Circuits en régime variable I

Circuits en régime variable

I₅₆.

Les réponses à ce problème doivent être exprimées en fonction des données E, L, r et R, qui sont indépendantes du temps, ou bien en fonction de grandeurs qui ont été déjà exprimées en fonction de ces données.

K

R r

L

E

j i

u 1) L’interrupteur K étant fermé depuis très longtemps, exprimer les valeurs I1, J1 et U1

des courants i et j et de la tension u en régime permanent.

2) L’interrupteur K étant ouvert depuis très longtemps, exprimer les valeurs I2, J2 et U2

de i, j et u en régime permanent.

3) Justifier les propriétés de continuité ou de discontinuité de i, j et u lorsqu’on ouvre ou ferme K.

4) L’interrupteur K étant fermé depuis très longtemps, on l’ouvre à l’instant 0. Exprimer i, j et u en fonction du temps t.

5) L’interrupteur K étant ouvert depuis très longtemps, on le ferme à l’instant 0. Exprimer i, j et u en fonction de t.

6) Représenter qualitativement la courbe de u en fonction de t si r = R et si on ouvre et on ferme alternativement K avec une période T grande par rapport aux temps d’évolution trouvés aux questions précédentes.

7) Même question si r << R.

8) Même question si r >> R.

L

C R 2 II₄₁. 1

u

10 volts ; 1H ; 20 ; 1 F

E = L = R= Ω C = µ

A l’instant 0, on bascule l’interrupteur de la position 1 à la position 2.

1) Déterminer l’équation différentielle satisfaite par la tension u fonction du

temps t. ^E

2) Déterminer les conditions initiales satisfaites par la tension u fonction du temps ^t.

3) En déduire que ω , exprimer littéralement et

calculer numériquement .

( cos sin )

u =e^−λt A ωt+B t , , ,A B

λ ω 4) Calculer la pseudopériode T.

5) Le décrément logarithmique est le logarithme népérien du rapport de deux valeurs de la tension distantes de T. Calculer-le.

6) On admet qu’on peut observer les oscillations tant que leur amplitude est supérieure à . Quelle est la durée pendant laquelle on peut les observer ? Combien d’oscillations observe-t-on ?

/10 E

B A K P

C C

R

R R III₃₄. Charge de condensateurs.

1) On pose . Quelle est la dimension de ? Que repésente-t-il concrètement ?

τ =RC τ

2) Si l’interrupeur K est ouvert depuis longtemps, quelles sont les tensions v1 = v(P) – v(B) et v2 = v(A) – v(M) ?

3) Même question si K est fermé depuis longtenps. E 4) A l’instant 0, on ferme l’interrupteur K, qui était ouvert depuis longtemps. Quelle propriété de symétrie présente le montage ? Exprimer les tensions v1 et v2 en fonction du temps et des données du problème.

IV30. Antiparasitage d’un moteur à courant

continu. ^M

L = 10 mH ; R = 10 Ω ; E = 1 V.

1) Dans la figure 1, on ouvre l’interrupteur. Que se passe-t-il ?

2) En réalité, un fil a une certaine capacité, certes faible, mais non nulle. Un modèle plus réaliste est celui de la figure 2, où C, capacité de l’interrupteur, est petit, mais non nul . On ouvre l’interrupteur à l’instant 0. Quel était le courant auparavant ? Quelles sont les conditions initiales satisfaites par la fonction q(t) représentant la charge de

l’armature de gauche du condensateur ? Exprimer q(t) ; on utilisera ω défini par ^{2 1 2}₂ 0 4

R

LC L

ω = − > . figure 2

E C

E L,R L,R

figure 1

V62.

i 2R

R C

2C v j

K

u On pose τ =RC.

Les condensateurs étant déchargés, on ferme K à l’instant 0.

1) Quelles sont les valeurs tout de suite après la fermeture de K des tensions u et v et des courants i et j ?

2) Quelles sont les valeurs au bout d’un temps infini de u, v, i et j ? E 3) Ecrire les équations satisfaites par u, v, i et j fonctions du temps t.

4) En déduire que l’équation différentielle régissant u(t) est :

2 2

4 d u2 5 du

u E

dt dt

τ + τ + =

5) Quelles sont les conditions initiales pour u(t) ? 6) Déterminer complètement u(t).

7) Montrer que u(t) est une fonction croissante du temps t.

8) Tracer schématiquement la courbe de u(t).

