Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex
X Rappels et Compl´ ements sur les Probabilit´ es
1) Rappels sur le vocabulaire
a) UniverΩ des possibilit´es (issues, r´esultats). Possibilit´e ω∈Ω b) Ev´enement´ A⊂Ω ouA∈ P(Ω)
R´ealisation d’un ´ev´enementA⊂Ω, on prend ω∈Ω – siω∈A on dit que l’´ev´enementAs’est r´ealis´e – siω /∈A on dit que l’´ev´enementAne s’est pas r´ealis´e
– siω∈A∩B on dit que les ´ev´enementsAetB sont r´ealis´es simultan´ement
SiA∩B={}=∅ on dit que les ´ev´enements AetB sont incompatibles.
Ω est l’´ev´enement certain ; {}est l’´ev´enement impossible ; {ω} est un ´ev´enement ´el´ementaire c) Ensemble probabilis´e fini (Ω,P(Ω), P)
P({}) = 0 ; P(Ω) = 1 ; P!
A"= 1−P(A) ; P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
´Equiprobabilit´e P({ωk}) =pk= 1
card(Ω) ; dans ce cas P(A) =card(A) card(Ω)
d) Probabilit´es Conditionnelles Si A ⊂ Ω et P(A)'= 0, pour B ⊂ Ω on d´efinit la probabilit´e de B sachant que Aest r´ealis´e par
P(B/A) =PA(B) = P(A∩B)
P(A) ⇐⇒ P(A∩B) =P(A)×P(B/A) Ind´ependance de deux ´ev´enements, relativement `a une probabilit´e
P(A∩B) =P(A)×P(B) ⇐⇒ P(B/A) =P(B) ⇐⇒ P(A/B) =P(A)
2) Variables al´ eatoires
a) D´efinition
Le variable al´eatoireX est une application de Ω dansRtel que (X < x)∈ P(Ω).
On associe `a la variable al´eatoire, une loi de probabilite f(x) =P(X =x) et une fonction de r´epartition F(x) =P(X !x)
Exemple : deux d´es et le total des points ou le double rouge + blanc.
b) Variable discr`ete
pi=f(xi) =P(X =xi) ; F(xi) =P(X!xi) =
#n
i=1
pi
c) Variable continue
P(X=x) = 0 ; F(x) =P(X!x) =$ x
−∞
f(u)du F(x) est la primitive def(x) la densit´e de probabilit´e.
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XI Lois de Probabilit´ es
1) Esp´ erance, Variance, ´ Ecart type
a) Esp´erance math´ematique (valeur moyenne) Discr`ete : X =E(X) =
#n
i=1
(xipi) ; Continue : X =E(X) =$ +∞
−∞
x f(x)dx b) Variance (moyenne d’ordre 2 de la variable centr´ee)
Discr`ete : V(X) =
#n
i=1
!(xi−X)2pi"=E(X2)−X2
Continue : V(X) =$ +∞
−∞
(x−X)2f(x)dx=$ +∞
−∞
x2f(x)dx−X2 c) ´Ecart type : σ(x) =%
V(x)
2) Loi binˆ omiale, Loi de Bernouilli
a) Exp´erience binaire de Bernouilli (`a deux ´eventualit´es)
Soientpet (1−p) les probabilit´es de chaque ´ev`enement ´el´ementaire.
b) R´ep´etition de nexperiences ind´ependantes
c) Variable al´eatoireX qui compte le nombre des succ`es sur lesntirages.
La variable al´eatoireX sui une loibinˆomialeB(n;p)
P(X =k) =Cnkpk(1−p)n−k pour k∈ {1,2,3, . . . , n} d) Esp´erance, Variance, ´Ecart type
E(X) =n×p ; V(X) =n×p×q ; σ(X) =√n×p×q
3) Loi de Poisson
a) Lorsque n→+∞et que p→0 `a esp´erance constante n×p=λ On admet queB(n;p) converge vers une loi de PoissonP(λ)
∀k∈N P(x=k) =λke−λ
k! λ >0 b) Esp´erance, Variance, ´Ecart type
E(X) =λ ; V(X) =λ ; σ(X) =√ λ c) En pratique :P(λ) est une bonne approximation deB(n;p)
– si n est assez grand (n >50) et p assez petit (p <0,1) et n×p compris entre 0 et 10.
– si 10< n×p <20 il faut que n soit sup´erieur `a 200.
– pour n×p >20 on utilisera la loi normale.
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4) Loi normale
a) La loi normale de moyennemet d’´ecart-typeσ N(m;σ) a pour densit´e de probabilit´e p(x) = 1
σ√2πe− 1 2
x−m σ
!2
En effectuant le changement de variable t= x−m
σ , on d´efinit la loi normale centr´ee r´eduite N(0; 1) a pour densit´e de probabilit´e f(t) = 1
√2πe− t2
2 La fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite est :
Π(t) =P(T !t) =$ t
−∞
f(u)du
b) Propri´et´es de la loi normale N(m;σ)
P!
m−2σ3 !X !m+2σ3"= 50%
P(m−σ!X !m+σ) = 68%
P(m−2σ!X !m+ 2σ) = 95%
P(m−3σ!X !m+ 3σ) = 99,7%
c) Exercice
Nombre des ´el`eves d’une ´ecole de 1000 ´el`eves dont la taille est comprise entre 140 et 170.
Les tailles des ´el`eves de l’´ecole sont r´eparties de telle fa¸con qu’elles v´erifient une loi normale telle que m= 150cm et σ= 20cm
P(140!X!170) = P(−0,5!T !1)
= P(1)−P(−0,5)
= 0,8413−0,3085
= 0,5328 R´eponse 532
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