Sur l'emploi de la méthode d'amortissement pour déterminer la valeur de l'ohm

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Submitted on 1 Jan 1885

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déterminer la valeur de l’ohm

Mascart

To cite this version:

Mascart. Sur l’emploi de la méthode d’amortissement pour déterminer la valeur de l’ohm. J. Phys.

Theor. Appl., 1885, 4 (1), pp.101-109. �10.1051/jphystap:018850040010100�. �jpa-00238315�

101

SUR L’EMPLOI DE LA MÉTHODE D’AMORTISSEMENT POUR

DÉTERMINER

LA VALEUR DE L’OHM;

PAR M. MASCART.

La Conférence internationale des unités

électriques,

^{au miment}

de choisir la valeur de l’unité de résistance

(ohm,

^{s’est trouvée en}

présence

^de

résultats,

fournis d’ailleurs _{par les}

expérimentateurs

les

plus ^habiles,

^dont la concordance ne

paraissait

pas conforme ^à la

précision

^des observations. A

part quelques exceptions,

^on

pouvait

reconnaître que ^toutes les

méthodes,

sauf celle de l’amor-

tissement,

^donnaient _pour ^l’unité

exprimée

^{en colonne de mercure}

de 1mmq de section une

longueur supérieure

^à

1m,06.

^{La méthode}

d’amortissement,

^au

contraire,

^a

toujours

^{fourni un nombre no-}

tablement

plus

^faible

(1 ).

J’ai

cherché

^si

l’interprétation plus complète

^de la théorie ne

pouvait

pas fournir

l’explication

^{de cette} différence.

Considérons un aimant dont le moment d’inertie est K eu le

moment

magnétique M,

oscillant dans une bobine dont R est la ré-

sistance,

^{L le} coefficient de self-induction et G la constante

galva- nométrique

moyenne dans la

région occupée

par

l’aimant,

^le

plan

moyen de la bobine étant

parallèle

^{au méridien}

magnétique.

Appelons

^{H la}

composante

horizontale du

champ

terrestre, ¹ l’in- tensité du courant induit à

l’époque

^{t, x} la déviation

angulaire

^de

l’aimant à

partir

^{de sa}

position d’équilibre,

^et supposons, ^{en outre,}

qu’une

^cause

étrangère

^à

l’induction,

telle que le frottement do

l’air,

^{donnc une} résistance

proportionnelle

^à la vitesse dont le

couple

^est

C dx dt.

Pour l’unité de courant, le

couple produit

par l’action de la bobine ^sur l’aimant

(ou

de l’aimant ^sur la

bobine)

^{est GlB1 cosx,}

et le travail

produit

pour ^un

déplacement

^dx

pendant

^le

temps

^d1

est

(1) JOllrnal le Physique, ⁹¹ série, ^t. III, p. 240.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018850040010100

émane de l’ainiant et traverse le circuit

(1).

^D’autre

part,

^{le flux} de force

dui provient

^{du courant lui-même est}

^LI,

^{de sorte que la}

force électromourice d’induction ^a pour valeur

(2)

c!t

l’équation

^{du courant induit est}

Le moment total des forces

qui agissent

^{sur l’aimant a} pour ^ex- pression

de sorte que

Inéquation

^dll mouvement est

Si l’on suppose que les déviations restent très

pctites,

^les

équations

^{d ii} eonranL et du mouvement se réduisent el

Lorsque

^{le circuit reste ouvert, le} courant est Ilul et le

phé-

noinène est défini par

Inéquation

En

posant

cette

équation

^devient

(’) ^{loit- CL} JoccERT, Leçons ^sur l’Électr. et le Magn., ^t. 1, p. 491.

(2) Ibid., p. 567.

103 Le mouvement ainsi

défini peut

^être oscillatoire ou

apériodique.

mais il

n’y

^{a lieu de} considérer ici

qu’un

^mouvement

oscillatoire,

ce

qui exige

que la

quantité

soit

positive.

^{Dans ce cas, si}

l’oribine

^du

temps correspond

^à

l’époque

^où l’aimant passe par ^sa

position d’équilibre, l’angle

(!YoarL est donné par ^une

c"(pression

^{de la forme}

la ^constante B étant définie par les conditions

initiales,

par

exemple par la

^{vitesse à}

^l’origine

^du

^temhs.

^Le mouvement est oscillatoire

et les

amplitudes

décroissent en

progression géométrique :

^{le dé-}

crément

logarithmique ^ho

^{et la durée zu de} l’oscillation

peuvent

^être dé terminés _par

expérience.

