Facult´e des Sciences et Techniques. UHA MULHOUSE
L3 MATHEMATIQUES - GEOMETRIE TD4 : DEPLACEMENTS .
Translations-Rotations-Sym´etries axiales
Exercice 1 Tracer une droite de direction donn´ee sur laquelle deux cercles donn´es d´ecoupent des cordes ´egales.
Exercice 2. On donne deux droites parall`eles D et D0 et de part et d’autre de la bande du plan qu’elles d´elimitent deux points fixes A et B. On joint A `a un point M de D et B `a un pointM0 de D0
(1) Construire les images de B et de la droite D par la translation de vecteur M~0M. (2) Construire M etM0 tels que AM =BM0 et que M M0 a une direction donn´ee.
(3) MM’ ayant toujours une direction donn´ee, construire M et M’ tels que la sommeAM+ M M0+M0B soit minimale.
Exercice 3. Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle de centreO. SoitH l’orthocentre et h son sym´etrique par rapport `aBC.
(1) Montrer que h est sur le cercle
(2) Soit I le projet´e orthogonal de O surBC. Montrer que HA~ = 2IO.~
Exercice 4. Chercher la condition n´ecessaire et suffisante pour que le produit de trois d´eplacements soit un retournement (sym´etrie axiale).
Exercice 5. (Droite de Steiner) On consid`ere un pointI sur le cercle circonscrit `a un triangle ABC. Soient I1 et I2 les sym´etriques de I parrapport `a BC et BA. Montrer que I1I2 passe par l’orthocentre du triangle. En d´eduire que les sym´etriques de I par rapport aux trois cˆot´es du triangle sont align´es avec l’orthocentre (droite de Steiner).
1
