ATS ATS
Jules Ferry
TD 2 : Travail et énergie en dynamique du
point M3
Exercice 1 : Chute d'une goutte d'eau
Une petite goutte d'eau tombant dans l'atmosphère est soumise à son poids et à l'action de l'air. En négligeant la poussée d’Archimède, nous supposons que cette action de l'air se réduit à des frottements fluides de la forme
⃗f =−λ ⃗v . On abandonne une goutte d'eau sans vitesse initiale et en atmosphère calme. On admettra que le mouvement a lieu selon l'axe vertical Oz que l'on orientera vers le bas.
1. Exprimer l'énergie mécanique de la goutte d'eau à un instant quelconque.
2. En déduire l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par la norme de la vitesse v.
Faire apparaître le temps caractéristique τ et la vitesse limite de chute vl et donner leurs expressions.
Exercice 2 : Tremplin
Un skieur, modélisé par point matériel M de masse m s'élance sur un tremplin, sans vitesse initiale, depuis le point A. Le début du saut du skieur s’opère à la fin du tremplin en B. On néglige tous les frottements.
Déterminer la norme v0 de la vitesse initiale de saut du skieur lorsqu'il débute le saut (i.e. quand il est en B).
Exercice 3 : Vitesse de libération
L'énergie potentielle d'une masse m soumise au champ de gravitation terrestre est de la forme Ep=−Gm MT r où G désigne la constante de gravitation universelle, MT la masse de la Terre et r la distance de la masse ponctuelle au centre de la Terre.
1. Faire un schéma à un instant quelconque et représenter r. 2. Représenter l'allure de Ep(r).
3. En utilisant le graphique, trouver la condition sur l'énergie mécanique pour qu'une sonde spatiale puisse quitter le champ de gravitation terrestre, c'est-à-dire s'éloigner infiniment de la Terre. On négligera l'influence des frottements.
4. En déduire la vitesse minimale vl , appelée vitesse de libération ou 2ème vitesse cosmique, à communiquer à la sonde pour qu'elle puisse s’échapper de l'attraction gravitationnelle terrestre.
A.N. RT=6370km ; MT=5,98.1024kg ; G=6,67.10−11SI .
O A
x y
h
g
B h0
Exercice 4 : Pendule simple, équation du mouvement
Un point matériel M de masse m est accroché à l'extrémité d'un fil de masse négligeable, de longueur L dont l'autre extrémité est fixée en un point O. On est en présence d'un « pendule simple » (on parle de « pendule pesant » lorsque la masse de la tige n'est pas négligée).
L'ensemble est mobile dans un plan vertical.
À l'instant t=0 , le pendule est lâché sans vitesse initiale avec un angle θ0. 1. Exprimer Em(t) à un instant quelconque en fonction de θ(t) et ˙θ(t). 2. En déduire l'équation du mouvement sur θ(t).
3. La résoudre dans le cas où θ0≪1rad.
Exercice 5 : Pendule simple-bis, recherche d'une position extrême
Un point matériel M de masse m est accroché à l'extrémité d'une tige rigide de masse négligeable, de longueur L dont l'autre extrémité est fixée en un point O. On est en présence d'un « pendule simple » (on parle de « pendule pesant » lorsque la masse de la tige n'est pas négligée).
L'ensemble est mobile dans un plan vertical.
À l'instant t=0 , la masse passe à la verticale de O avec la vitesse v0. 1. Énergie potentielle.
a) Exprimer l'énergie potentielle Ep(θ) de la masse. On prendra l'origine de l'énergie potentielle dans sa position basse M0 .
b) Tracer Ep(θ) pour −π⩽θ⩽π. 2. Énergie mécanique.
a) Exprimer l'énergie mécanique Em en fonction de v0. b) À quelle condition sur v0 le mouvement est-il oscillatoire ? c) Exprimer la valeur extrême θmax dans ce cas.
Pour s'entraîner …
Refaire les exercices 2 et 4 du TD1 (M2) en n'utilisant que des raisonnements énergétiques au lieu de la deuxième loi de Newton.
