dans les Annales des Concours 1/18

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CCP Maths 1 PSI 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l’université) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet en trois parties a pour but d’étudier une fonction définie par une intégrale dépendant d’un paramètre. Hormis la définition de la constante ∆, la première partie n’a pas d’influence sur les deux autres ; la troisième en revanche dépend des résultats obtenus dans la deuxième.

• Dans la première partie, on calcule l’intégrale de Gauss ∆ définie par

∆ = Z

0

exp −t

dt

Pour cela, on étudie une primitive de t 7→ exp −t

afin d’encadrer sa limite en

∞ au moyen d’intégrales de Wallis (W

)

. La valeur de ∆ s’obtient alors en admettant un équivalent de W

fourni par l’énoncé.

• Dans la seconde partie, on étudie deux nouvelles fonctions définies par des intégrales à paramètre,

h : b 7→

Z

cos(2bt)e

dt et ϕ : x 7→

Z

exp

−t

− x

t

dt

En calculant l’intégrale curviligne d’une forme différentielle particulière sur des rectangles de longueur arbitrairement grande, on parvient à expliciter h.

L’étude de la fonction ϕ est plus classique : grâce au théorème de dérivation sous le signe intégrale, on s’aperçoit que ϕ satisfait une équation différentielle linéaire d’ordre 1, que l’on résout pour exprimer ϕ à l’aide de fonctions usuelles.

• La troisième partie se consacre à l’étude, plutôt technique, de l’intégrale à paramètre

ψ(x) = Z

0

cos(2xt) 1 + t

dt

Grâce au théorème de convergence dominée, la quantité ψ(x) peut s’interpréter comme une intégrale double sur un rectangle arbitrairement grand ; une inter- version de l’ordre d’intégration montre alors qu’elle s’exprime en fonction de ∆ et de la fonction ϕ de la deuxième partie.

La résolution de ce problème requiert de maîtriser des théorèmes de régularité des intégrales à paramètre ainsi que le théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions ; par ailleurs, on y voit apparaître les intégrales de Gauss et de Wallis qui font souvent l’objet de questions aux concours. L’originalité de ce sujet, et peut-être l’une de ses difficultés, réside dans la combinaison de ces classiques avec des points du programme plus rarement abordés, comme les intégrales doubles et les intégrales curvilignes de formes différentielles.

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Indications

Partie I I.1.1 Voir f comme une primitive.

I.1.2 Raisonner par récurrence en montrant que deg p

= n − 1.

I.1.3 Déterminer la parité de f

en utilisant le résultat de la question I.1.1.

I.1.4 Comparer t 7→ exp −t

avec la fonction t 7→ exp(−t) intégrable sur R

. I.2.1 Appliquer le développement en série entière de z 7→ exp(z) en z = −t

, puis

intégrer terme à terme.

I.2.2 Utiliser la relation entre les coefficients du développement en série entière de f et les f

(0). On pourra distinguer les cas selon que n est pair ou impair.

I.3.1 Utiliser la convexité de l’exponentielle ou étudier la fonction x 7→ e

−(x+ 1).

I.3.2 Appliquer le résultat de la question I.3.1 à −u pour établir la première des deux inégalités.

I.3.3 Appliquer les inégalités de la question I.3.2 à u = x

avant de les intégrer.

I.3.4 Exprimer W

et W

en fonction des intégrales de la question I.3.3 à l’aide des changements de variables u = sin x et u = tan x respectivement.

Partie II II.1.1 Comparer cos(2bt) exp −t

et exp −t

.

II.1.2 Montrer que ω est une forme différentielle fermée sur R

, puis utiliser le théo- rème de Poincaré.

II.1.3 Utiliser le résultat de la question II.1.2 et le fait que γ est une courbe fermée.

II.1.4 Après avoir calculé l’intégrale sur chaque segment du rectangle, utiliser la réponse à la question II.1.3 puis faire tendre a vers l’infini.

II.2.1 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.

II.2.2 Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale que ϕ est de classe C

sur tout segment de la forme [ ε ; A ] où 0 < ε < A.

II.2.3 Exprimer ϕ

(x) comme une intégrale puis la reformuler en effectuant le chan- gement de variable u = x/t.

II.2.4 Résoudre l’équation différentielle établie à la question II.2.3. Utiliser la parité et la continuité de ϕ pour étendre le résultat sur R .

Partie III

III.1.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale.

III.2 Calculer explicitement j

(x) au moyen d’une primitive.

III.3 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale à la fonction ℓ

: y 7→

Z

exp −x

y

cos(2ax) dx

III.4.1 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (f

)

où f

: x 7→ j

(x) cos(2ax).

III.4.2 Réécrire u

comme une intégrale double puis utiliser le théorème de Fubini.

III.5 Montrer que |k

(y)| 6 ∆ pour tout n ∈ N

et tout y ∈ R

.