9) Quel est l’ordre de grandeur de l’instant où u est équidistant de ses valeurs initiale et finale ? 10) Expliquer simplement, sans déterminer v(t), la position relative des

courbes u(t) et v(t). R = 9.10⁵ Ω

K N u

C = 1 µF E = 100 V

VI₅₈. Lampe au néon.

Une lampe au néon N s'allume quand la tension u à ses bornes dépasse Va = 60 V ; elle s'éteint quand cette tension devient inférieure à Ve = 20 V.

Allumée, elle équivaut à une résistance r = 10⁵ Ω, éteinte, elle ne laisse pas passer le courant.

1) L'interrupteur K étant fermé et la lampe éteinte, écrire l'équation différentielle reliant la tension u et le temps t. La résoudre sans imposer à ce stade de conditions initiales.

2) L'interrupteur K étant fermé et la lampe allumée, écrire l'équation différentielle reliant la tension u et le temps t. . La résoudre sans imposer à ce stade de conditions initiales.

3) Initialement K est ouvert et le condensateur déchargé. A l'instant 0, on ferme K. Trouver la relation entre u et t.

Calculer l'instant où la lampe s'allume.

4) On choisit cet instant comme nouvelle origine des temps. Trouver la relation entre u et t valable tant que la lampe reste allumée.

5) Discuter si la lampe s'éteint.

6) Tracer schématiquement le graphe complet de u t( ) en calculant les durées caractéristiques correspondantes.

VII₃₅. u

La résistance non linéaire RNL a pour caractéristique en convention récepteur , où a est une constante positive. A l'instant 0 , on ferme K, le condensateur étant déchargé.

i =au3/2 RNL C

K E

1) Ecrire l’équation différentielle régissant u t^{( )} en fonction du temps t. 2) Déterminer la ou les condition(s) initiale(s).

3) Exprimer u t^{( )}. VIII₄₈.

10 V 1H 1 F 5 1000

E = L = C = µ r = Ω R= Ω.

u E

C R r L

L’interrupteur étant fermé depuis très longtemps, on l’ouvre à l’instant 0.

1) Montrer que ^{LCd u}_dt^{22 +}

(

^{rC +}_{R dt}^{L du}

)

⁺

⁽

¹⁺_R^r

⁾

^{u =E.}

2) Montrer que u^{( )}0 =0 et du( )0 E dt =rC .

3) Calculer numériquement les racines de l’équation caractéristique sous la forme −λ±^jω. 4) Résoudre littéralement, en fonction des données, de λ et de ω.

5) Exprimer numériquement u t^{( )}.

6) Tracer le graphe schématique de u t^{( )}. Qu’a-t-il de remarquable ?

R ; 2)

IX58. Circuit avec éclateur, d’après ESTP 1985.

Un circuit est constitué d'un générateur à haute tension de force électromotrice constante et de résistance interne , d’un interrupteur, d'une résistance

et d'un condensateur de capacité relié en parallèle à un éclateur qui décharge complètement en un temps très court le condensateur lorsque la tension à ses bornes atteint la valeur . Jusque l’instant 0, le condensateur est déchargé ; on ferme alors l’interrupteur.

120 kV

E = r =100 kΩ

100 M

R = Ω C =1nF

0 50 kV V =

1) Exprimer littéralement la tension en fonction du temps t et des paramètres du problème entre l’instant 0 et l’instant T de la première étincelle.

u t( )

2) Calculer littéralement et numériquement T.

3) Tracer schématiquement les graphes u t^{( )} et i t^{( )}. Quel rôle joue T dans ces graphes pour t >0 ? 4) Calculer littéralement et numériquement la valeur moyenne de i au cours du temps pour t >0. 5) Calculer la puissance moyenne fournie par le générateur. Que devient cette énergie ?

R i

u L

C r

i1 i2 i3

E,r

R C

u i

X₃₅. Circuit RLC parallèle, d’après petites mines 1993.

Données : E = 6,0 V ; R = 2500 Ω ; r = 1250 Ω ; C =1,0 µF ; L = 20 mH.

1) Depuis un temps très long, jusque , l’interrupteur est ouvert. Expliquer pourquoi u, i

0 t =

1, i2 et i3 sont nuls, même si au départ ils

ne l’étaient pas. E

2) A t = 0, on ferme l’interrupteur. Déterminer u, i1, i2 et i3 juste après cette fermeture (instant 0⁺).

3) Déterminer u, i1, i2 et i3 après un temps suffisamment long pour que le régime permanent soit établi.

4) Etablir les équations reliant u, i, i1, i2, i3 et la charge q2 de l’armature du haut de C.

