I – Relations métriques A – Théorème de la médiane Théorème 1 : Si

(1)

Leçon 33 Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications.

Pré-requis Produit scalaire

Définition : hauteur, médiane et bissectrice d’un triangle Mesures algébriques

Angles

Relations métriques et trigonométriques dans un triangle rectangle

Puissance d’un point par rapport à un cercle : soient M un point du plan, un cercle C de centre Oet de

rayon r, et une droite D passant par M sécante à C en A et B. Alors pour toute droite D, p_C(M)=MA.MB

Théorème de l’angle inscrit : Soient A et B deux points distincts d’un cercle C de centre O

Alors, pour tout point M de C distinct de A et B, (^OA,^OB)=2(^MA,^MB) (2π) Cadre

On se place dans un plan affine euclidien P

Soit un triangle ABC, on note Aˆ, Bˆ et Cˆ les mesures dans

[ ]

⁰^,π de ses angles géométriques et on note a, b et c les longueurs des côtés BC, CA et AB.

Par abus de langage, longueurs des côtés et côtés seront confondus.

I – Relations métriques

A – Théorème de la médiane

Théorème 1 : Si I est le milieu de

[ ]

^BC ^etHAle pied de la hauteur issue de A , alors :

(1) 2 2

2 2

2

2 BC

AI AC

AB + = +

(2) AB² −AC² =2BC.IH_A Figure :

Preuve : (1) (AB+AC)² =(2AI)² et (AB+AC)² =AB² +AC²+2AB.AC

or ² ² ² )²

( 2 )

).(

(

. CB

AI IB AI IB AI IB AI AC

AB = + − = − = −

Donc

2 2 4

2 2

2 BC

AI AC

AB

AI = + + − d’où

2 2

2

2 BC

AI AC

AB + = +

(2) AB²−AC² =(AI+IB)²−(AI −IB)² =4AI.IB=−4IA.IB Or H est le projeté orthogonal de A sur (IB)

(2)

Remarques : a) Le théorème de la médiane permet de calculer la longueur de la médiane et de la hauteur en fonction des longueurs des côtés du triangle.

b) D’après la relation (1), si ABCest rectangle enA, alorsAappartient au cercle de diamètreBC.

2 4

2

2 BC

BC AI

AI = ⇒ = , plus utilisation du théorème de Pythagore

c) La relation (2) permet de montrer que dans un triangle isocèle en A, la hauteur et la médiane issues de A sont confondues

0 .

.

2 =

= AC⇒ BCIHA

AB

Or BC≠0 donc IHA =0 donc I et H_A sont confondus

B – Relation entre les hauteurs et les côtés d’un triangle

Proposition 1 : Soit H l’orthocentre du triangle ABC. Soient H_A, H_B, H les pieds des hauteurs issues _C respectivement de A,B,C.

On a : AH_C.AB= AH.AH_A = AH_B.AC

Preuve : Soit I le milieu de BH et soit C₁le cercle de centre I et de rayon BI

Le triangle HBH_C est rectangle en H_C, donc d’après le théorème de Pythagore H_CB²+H_CH² =BH² Et d’après le théorème de la médiane :

2 2

2

2 BH

I H H

H B

H_C + _C = _C +

D’où : BH BH BI H I BI H I

I H

BH² = _C ²+ ² ⇒ ² =(2 )² =4 _C ² ⇒ = _C 2 2

Donc H_C∈C₁ De même, H_A∈C₁

Soit ( )

1 A

p_C la puissance de A par rapport à C₁

En prenant ( AB) comme sécante à C₁ on a p_C (A) AB.AH_C

1 =

Et en prenant (HH_A) comme sécante à C₁ on a p_C (A) AH_A.AH

1 =

De même, soit J le milieu de CH et soit C₂le cercle de centre J et de rayon CJ On a : p_C (A) AH_A.AH AC.AH_B

2 = =

Donc AH_A.AH =AB.AH_C = AC.AH_B

C – Position du pied d’une bissectrice en fonction des côtés du triangle

Théorème 2 : La bissectrice intérieure (D_A) issue de A coupe le côté

[ ]

^BC ^enJA tel que

AC AB C

J B J

A A =−

Figure :

(3)

Preuve : - Montrons que D_A coupe

[ ]

^BC

Par définition, D_A est l’axe de l’unique réflexion s qui échange les demi-droites

[

^AB

)

^et

[

^AC

)

Donc ^s⁽^B⁾⁼^B^'^∈

[

^AC

)

La droite D_A partage le plan en deux demi-plans :P_B(contenantB) et P_B_'(contenantB') ^C^∈

[

^AB^'

)

^\

{ }

^A ^doncC∈PB'

On a B∈P_B^etC∈PB'^donc

[ ]

^BC coupe la droite-frontière D_A en un point J_A - Montrons l’égalité

La bissectrice extérieure D'_A issue de A est perpendiculaire à D_A

Le symétrique C' de Cpar rapport à D'_A appartient à la demi-droite opposée à

[

^AB

)

D’après le théorème de Thalès dans le triangle BCC' on a :

AC AB AC

AB AC

AB C J

B J

A

A = =− =−

' '

D – Formules des aires

Théorème 3 : Soit S l’aire d’un triangle ABC et H_Ale pied de la hauteur issue de A Alors :

2 .AH_A S = BC

Remarque : Par permutation circulaire de a ,,b c on trouve deux autres formules.

