Il est à l'origine de la théorie des fonctions de la variable complexe

1 S3 M-MI-MP 2008/2009

Cours de mathématiques sur les séries : M3S Université de Cergy Pontoise

F1 : Séries numériques

Un bref aperçu historique

La plupart des résultats vus en cours sont dans le cours d'analyse albébrique de Cauchy de 1821. Ce qui lui a valu ce commentaire d'Abel : Cauchy est fou, et avec lui il n'y a pas moyen de s'entendre, bien que pour le moment il soit celui qui sait comment les mathématiques doivent être traitées. Ce qu'il fait est excellent, mais très brouillé ...

A. L. Cauchy (1789-1857)

Né à Paris, Cauchy, après l'Ecole Polytechnique, passa par l'Ecole des Ponts et Chaussées et participa comme ingénieurs à divers travaux publics. En 1813, il revint à Paris pour enseigner à l'Ecole Polytechnique, à la faculté des Sciences et au Collège de France. En 1816, il fut nommé membre de l'Académie des Sciences.

Lors de la révolution de juillet 1830, Cauchy s'éxila à Turin, puis à Prague, où il devint le précepteur du petit-ls de Charles X. En 1838, il retourna en France, reprit son travail à l'Académie et, en 1848, retrouva une chaire à la Sorbonne. Il est à l'origine de la théorie des fonctions de la variable complexe. Pour plus de détails, on pourra consulter la biographie de Cauchy par Bruno Belhoste publié chez Belin.

Vrai ou faux ? (i) Soit(a_n) une suite à termes positifs. Alors,P

a_n etP

a²_n sont de même nature.

(ii) Pour toutα >0, la série de Riemann P

n>0n^−α converge.

(iii) Pour toutβ >1, la série de Bertrand P

n⁻¹(lnn)^−β converge.

(iv) Soit(u_n)une série à termes positifs. Si pour nassez grand,u_n+1 < u_n, alors P

u_n converge.

(v) Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes réels. Alors, P

(u_n+v_n) converge si et seulement si P u_n et Pvn convergent. Et que se passe-t-il si les suites sont à termes positifs ?

(vi) Soient (u_n) et(v_n) deux suites telles que u_n ≤v_n pour n assez grand. Alors, si P

v_n converge,P u_n converge.

(vii) Soit P

un une série à termes positifs. Alors,P

un converge si et seulement si il existeM > 0 tel que, pour toutn∈N,P_n

k=1u_k ≤M. (viii) Siu_n∼v_n, alors P

u_n etP

v_n ont même nature.

2

Exercice 1 : Pour chacune des séries numériques suivantes, calculer les sommes partielles, en déduire la convergence des séries et calculer leur somme :

a)X

n≥1

2

5ⁿ; b) X

n≥2008

2

n(n+ 1); c)X

n≥1

ln

n+ 3 n+ 1

;

Exercice 2 : On poseS_n=

n

X

k=0

k 3^k. 1. Montrer que 1

3Sn=

n+1

X

t=1

t−1 3^t . 2. En déduireS_n−¹₃S_n.

3. En déduire que la série P _k

3^k converge et calculer sa somme.

Exercice 3 : Déterminer la nature des séries de terme général suivant, en le comparant à _n¹α. :

a_n= 1

(2n+ 3)(n+ 7) b_n= 3 + (−1)ⁿ

n

c_n= 1 +n n²(n+ lnn) dn= n³+n²+ 2

1 +n²

en=

√n+ 1−√ n n f_n= n+ 1

2n(n²+ 1)

Exercice 4 : Donner l'exemple d'une suite (u_n) qui converge vers 0 et dont la série de terme générale u_n diverge.

Exercice 5 : Déterminer les valeurs des paramètres pour lesquels la séries de terme général u_n converge : u_n= n^α

1 +n^β

Exercice 6 : Déterminer la nature des séries de terme général suivant, en utilisant le critère de Cauchy ou de d'Alembert :

a_n=

n+ 1 2n+ 5

n

b_n= n!

n⁷2ⁿ

c_n= n!

nⁿ d_n=

1− 1

n n²

en=e^an2

1− a n

n³

fn= n^lnn (lnn)ⁿ

Exercice 7 : Série de Bertrand : Soient α et β deux réels positifs, en comparant u_n = 1

nln^βn avec une intégrale, montrer que la sérieP

u_nconverge ssi β >1. Étudier la convergence de la série

X 1 n^αln^βn

Exercice 8 : Déterminer la nature des séries de terme général suivant an=eⁿ

1− 1

n n²

b_n= ln

n²+n+ 1 n²−n+ 1

c_n= sin 1

n

dn= 1

2 lnn

e_n= cos1 n fn= n²+ 1

2ⁿ+n

g_n= n⁷eⁿ n!

hn= 1−cos1 n

Exercice 9 : Soientu_n= ^(−1)√_nⁿ etv_n= ^√_n+(−1)⁽⁻¹⁾ⁿ _n 1) Montrer queun∼vn.

