ATS ATS
Jules Ferry
TD 3 : Oscillateurs mécaniques libres unidimensionnels
M4
Exercice 1 : Ressort vertical
On considère une sphère M de masse m ponctuelle suspendue à un ressort vertical de caractéristiques ( k, ℓ0).
1. Déterminer l'énergie potentielle totale EPx du système à une constante près. On prendra pour cette question l'origine des x à l'extrémité fixe du ressort et l'axe Ox vertical descendant.
2. Déterminer la position d'équilibre xeq du ressort.
3. La première expérience a lieu dans l'air où les frottements fluides sont négligeables.
a) Établir, par un raisonnement énergétique, l'équation différentielle du mouvement de la masse m.
b) En déduire l'expression de la période T0 des oscillations.
4. Pour la seconde expérience, la sphère est totalement immergée dans un liquide de viscosité η. Elle est alors soumise à une force de frottement donnée par la formule de Stokes FS=−v, où v est la vitesse de la sphère et α le coefficient de frottement fluide.
a) Établir l'équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide à l'aide d'un raisonnement énergétique.
b) Donner la condition sur α, k et m pour que le régime soit pseudo-périodique.
c) En déduire l'expression de la pseudo-période T dans ce cas.
d) Déterminer le coefficient α en fonction de m, T et T0.
Exercice 2 : Signification énergétique du facteur de qualité lors d'un très faible amortissement
On considère un oscillateur harmonique amorti constitué d'un ressort horizontal de raideur k , de longueur à vide l0 fixe à une extrémité et lié à une masse m à l'autre extrémité dont la position au cours du temps est de la forme x(t)=l
0+Acos(ωt+ϕ)e−
ω0
2Qt
avec ω=ω0
√
1−4Q12 et ω0=√
mk .On se place dans le cas particulier où les frottements sont très faibles : Q≫1 (ou facteur d'amortissement ξ≪1).
1. Que peut-on dire de la pseudo-pulsation ω ? Que peut-on dire de la pseudo-période T ?
2. Donner l'expression de l'énergie mécanique Em(t) à l'instant t avec l'approximation précédente.
3. Exprimer la perte énergétique ΔEm de l'oscillateur entre l'instant t et l'instant t+T en fonction de Em(t) et Q .
Donnée : si ∣x∣≪1 alors ex≃1+x .
4. En déduire la signification énergétique du facteur de qualité Q lorsque l'amortissement est très faible.
Exercice 3 : Portrait de phase
On fait l'étude d'un oscillateur M de masse m = 0,20 kg astreint à se déplacer suivant l'axe (Ox) de vecteur unitaire ex dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Il est uniquement soumis aux forces suivantes :
• la force de rappel d'un ressort de raideur k : FR=−k xex où x est l'allongement du ressort
• une force de frottement visqueux : fv=− ˙xex
• une force constante : FC=FCex.
1. Établir l'équation différentielle du mouvement et la mettre sous la forme : x¨2 ˙x0 2x=0
2X0. Exprimer les grandeurs 0 , et X0 en fonction de m, k, et FC.
2. Donner l'expression de l'allongement x(t) dans le cas d'un régime pseudo-périodique. Exprimer la pseudo-pulsation en fonction de et de 0 puis en fonction de m, k et .
Le portrait de phase ( v(t) = x˙t, x(t) ) de cet oscillateur en régime pseudo-périodique est donné sur la figure ci-dessous. On souhaite pouvoir en tirer les valeurs des différents paramètres de l'oscillateur.
3. Déterminer graphiquement les vitesses v(0) et v(∞) et les allongements x(0) et x(∞) = X0 aux instants t=0 et t ∞ ainsi que les valeurs de la vitesse maximale vmax et de l'élongation maximale xmax.
4. On donne les différentes dates qui correspondent aux croisements de la trajectoire de phase avec l'axe des abscisses :
t (s) 0,32 0,65 0,97 1,3 1,62
En déduire les valeurs de la pseudo-période T et de la pseudo-pulsation. 5. On définit le décrément logarithmique par =1
nln
xtxtn T– X−0X0
avec n un entier naturel, x(t) et x(t+nT) les élongations aux instants t et t+nT.Montrer que l'on a =T.
6. En choisissant une valeur de n la plus grande possible pour les données dont on dispose, déterminer graphiquement puis en déduire la valeur de .
7. D'après la question 2, calculer la valeur de 0.
8. Déterminer les valeurs de la raideur du ressort k, du coefficient de frottement et de la norme de la force FC.
