Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2010/2011 Licence Mécanique Semestre 4
Compléments d'analyse réelle Math 203'
Interrogation 1
9 Mars 2011 à 11h15. Durée : 1h.
Documents, calculatrices, téléphones et appareils électroniques interdits.
Une attention particulière sera portée à la clarté et à la précision des réponses.
Barème indicatif : 3+6+2.
Questions de Cours.
Dire (en justiant proprement votre réponse) si les armations suivantes sont vraies ou fausses :
(1) Une suite réelle a toujours au moins une valeur d'adhérence dans R.
(2) Si(fn)n est une suite de fonctionsC1 convergeant uniformément vers f surI, alors (fn0)n converge uniformément vers f surI.
Exercice 1
Étudier la convergence (simple, uniforme) des suites de fonctions suivantes : (1) fn(x) := (sinx)n, x∈[−π/4, π/2];
(2) fn(x) := ncosnsinx+1x ,x∈[0, π/4]; (3) fn(x) :=n2x(1−x2)n, x∈[0,1].
Exercice 2 Calculer
n→+∞lim Z 1
0
xe−nx2 1 +exdx.
On pourra étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions x7→xe−nx2.
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