2) Étudier la convergence des sériesP

u_n etP v_n.

Exercice 10 : Déterminer la nature des séries de terme général suivant :

3

a_n= sin

(−1)ⁿ n

bn= (−1)ⁿ n²+ 2008 cos(eⁿ)

c_n= 1 n¹⁴

− 1

n¹⁴ −(−1)ⁿn¹⁸ dn= sin

πp

n²+ 1

e_n= (−1)ⁿ

tan 1

√n

−sin 2008

√n

Exercice 11 : Soit (a_n) une suite réelle et positive.

1. Montrer que si la sérieP

anconverge alors la série P

n an

1+an converge.

2. Montrer la réciproque en s'inspirant de la méthode précédemment utilisée.

3. Supposons queP

anconverge, montrer queP ₁

1+n²an diverge. (Indication : On peut étudier le minimum de la fonctionf(x) =x+_1+n¹2x surR+)

Exercice 12 : Soit P

un une série à termes positifs convergente, étudier la convergence des séries : Xu²_n; X

ln(1 +u_n); X

√un

n on commencera par démontrer que :∀x, y∈R, xy≤ 1

2(x²+y²) Exercice 13 : (Critère de Raabe-Duhamel)

1. Soit(u_n) une suite à termes strictement positifs, on suppose qu'il existeα∈Retβ >1 tel que un+1

u_n = 1−α n +O

1 n^β

.

On pose vn = ln(n^αun) et wn = vn+1 −vn, montrer que la série de terme général wn converge, en déduire qu'il existe un réelλtel que u_n∼λn^−α.

2. Déterminer la nature des séries de terme général suivant :

√

n! sinxsin x

√2. . .sin x

√n (x∈R); Πⁿ_p=1

2−e^1p .

Exercice 14 : Soient P

a_n etP

b_n deux séries à termes réels positifs, telles que a_n ∼b_n au voisinage de +∞. On note

Sn=

n

X

k=0

ak, Σn=

n

X

k=0

bk, Rn=

∞

X

k=n+1

ak, Γn=

∞

X

k=n+1

bk

1) CalculerSn, Σn, Rn, Γn pouran= 2⁻ⁿ etbn= 2⁻ⁿ+ 3⁻ⁿ, comparer Sn etΣn puis RnetΓn

2) Montrer que si P

an converge alors Rn∼Γn au voisinage de+∞. 3) Montrer que si P

a_n diverge alorsS_n∼Σ_n au voisinage de+∞.

4) Soit(un) la suite dénie paru0 = ¹₂ etun+1 =un(1−u²_n), montrer que(un)tend vers 0, déterminer αtel que la suite(u^α_n+1−u^α_n) ait une limite nie non nulle. A l'aide d'un télescopage déterminer un équivalent de u_n.

Exercice 15 : On note u_n= 1 +¹₂ +¹₃ +. . .+_n¹ −lnn. 1) Déterminer une suite (v_k) telle que ∀n∈ N^∗, u_n = Pn

k=1v_k, en déduire que la suite (u_n) converge, on noteraγ sa limite, ce réel est appelé constante d'Euler.

2) Montrer que pour a >0 on aZ k+1 k

1

x^a dx≤ 1 k^a ≤

Z k k−1

1 x^a dx. 3) En déduire que poura >1 : P∞

n+1 1

k^a ∼ ⁿ_a−1^1−a. 4) En utilisant l'exercice 14 : montrer queu_n−γ ∼ 1

2n.

Exercice 16 : Déterminer les valeurs deapour lesquels la sérieX (−1)ⁿ

n^a+ (−1)ⁿ converge.

Exercice 17 : (*) Soit(u_n) une suite réelle décroissante de limite 0.

1) Montrer que si la sérieP

un converge alors la suite (nun)tend vers 0.

2) Montrer queP

un et P

n(un−un+1) sont de même nature et que lorsqu'elles convergent leurs sommes sont égales.

3) Déduire de la question précédente la somme de la série X n 2ⁿ⁺¹. Exercice 18 : Déterminer la nature de la sérieP

un oùu0∈Ret pour tout n∈N, (n+ 2)³un+1= (n+ 1)un+n.