5) Etablir l’équation différentielle régissant i1(t).

6) Les racines de l’équation caractéristique sont de la forme λ ± jω. Calculer λ et ω.

7) Exprimer i1 en fonction de E, R, ω, λ et t.

8) Calculer la pseudopériode.

9) Définir et calculer le décrément logarithmique δ.

10) On considère que le régime permanent est atteint quand l’amplitude des oscillations a été divisée par 1000.

Calculer le temps nécessaire à l’établissement du régime permanent.

11) Représenter qualitativement le graphe de i t₁^{( )}.

12) Après un temps très long, on ouvre l’interrupteur. Quelle est la quantité d’énergie convertie en chaleur dans la résistance r lors de l’évolution ultérieure ?

Réponses

I. 1) J₁ =0 U₁ =E I₁ =E/ _{2 2} E ₂ RE

r R U r R

= = =

+ +

I J ; 3) est une fonction continue du

temps ; on ne sait rien de i et u ; 4)

j

( )

1 exp

E r R

i ⁼ j ⁼_{r +R}^⎡⎢_⎣ ^{− − +}_L ^{t ⎤⎥}_⎦ ^{; u =}_r^RE_+R^⎡⎢_⎣^1−exp

(

^{−r +}_L^Rt

)

^⎤⎥_⎦ ^;

5) ^u =^E ; E i ;

=R ^{j =}_{r +}^E_R^exp

(

^−rt_L

)

; 6), 7) et 8) voir corrigé.

II. 1)

2

2 0

d u du

LC RC u

dt + dt + = ; 2) ^u(0)=^E et du(0) 0 ; 3)

dt = 10 s ¹

2 R

L

= = −

λ et

2 1

2

1 1000 rad.s

4 R

LC L

= − −

ω ; A=E =10 V ; E 0,1 V

B =λ = ; 4)

ω ³

2 6,28.10 s

T ;

5) ; 6)

= π = −

ω 0, 063

= T =

δ λ t = ^ln10 =0,23 s ;

λ ³⁶

N t

=T = oscillations observables.

III. 1) τ est un temps ; il représente l’ordre de grandeur de la durée de l’évolution du système ; 2) v1 = v2 = 0 ; 3) v₁ =v₂ =2 / 3E ; 4) centre d’antisymétrie ; _{1 2} 2

[1 exp( 3 / )]

v v .

3

E t RC

= = − −

IV. 1) Étincelle ; 2) i ^E ; q ;

= R (0)=0 dq(0) E

dt = R ; ( ) 1 ² cos ¹ sin

2

Rt

L R

q t CE e t t

RC L

⎡ − ⎛⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎞⎟⎤

= ⎢⎢⎣ + ⎜⎜⎝− ω +⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ω ⎟⎟⎠⎥⎥⎦

ω ω ;

3) E 3200 volts RC =

ω .

V. 1) u =v =0 ; i =0 et j =E R/ ; 2) i = j =0 ; u =v =E ; 5) u(0⁺)=0 et du(0 ) 0 dt

+ = ; 6)

( ) (

exp 4 exp

3 4

E t t

u =E + ⎡⎢⎣ −τ − − τ

)

⎤⎥⎦^{; 9) 4RC .} VI. 1) RC^du u E

dt + = ; ^{u =E +Aexp}

(

⁻_RC^t

)

^{; 2) RCdu}_dt ⁺

(

^1+R_r

)

^{u =E ;}

( )

( )

rE exp r R t

u A

r R rRC

= + − +

+ ; 3) ^{u =E⎡⎢}_⎣^1−exp

(

⁻_RC^t

)

^⎤⎥_⎦ ^{; t3 =−RCln 1}

(

^−V_E^a

)

^{=0, 825 s ; 4)}

(

^a

)

^exp

(

^{( )}

rE rE r R t

u V

r R r R rRC

= + − − +

+ +

)

; la lampe s’éteint après être restée allumée

5 ln ^e 0,145 s

a

V rE

rRC r R

t r R V rE

r R

− +

=− =

+ −

+

; 6) entre deux éclairs, la lampe reste éteinte pendant la durée

6 ln ^e 0, 624 s

a

E V t RC

E V

= − =

− ; période

0, 77 s.

VII. 1) ^3/2 du

au C

=− dt ; 2) u^{( )}0 =E ;

3)

( )

²

1

u

t 20 V

60 V

0, 82 s 0,14 s 0, 62 s 0

1 2

u at

E C

=

+ .