Preuve : - Si ^HA∈

[ ]

^BC

Alors :

2 . 2

) ) (

2 ( . 2 )

(H B.AH CH AH AH H B CH AH CB

S = Â Â + Â Â = Â Â + Â = Â

(en utilisant la formule d’aire dans un triangle rectangle)

- Si ^HA∉

[ ]

^BC

Alors :

2 . 2

) ) (

2 ( . 2 )

(CH .AH H BAH AH CH BH AH CB

S = Â Â − Â Â = Â Â− Â = Â

II – Relations trigonométriques

A – Formule d’Al Kashi

Remarque : Dans un triangle rectangle, en connaissant un angle et une longueur, on peut calculer les autres dimensions en utilisant des formules trigonométriques. On va montrer qu’il en est de même dans un triangle quelconque.

(4)

Remarque : Par permutation circulaire de a ,,b c on trouve deux autres formules d’Al Kashi.

Preuve : Première méthode

(AC−AB)² =(AC+BA)² =BC² =a²

Et (AC−AB)² = AC²+AB² −2AC.AB=b² +c² −2bccos(AC,AB) Seconde méthode

Les aires hachurées de la même manière sont égales : C

ab C B b

A₁ = . ' = cos ˆ et A₁'=a.A'C =abcosCˆ donc A₁ =A₁' De même : A₂ = A₂'

De plus A₁ =b²−A₃=b² −b.AB'=b²−bccosAˆ et de même A₂ =c²−A₄ =c² −bccosAˆ Donc A₀ = A₁+A₂ =b² +c² −2bccosAˆ =a²

Figure :

Remarque : a) Si ABC est rectangle en A, on retrouve le théorème de Pythagore

b) Le théorème d’Al Kashi permet de connaitre les valeurs des trois angles lorsque les longueurs des trois côtés sont connus

B – Formule des sinus

Théorème 5 : Si S est l’aire du triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle Alors :

S R abc C

c B b A a

2 2 sin ˆ sin ˆ

sin ˆ = = = =

Preuve : Soit 'B le point diamétralement opposé à B sur le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O Soit Aˆ=(AB,AC) (angle orienté)

- Le théorème de l’angle inscrit donne : ( , ) ( ) 2

ˆ 1 ^OB ^OC π

A= et ( , ) ( )

2 ) 1 ' , '

(^B ^B ^B^C = ^OB ^OC π

Donc ^Aˆ =(^B'^B,^B'^C) (π) BCB est rectangle en C donc : '

R a BB C BC B B B

Aˆ sin( ' , ' ) ' 2

sin = = = (d’où les trois premières égalités)

(5)

- Soit H_A le projeté orthogonal de A sur

[ ]

^BC ^{, alors}

S abc B b B

ac AH S a ^A

ˆ 2 2 sin

sin ˆ 2

. = ⇒ =

= Figure :

Exercice : montrer que ABCest rectangle en A si et seulement si sin²Aˆ =sin²Bˆ+sin²Cˆ

Résolution : sin ˆ) sin ˆ( )

( ) sin ˆ ˆ (

ˆ sin

sin ₂

2 2 2 2 2

2 2

a c A b a

A c a

A C b

B+ = + = +

Or a b c ABC

a c

b + = ⇔ 2 = 2+ 2 ⇔

2 2 2

1 est rectangle en A

C – Formule des tangentes

Théorème 6 : Si ABC est un triangle non rectangle, alors : tanAˆ+tanBˆ+tanCˆ =tanAˆ.tanBˆ.tanCˆ Preuve : Lemme 1 : La somme des angles dans un triangle vaut π

Preuve : Grace aux angles alternes internes Figure :

A B

B B A

A B

B A A

B B A

A

C 1 tan ˆ.tan ˆ

tan ˆ tan ˆ

ˆ) tan(ˆ ˆ))

(ˆ ) tan(

ˆ tan(ˆ . tan 1

ˆ)) (ˆ tan(

)) tan ˆ (ˆ ˆ tan(

tan −

− +

= +

−

= +

− + =

−

+

−

= + +

−

= π

π π

C B A B

A B B A

A

B A

B A B

B A A

B A

B B A

A C

B A

tan ˆ ˆ. tan ˆ. tan ˆ) tan ˆ. tan 1

tan ˆ tan ˆ

ˆ( tan ˆ. tan

tan ˆ ˆ. tan 1

) ˆ 1 ˆtan tan 1 ˆ( tan ) ˆ 1 ˆtan tan 1 ˆ( tan

tan ˆ ˆ. tan 1

tan ˆ tan ˆ

tan ˆ

− =

− +

=

−

− +

−

= −

−

− + +

= +

+

(6)

III – Applications

A – Utilisation du théorème de la médiane 1 – Formule du parallélogramme

Proposition 2 : La somme des carrés des côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales.