III.6 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (q

)

où q

: y 7→ k

(y) exp −y

.

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I. Étude d’une fonction et de sa limite

I.1 Étude de la fonction f

I.1.1 En tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction polyno- miale, toutes deux continues sur R , l’application g : t 7→ e

est continue sur R . De plus, par construction, f est la primitive de g sur R qui s’annule en 0. Ainsi,

f est dérivable sur R .

Enfin, en utilisant la relation de Chasles puis le fait que g est paire

∀x ∈ R f (−x) = Z

0

g(t) dt = − Z

−x

g(t) dt = − Z

0

g(t) dt = −f (x)

Autrement dit, f est impaire.

Notons que toute primitive d’une fonction impaire est paire, mais que parmi les primitives d’une fonction paire, la primitive qui s’annule en 0 est la seule qui soit impaire. On retrouve donc dans la question ci-dessus que la fonc- tion f est impaire en tant que primitive s’annulant en 0 d’une fonction paire.

Réciproquement, la dérivée d’une fonction paire (respectivement impaire) est toujours impaire (respectivement paire).

I.1.2 D’après le raisonnement effectué à la question précédente, on sait que f est dérivable et que

∀x ∈ R f

(x) = exp −x

Ainsi f

= g est la composée d’une fonction polynomiale et de l’exponentielle, ce qui entraîne que f

est de classe C

sur R . Pour le dire autrement,

f est indéfiniment dérivable sur R . Montrons maintenant par récurrence sur n ∈ N

la propriété

P (n) : ∃p

∈ R [X] tel que

( deg p

= n − 1

∀x ∈ R f

(x) = p

(x) exp −x

• P (1) : Prenons p

le polynôme constant égal à 1. Alors p

est de degré 0 et

∀x ∈ R f

(x) = exp −x

= p

(x) exp −x

ce qui démontre P (1).

• P (n) = ⇒ P (n + 1) : soit n > 1 fixé et supposons que P (n) soit vraie. Cette propriété exprime f

comme un produit de deux fonctions dérivables ; grâce à la formule de dérivation d’un produit, il vient que pour tout x ∈ R ,

f

(x) = f

(x)

= p

(x) exp −x

+ p

(x)(−2x) exp −x

f

(x) = [p

(x) − 2xp

(x)] exp −x

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Comme p

est un polynôme de degré n − 1, sa dérivée p

est polynomiale de degré n −2, et l’application x 7→ −2xp

(x) est polynomiale de degré n. De ceci, il vient que p

: x 7→ p

(x) − 2xp

(x) est bien une fonction polynomiale de degré n et on a vu que

∀x ∈ R f

(x) = p

(x) exp −x

ce qui montre que P (n + 1) est vraie.

• Conclusion :

Pour tout n ∈ N

il existe un polynôme p

de degré n−1 tel que l’on ait, pour tout x ∈ R , f

(x) = p

(x) exp −x

.

I.1.3 D’après le résultat de la question I.1.1, f est impaire, donc f

est une fonc- tion impaire (respectivement paire) lorsque n est un entier pair (respectivement un entier impair). De plus, par définition de p

et grâce à la propriété de l’exponentielle,

∀x ∈ R p

(x) = f

(x) exp(x

)

Ainsi, p

apparaît comme le produit de f

par la fonction paire x 7→ exp x

. Mais alors p

et f

ont même parité et par conséquent,

La fonction p

est une fonction paire si n est impair et impaire si n est pair.

I.1.4 Comme t 7→ exp −t

est à valeurs positives, f est croissante. De plus, pour tout x dans [ 1 ;

∞ [ on peut appliquer la relation de Chasles pour obtenir :

f (x) = Z

0

exp −t

dt +

Z

exp −t

dt

Par ailleurs, la croissance de l’exponentielle impose que

∀t > 1, t

> t = ⇒ exp −t

6 exp(−t)

d’où f (x) 6

Z

exp −t

dt +

Z

exp (−t) dt

| {z }

exp(−1)−exp(−x)

6 Z

0

exp −t

dt + exp(−1)

Le majorant obtenu étant indépendant de x, ceci montre que f est majorée sur l’intervalle [ 1 ;

∞ [. Puisque f est croissante, f admet alors une limite en

∞, ce qui signifie que l’intégrale impropre

Z

exp −t

dt est convergente et que

x→

lim

f (x) = ∆ = Z

0

exp −t

dt

Incidemment, ceci montre que la fonction g : t 7→ exp −t

à valeurs positives est intégrable sur [ 0 ;

∞ [. C’est un fait qui sera utile pour la résolution de plusieurs questions à venir.

On rappelle ici qu’une fonction g est dite intégrable sur [ 0 ;

∞ [ lorsque l’in- tégrale

Z

|g(t)| dt est convergente ; on dit alors que l’intégrale Z

0

g(t) dt est absolument convergente. Un résultat du cours assure qu’en cas d’absolue

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