VIII. 3) λ=502, 5 s⁻¹ et ω =867, 46 rad/s ; 4)

( )

( )

exp cos sin

1 / 1 / 1 /

E E t E E

u t t

r R r R rC r R

⎡ ω ⎛⎜ λ ⎞⎟ ⎤

= + + −λ ⎢⎢⎣− + +⎜⎜⎝ ω−ω + ⎟⎟⎟⎠ ω ⎥⎥⎦ )

; 5)

( )[ ( ) ( ]

9, 95 exp 502, 5 9, 95 cos 867, 46 2300 sin 867, 46

u = + − t − t + t ; 6) voir

ci-contre qualitativement.

0 t 10 V

u

IX. 1)

( )

1 exp t

u E ; 2)

r R C

⎡ ⎛⎜ ⎞⎤⎟

= ⎢⎢⎣ − ⎜⎜⎝− + ⎟⎟⎠⎥⎥⎦ ^{T (r} R C^{) ln 1}

(

^V0

)

^{0, 054 s ; 3) T} est la période ; 4)

=− + − E =

0 9, 3.10 4A i CV

T

= = − ; 5) p =E i =111 W.

X. 2) i1 =i3 =0 u =0 i2 =E R/ ; 3) i₁ =E R/ i₂ =i₃ =0 u =0 ; 4)

2 i1

3 t

q d

u E Ri ri L

C d

= − = = = ; 2 ²

dq

= dt = +i +i₃

i ; i i1 2 ; 5) ^{LCd i}_dt^{221 +L}

(

_R^{1 +}_{r dt}¹

)

^{di1 +i1 = E}_R ^{; 6)}

et ; 7)

600 s⁻1

λ= ω=7046 rad.s^{−1 i1 =E}_R^⎡⎢_⎣^1−exp(^−λt)

(

^{cosωt +λ}_ω^sinωt

)

^⎤⎥_⎦ ^{; 8) T =2 /π ω=8, 92.10−4s ;}

9) 2

0, 535 δ=λ π=

ω ; 10) ln1000

0, 0115 s

t = = ; 12)

λ

2 8

2 5, 8.10 J 2

LE R

= − .

Corrigés

I.

1) La tension aux bornes du court-circuit K est nulle : J1 =0 U1 =E I1 =E R/ .

2) En régime permanent, la tension aux bornes d’une inductance L^di est nulle parce que i est constant.

dt

2 2 E 2 R

I J U

r R r R

= = =

+ +

E . 3) L’énergie ^{1 2}

2Lj de la bobine est une fonction continue du temps, aussi est une fonction continue du temps. Par contre, rien n’impose à i et u d’être des fonctions continues du temps.

j

4) Si t >0, dj ( )

i j L r R j E

= dt + + = .

L’équation caractéristique est 0 r R

Lp ; la solution générale de l’équation sans second

membre est

r R p

L + + = ⇒ =− +

(

exp r R

j A t

L

= − +

)

. Une solution particulière est j E r R

= + . D’où la solution générale de l’équation avec second membre

. D’où la solution générale de l’équation avec second membre

= +

( )

exp r R E

j A t

L r

= − + +

+R. La condition initiale est ^{( )}0 ₁ 0 E

j J A

r R

= = ⇒ + =

+ 0. D’où :

( ) ( )

1 exp 1 exp

E r R RE r

i j t u t

r R L r R L

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = + ⎢⎣ − − ⎥⎦ = + ⎢⎣ − − ⎥⎦ R

5) Les équations sont E

u E i

= =R et ^Ldj_dt ^{+rj =0⇒ j =Aexp}

(

^−rt_L

)

. avec la condition initiale

( )0 ₂ E

j J

r R

= = =

+ A, on obtient ^{j =}_{r +}^E_R^exp

( )

^−r_L^{t .}

u

t

u

t

E E

RE r +R

2 E

0 0

u

t

6) 7)

8) E

0 RE r +R

II. i

1)

2

; 2 0

di dq du d u du

u Ri L i C LC RC u

dt dt dt dt dt

= + =− =− ⇒ + + =

2) Les énergies 1 ²

2Cu du condensateur et

2 2

1 1

2 2

Li L Cdu dt

⎛ ⎟

= ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎞

⎠ de la bobine ne peuvent être transmises instantanément, donc uet du

dt sont des fonctions continues du temps. Les conditions initiales sont donc u(0)=E et du(0) 0

dt = .