Preuve : Soit ABCD un parallélogramme de centre de symétrie O ( O coupe les diagonales

[ ]

^AC ^et

[ ]

^BD ^en

leur milieu).

Théorème de la médiane dans le triangle ABD :

2 2

) 2 ( 2 2

2 2

2

2 AC BD AC BD

AD

AB + = + = +

Théorème de la médiane dans le triangle BCD :

2 2

2

2 BD AC BD

CO CD

CB + = + = +

Donc AB² +AD²+CB² +CD² =4AO² +BD² = AC² +BD² Figure :

2 – Lignes de niveau

Exercice : Soient A et B deux points distincts du plan et k un réel quelconque.

Déterminer les ensembles ^E¹⁼

{

^M ^∈^P^/^MA² ⁺^MB² ⁼^k

}

^et^E² ⁼

{

^M^∈^P^/^MA² ⁻^MB² ⁼^k

}

Résolution : Soient I le milieu de

[ ]

^AB ^et^H le projeté orthogonal de M sur

( )

^AB

D’après le théorème de la médiane : )

( 2 2 1 2 2

2 2

2 2 1

k AB MI

AB k MI

E

M ∈ ⇔ + = ⇔ = −

Donc

{ }





















>

−

=

<

/

=

) 2 2 ) 2(

, 1 (

2 0 2

2 2

1

k AB AB si

k I cercle

k AB si I

k AB si

E

De même,

AB IH k

k IH AB E

M∈ ₂ ⇔ 2 . = ⇔ =2 Donc







 =

= AB

IH k H par passant AB

à laire perpendicu droite

E₂ ( ) ₀/ ₀ 2

(7)

B – Utilisation de la formule d’Al Kashi 1 – Constructibilité d’un triangle

Proposition 3 : Soient a ,,b c trois réels strictement positifs.

On peut construire un triangle ABC de longueurs de côtés a,b,c si et seulement si a,b,c vérifient les inégalités triangulaires suivantes :





 +

≤ +

≤ b a c

a c b

c b a S) (

Preuve : (S) est clairement une condition nécessaire, on va montrer qu’il est également une condition suffisante.

Supposons que (S) soit vérifié.

S’il existait un triangle ABC, alors l’angle Aˆ vérifierait

bc a c A b

2 cos ˆ

2 2

2+ −

= (formule d’Al Kashi).

Or :

2 1 1

2 2

) ( )

( )

(

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

−

− ≥

≥ +

⇔

−

≥

−

≥ +

−

⇔

+

≤

−

⇔ +

≤

−

⇔

bc a c bc b

c b a bc c

b

c b a c b c

b a c b S

Donc il existe au moins un angle Aˆ vérifiant

bc a c A b

2 cos ˆ

2 2

2+ −

=

Soit A un point quelconque du plan, construisons deux demi-droites d’origine A faisant un angle Aˆ. Plaçons B et C sur ces deux demi-droites tels que AB=c et AC=b

D’après le théorème d’Al Kashi : ²

2 2 2 2

2 2

2

2 )

( 2 ˆ 2

cos

2 a

bc a c bc b c

b A bc c b

BC = + − = + − + − =

Donc BC=a c.à.d. que le triangle ABC admet les réels a,b,c pour longueur de ses côtés.

Donc (S) est bien une condition suffisante pour que le triangle ABCsoit constructible.

2 – Formule de Héron

Théorème 7 : L’aire S et le demi-périmètre p d’un triangle ABC sont liés par la formule : )

)(

(p a p b p c p

S = − − −

Preuve :

2 .CH_C

S = c avec H le pied de la hauteur issue de C et _C

b Aˆ =CH^C sin

Donc ) )

( 2 1 4 ( ) 1 cos ˆ 1 4 ( ˆ 1 4 sin

1 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

bc a c c b

b A c

b

S = = − = − + −

(par la formule d’Al Kashi)

2 ) (

2 ) ) (

) )((

) ( 16(

1

) 2

)(

2 16( ) 1 ) (

4 16(

1

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a c b a c b c b a c b a a

c b a c b

a c b bc a c b bc a

c b c b S

− + +

+ +

−

= +

− + +

−

=

− + + +

−

=

− +

−

=

(8)

C – Utilisation de la formule des sinus

Exercice : Un bateau se déplace en ligne droite d’un point A vers un point lointain C à une vitesse constante v=20km/h. A 9h, il se trouve au point A et le capitaine observe un phare Psitué sur le côté tel que CAˆ P=27°. A 9h45, il se trouve au point B et CBˆP=34°.

Quelle est la distance BP entre le bateau et le phare ?

Résolution : AB 15km

4 .3

20 =

=

D’après la formule des sinus :

ˆ ) sin(

ˆ )

sin( APB

AB P

A B BP =

D’où BP 55,88km

) 7 sin(

) 27 sin(

15 )) 34 180 ( 27 180 sin(

) 27 sin(

15 = ≅

−

= − Figure :