3) L’équation caractéristique est . Son discriminant, , est

négatif. Ses racines sont de la forme où

2 1 0

LCr +RCr + = R C^{2 2} −4LC =10⁻¹² −4.10⁻⁶ λ j

− ± ω 20 ¹

2 2 10 s R

λ= L = = ⁻ et

2 2 2 2

1

2 6

4 1 1 20

1000 rad.s

2 2 4 10 4

LC R C R

LC LC LC L

ω = −∆ = − = − = ₋ − ⁻ .

La solution générale de l’équation différentielle est

( ^{j t}) ( ^{j t}) ^t[ (cos sin ) (cos sin )]

u =A e′ ^{−λ+ ω} +B e′ ^{− −λ ω} =e^−λ A′ ωt+j ωt +B′ ωt−j ωt ω

qui est de la forme proposée par l’énoncé.

[ cos sin ]

u =e^−λt A ωt+B t

(0) 0 10 V

u = ⇒A=E =

[ sin cos ]

(0) 0 0,1 V

du t

u e A t B t

dt

du E

E B B

dt

λ λ ω ω ω ω

λ ω λ

ω

=− + − − +

=− + = ⇒ = =

4) 2 2 ³

6,28.10 s T ^π 1000^π

ω ⁻

= = =

5) ( ) _{( )} ³

ln ln 10 6,28.10 0, 063

( )

t t T

u t e

u t T e T

λ

δ= = ₋λ⁻₊ =λ = × ⁻ =

+

6) Négligeons B E devant A . L’amplitude des oscillations Ae doit être supérieure à E , ce qui a lieu jusqu’à l’instant t tel que

= /100 =E ^−λt /10

1/10 ln10 0,23 s

e^−λt = ⇒t = _λ = . Le nombre des oscillations observables est

−3

0,23 36

6,28.10 N t

=T = =

= =

R = = E

v2

= oscillations observables.

III.

1) τ est un temps ; il représente l’ordre de grandeur de la durée de l’évolution du système.

2) Comme les condensateurs ont la possibilité de se décharger dans les résistances, v1 = v2 = 0. Comme l’énergie d’un condensateur est une fonction continue du temps, les tensions initiales à la question 4 sont aussi v₁(0) v₂(0) 0’est 3) Les condensateurs sont chargés et le courant y est nul ; le courant parcourt les trois résistances disposées en série, donc il vaut E/ 3 et la tension aux bornes de chaque résistance est E/ 3 ; d’où v₁ v₂ 2 / 3.

4) Le milieu de la résistance est un centre d’antisymétrie, donc v , d’où la carte des tensions ci-contre. La loi des nœuds, appliquée au nœud de gauche, donne :

1

1

1

1 1 1

1 1

1 1

0 1 0 1

1

2

2 3

2 3

[ln(2 3 )] ln

2 3 3 3 2

2 [1 exp( 3 / )]

3

v

v

dv E v E v

C dt R R

dt RCdv

E v

RCdv RC RC E v

t E v

E v E

v E t RC

− −

= +

= −

= =− − =− −

−

= − −

∫

2E

2 1

E − v v1

E −v1 v₁ E −v1

−q q

u L

C R

IV.

1) La fermeture de l’interrupteur implique que le courant passe brutalement de à 0, ce qui implique que la tension aux bornes de la bobine

/ E R Ldi

dt est infinie à l’instant . En pratique, une étincelle éclate dans l’interrupteur. 0 2) Avant l’ouverture de l’interrupteur, le courant est ^{i E}

=R et la tension aux bornes de l’interrupteur est nulle ; comme l’énergie est une fonction continue du temps, ⁱ et ^q sont des fonctions continues du temps ; les conditions initiales sont donc ^q(0)=⁰ et dq(0) E

dt =R.

2 2

d q dq q

L R

dt + dt +C =E

L’équation caractéristique ^{Lr2 Rr 1 0}

+ +C = a un discriminant négatif ; ses racines sont 2

R j

L ω

− ± .

La solution particulière est CE.

La solution de l’équation différentielle est donc q =CE +e^−2RtL( cosA ωt +Bsinωt) Les conditions initiales sont

2

2

(0) 0

(0) 1

2 2

( ) ( cos 1 sin )

2

( ) 1 cos 1 sin

2

Rt L

Rt L

q CE A A CE

dq AR E RC E

B B

dt L R R L

q t CE e CE t RC E t

R L

q t CE e t R t

RC L

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

−

−

= + = ⇒ =−

⎛ ⎞⎟

= − = ⇒ =⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

⎛ ⎞⎟

= + − +⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

⎡ ⎛⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟

= ⎢⎢⎣ + ⎜⎜⎝− +⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ⎟⎟⎥⎥⎦

⎞⎤

⎠

3) ⁰ ₁₂

0

1 1 1 0, 01

10 10.10 3162

L L

Q R RC R C

ω

ω ⁻

= = = = = est très grand, donc l’exponentielle est voisine de 1

pendant la première pseudopériode. D’autre part, ₀ ¹

ω ≈ω = LC et ^{Q 1 1 1 R}

RCω Q Lω

≈ ≈ , donc

( ) E sin

q t t

R ω

≈ ω dont le maximum est _Rω^E , donc la tension maximale est E 3200 volts RCω ≈QE =

V.

1) Les condensateurs, primitivement déchargés, ne peuvent se charger instantanément parce qu'ils sont en série avec des résistances. Donc initialement . La loi des mailles (voir question 3 qui suit) montre alors que et

.

0

u =v = i =0

/ j =E R

2) Au bout d'un temps infini, les condensateurs sont chargés et ne laissent pas passer le courant, donc . La loi des mailles montre alors que u v .

0 i = j =

= =E 3) v =u +2Ri (maille du haut)

)

E = +v R i( +j (maille du bas)

dq du

i C

dt dt

= = (condensateur C) dq 2 dv

j dt dt

= ′= C (condensateur 2C) 4)

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 4

2 2 4

4 5

i Cdu dt v u RCdu

dt

du d u

j C RC

dt dt

du du du d u

E u RC R C C RC

dt dt dt dt

d u du

u E

=

= +

= +

⎛ ⎞⎟

= + + ⎜⎜⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎟⎠

τ + τ + =

5) Les conditions initiales sont u(0⁺)=0 et du(0 ) dt

+ =0 puisque i(0⁺)=0 et du i C

= dt 6) L'équation caractéristique 4τ^{2 2}r +5τr + =1 0 a pour racines 1

− et τ

1

−4 . τ

La solution générale de l'équation sans second membre est u =Aexp(− τt/ )+Bexp(−t/ 4τ). Une solution particulière est u =E.

D'où la solution générale u =E +Aexp(− τt/ )+Bexp(−t/ 4τ). Les conditions initiales sont : u^{( )}0 =0, soit E +A+B =0 et ( )0 0

dt =

du , soit 0

4

A B

− − =

τ τ . D'où :

/ 3 4 / 3. A=E B =− E

( ) ( )

exp 4 exp

3 4

E t t

u =E + ⎡⎢⎣ −τ − − τ ⎤⎥⎦

7) _dt ⁼ ₃^E_τ^⎡⎢_⎣^−exp

( )

^−t_τ ^+exp

( )

⁻₄^t_τ ^⎤⎥_⎦^{>0 >}

8)

e temps est de l'ordre de car la fonction 4

du pour t 0, donc u t( ) est croissant.

9) C 4RC ^exp

( )

⁻₄^t_τ est la plus importante.

dem τ.

ais elle est située plus à gauche, car le condensateur de capacité P

Une résolution numérique, non andée, donne t =3, 868 10) La courbe de v t^{( )} ressemble à celle de u t^{( )}, m

2C est branché plus ctement sur E que le co ensateur de capacité C et se charge plus vite.

lus précisément,

dire nd

( )

2 u Ri

= + ⎫⎪⎪

croissant v

i Cdu v u

dt u t

⎪⎪⎪⎪

= ⎬⎪⇒ >

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

VI.

1) ^{E u Ri RCdu RCdu u E}

dt dt

− = = + = d’équation caractéristique ^{RCp 1 0 p 1}

+ = ⇒ =−RC , d’où

compte tenu de la solution particulière ^u =^E, la solution ^{u =E +Aexp}

(

⁻_RC^t

)

^{, où A} est une constante

2) ^{E −u =Ri =R C}

(

^du_dt ^+u_r

)

^RCdu_dt ⁺

(

^1+R_r

)

^{u =E} d’équation caractéristique

1 R 0

RCp p

r r

+ + = ⇒ =−r +R

RC , d’où compte tenu de la solution particulière u ^rE r R

= + , la solution

( )

( )

rE exp r R t

u A

r R rRC

= + − +

+

0

, où A est une constante arbitraire.

3) La tension aux bornes du condensateur est une fonction continue du temps, donc la condition initiale est , d’où

( )0

u = ^{u =E⎡⎢}_⎣^1−exp

(

⁻_RC^t

)

^⎤⎥_⎦ ^{. u t( )} croît à partir de 0. Quand ,la lampe s’allume, donc à l’instant :

u =Va

( )

^{5 6}

( )

3

ln 1 9.10 10 ln 1 60 0, 825 s

100 Va

t RC

E

=− − =− × − × − = .

4) La condition initiale est u^{( )}0 =V_a, d’où la solution ^{u =}_r^rE_+R ⁺

(

^{Va −}_r^rE_+R

)

^exp

(

^−(r_rRC^{+R t)}

)

5) ^{rE 10 V}

r R =

+ , donc la fonction précédente décroît de à ¹⁰ . La lampe reste allumée jusqu’à ce que , soit pendant la durée

60 V V

e 20 V

u =V = ₅ ln ^e 0,145 s

a

V rE

rRC r R

t r R rE

V r R

− +

=− =

+ −

+

. 6) Entre deux éclairs, la lampe reste éteinte pendant la durée

5 6

6

100 20

ln 9.10 10 ln 0, 624 s

100 60

e a

E V t RC

E V

− − −

= = × =

− − . La période est t₅ +t₆ =0,145+0, 624=0, 77 s .

u

t 20 V

60 V

0

0, 82 s 0,14 s 0, 62 s

VII.

1) La tension aux bornes du condensateur est E −u ; d’où d E⁽ u⁾ du

i C C

dt dt

= − =− , d’où au^3/2 C^du

=− dt 2) A l’instant 0, la tension aux bornes du condensateur est continue, donc u^{( )}0 =E.

3)

( )

( )

3/2 1/2

0 2

2 2 1 1 1

1 2

t u u

E E

C C C

t dt u du u u

a a a u E at

E C

− ⎡ − ⎤

= = − = ⎣ ⎦ = − =

∫ ∫

+ VIII.

1)

( ) ( )

2 2 2

2 1

R C

di u du

u E ri L i i i C

dt R dt

ru du L du d u

u E rC LC

R dt R dt dt

d u L du r

LC rC u E

R dt R

dt

= − − = + = +

= − − − −

+ + + + =

i i_R i_C u E

C R r L

2) Le condensateur s’est déchargé dans le fil, donc avant ouverture de l’interrupteur (tension aux bornes d’un fil). Comme la tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue du temps,

0 u =

( )0 0

u = .

Avant ouverture de l’interrupteur di E ri L

= + dt ; i s’était établi à la valeur constante ; comme le courant dans une bobine est une fonction constante du temps, après ouverture de l’interrupteur

/ E r

( )0 / i =E r. De

u d

i C

R d

= + u

t on déduit du^{( )}0 E . dt = rC

3) Cherchons une solution en exp⁽pt⁾. L’équation caractéristique est

( )

2

6 2 3

1 0

10 1, 005.10 1, 005 0

L r

LCp rC p

R R

p p

− −

+ + + + =

+ + =

± ω

Ses racines sont de la forme −λ j , où λ=502, 5 s⁻¹ et ω =867, 46 rad/s 4) La solution de l’équation est

( )( )

( )

( )( ( ) )

( )

( )

( )

exp cos sin

1 /

0 0

1 / 1 /

exp cos sin sin cos

0

exp cos sin

1 / 1 / 1 /

u t A t B t E

r R

E E

u A A

r R r R

du t A t B t A t B t

dt

du E E

A B B A

dt rC rC

E E t E E

u t t

r R r R rC r R

= −λ ω + ω +

+

= + = ⇒ =−

+ +

= −λ −λ ω + ω − ω ω + ω ω

=−λ + ω= ⇒ = +λ

ω ω

⎡ ω ⎛⎜ λ ⎞⎟

= + −λ − + − ω ⎤

⎢ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥

+ ⎢⎣ + ⎝ ω ω + ⎠ ⎥⎦

5) u =9, 95+exp(−502, 5t)[−9, 95 cos 867, 46( t)+2300 sin 867, 46( t)] 0 t 10 V

u

6) Le graphe est représenté schématiquement ci dessus ; à cause du coefficient égal à 2300, la tension atteint temporairement une valeur bien plus élevée que les 10 volts de l’alimentation (elle croît jusque 1200 volts en fait) ; au bout d’un certain temps, elle revient à 9,95 volts, après avoir oscillé autour de cette valeur.

IX. d’après ESTP 1985.

1) i ^dq q Cu E u ⁽R r i^{) (}r R C^{) du} u E .

dt dt

= = = + + ⇒ + + =

L’équation caractéristique ^(r +^{R Cp)} + =^{1 0} a pour racine

( )

p 1

r R C

=−

+ , d’où la solution générale

( )

exp t

u E A

r R C

⎛ ⎞⎟

= + ⎜⎜⎜⎝− + ⎟⎟⎠.

La condition initiale ^{u( )0} =⁰ donne ^A+^E =0. D’où finalement :

( )

1 exp t

u E

r R C

⎡ ⎛⎜ ⎞⎟

= − − ⎤

⎢ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2) ^{V0 =E⎡⎢}⎢⎣^{1−exp⎛⎜⎜}⎜⎝⁻(_r +^T_{R C}) ^⎞⎤⎟⎟⎟⎠^⎥⎥⎦ ^{⇒T =−}(^{r +R C}) ^{ln 1}

(

^−V_E⁰

)

^{=−108 ×10−9 ×ln 1}

(

⁻₁₂⁵

)

^{=0, 054 s.}

3) Entre 0 et ^T, du E exp ₍ t ₎

i C .

dt r R r R C

⎛ ⎞⎟

= = + ⎜⎜⎜⎝− + ⎟⎟⎠

T est la période de ces graphes.

4) ^{( ( ) ( ))}

9 4

0 4

0 0

1 1 0 10 5.10

9, 3.10 A 0, 054

T T du C u T u CV

i idt C dt

T T dt T T

− −

− ×

=

∫

=

∫

= = = = ^.

X. d’après petites mines 1993.

1) Si le condensateur était chargé, il se déchargerait dans la résistance et au bout d'un certain temps u, et tomberaient à zéro. La loi des nœuds impose alors à d'être aussi nul.

i2 i₃ i1

2) L'énergie de la bobine étant continue, est initialement nul. L'énergie du condensateur étant continue, ^u est initialement nul. Donc, comme , est également nul. D’où .

i1

u = ri3 i₃ i=i₂ =E R/

3) En régime permanent, les dérivées par rapport au temps des tensions, charges et courants sont nulles, donc

1 0

u Ldi

= dt = et 2 dq² 0

i = dt = . Comme u = 0, i3 = 0. La loi des mailles donne alors i =i₁ =E R/ .

4) q² 3 dⁱ¹

Ri ri L

C dt

= − = = =

u E ; 2 dq²

= dt = +i +i3

i ; i i1 2 . 5) 3 L di¹

i ;

= r dt ₂ d i²₂¹ i LC

= dt ; ^{LCd i}_dt^{221 +L}

(

_R^{1 +1}_{r dt}

)

^{di1 +i1 =E}_R^.

bp c + + =

6) L'équation caractéristique est une équation du second degré du type ap dont les coefficients sont ,

2 0

2.10 8

a = LC = ^{− b L}

(

^{1 1}

)

^{2, 4.10 5 et c} . Ses racines sont , où et .

R r

= + = − =

A t B t

= −λ ω + ω

= R

1 −λ± jω λ=600 s⁻¹

7046 rad.s⁻1

ω=

7) La solution générale de l'équation différentielle sans second membre est i₁ exp⁽ t⁾( cos sin ). Une solution particulière de l'équation avec second membre est ⁱ1 ^E/ .

La solution générale de l'équation différentielle avec second membre est

( )( ).

1 / exp cos sin

i =E R+ −λt A ωt+B ωt

Les conditions initiales sont i1(0⁺)=0 et ₁( ) (⁰ )

0 u 0

di .

dt L

+ = + =

D’où E 0

R +A= et E^{( )} 0 A B

R −λ + ω = , et finalement ^{i1 =E}_R^⎡⎢_⎣^{1−exp(−λt)}

(

^{cosωt +λ}_ω^sinωt

)

^⎤⎥_⎦ ^.

8) T =2 /π ω=8, 92.10⁻⁴s.

= π ω

9) Le décrément logarithmique est le logarithme népérien du rapport des valeurs maximales successives des écarts à l’asymptote. Entre deux maxima, t a augmenté de T 2 / et l'élongation est multipliée par ^exp

(

^−λ2_ω^π

)

^{, donc}

2 2

600 0, 535

7046

π π

δ =λ = =

ω .

10) Cherchons la durée t pour laquelle l'élongation est multipliée par exp⁽−λt⁾=10⁻³, d’où ln1000

0, 0115 s

t = = .

λ 11) Voir ci contre.

12) L’énergie dissipée est celle qui était stockée, soit

2 2 2

2

2 8

1 2 2

1 0, 02 6

0 5, 8

2 2 2 2 2500

q LE

Li C R

× −

+ = + = =

× .10 J (très petit).