On a

d’ailleurs,

^en

appelant

^{T la durée} d’oscillation que l’on obtiendrait si toute cause d’amortissement était

supprimée,

Représentant

par ?o

l’expression V1 + A2 0 R2, il en

^résulte

Lorsque

^{le circuit est ferme et}

qu’on

^{élimine le} courant entre

les

équations (1) et (2),

^en

posant

on obtient

l’équation

différentielle linéaire du troisième ordre

dont

l’intébrale générale

^{est de la forme}

les Balenrs de

p, p’ eL y"

^étant les racines de

l’équation

prend

pour

origine Leiiips l’époque laquelle

passe par ^une

élongation d’alnplitude a,

^les constantes

A,

^{A’ et A"}

seront déterminées _par les conditions _{que, pour} t == u, ^on ait

Cette dernière condition

peut paraître douteuse, puisque

^l’extra-

courant ne s’annule _pas en même

temps

que le ^courant

principal.

avec des circui ts très

conducteurs,

l’erreur commise en faisant 1 ⁼ o est assurément

insignifiante.

L’expression

^{de la déviation en fonction des données}

expéri-

iiienlales serait très

complexe

^{dans le cas}

général; mais,

^{si l’on met}

à

profit

^cette circonstance que le

rapporu

^{est très}

^petit,

^on

^peut

obtenir une sol ution très

approchée

^du

problème

par la méthode suivante

que 81.

^{Tisserand a eu}

l’obligeance

^de

In’indiq uer.

L’une des racines pi de

l’équation (6)

^{est infinie}

lorsque

^le

coefficient L est

nul;

^{si le}

rahport L

^{est très}

^petit,

^{cette racine a}

une valeur très

grande,

sensiblement

égale

^{à -}

R; p’

L ^et

^o"

^dînèrent très peu des racines it’ et u" de

l’équation

et ces racines sont

imaginaires

^{si le mouvement a un caractère}

oscillatoire.

L’équation (5)

devisent alors

Le mouvement

peut

^{encore être considéré comme}

périodique

avec un décrément

logarithmique

^{et une} durée d’oscillation _z, mais les oscillations s’effectuent autour d’une

position

^{variable avec}

le

temps. Toutefois,

^{la constante}

A,

déterminée par les conditions

initiales,

^{se trouve}

proportionnelle

^{au cube du}

rapport L

R^{et, par}

conséquent, négligeable

^{dans les}

expériences.

Pour calculer les racines

p’

^et

p",

^on

peut

poser ^en

général

les valeurs de M étant données par

l’équation (7),

^{et le terme de}

correction _y est très

petit.

105

L’équation (6)

^{éLant mise sous la forme}

si l’on y

remplace p

par it

+ y

^eu

clu’on

^la

développe

par la série de

Taylor,

^{on obtient}

En

remarquant

que

q(u)

^{= o et ne}

^prenant

ensuite clue les

premiers

^{termes, il en résulte}

ou, ^{en tenant}

compte

^de

l’équation (7),

Les racines de

l’équation (’7)

^sont

avec

Substituan t ces valeurs de II dans

l’expressjon de y,

^{on obtient}

Enfin,

si 1 on pose

les valeurs

de p’ et p"

^sont données par

r équation

que ^l’on

peut

^écrire

en

posant

o’ p" permet

l’équation (5)

^{la forme}

(8),

^{les nouvelles} constantes B et to ^étant liées aux

précédentes

par les relations

La

première

^des

équations (11)

^{résout le}

problème,

car on u,

d’après l’équation (4),

ou, ^en

remplaçant

^{E0 + x dans le terme} de correction par ^sa valeur

approchée

^s, c’est-à-dire en

négligeant

^{le carré du}

rapport R’

R

Telle est, ^en

effet,

la formule donnée par Maxwell

(1).

Lorsque

l’amortissement est

considérable, l’expérience

^ne per-

met pas ^de déterminer directement la durée T des

oscillations,

^et

l’on

préfère

^en

général

^{la déduire de la durée T0 relative au circuit}

ouvert par la relation

mais cette relation n’est pas

rigoureuse.

En

effet,

^les

équations (10) et (11) ^{donnen t,}

^{au même}

degré d’ap- proximation,

en tenant

compte

^de

l’équation (9),

^{il en résulte}

(1) MAXWELL, Electricity ^and magnetism, ^t. II, P. 263.

107

Si l’on

représente

^encore

par q l’expression V

^{1 +}

^{A2 t2,}

^on

^peuL

écrire

ce

qui

^donne

Enfim,

^{si l’on}

remplace

^{a, dans le terme de}

correction,

par ^sa valeur

approchée E 2013

^{Eo et}

qu’on

substitue dans

1’ex.pression

^de

R,

en

remplaçan t

^{aussi K} par ^sa valeur tirée de

Inéquation (3),

^{il vient}

om, ^en

représentant

par

1&,

^{la valeur}

approchée

^{de la}

résistance,

La correction que l’on doit

apporter

^{an calcul}

approché

^{de la}

résistance,

pour tenir

compte

^du coefficient de

self-induction,

^est

donc moitié moindre

(1)

que celle _que l’on fait d habitude en

admettant

Inéquation ( 12 ).

Cette correction ne suffit pas ^encore pour faire

disparaître

^les

divergences;

^{une autre cause} d’erreur semble

plus importante.

En

réalité,

^{les courants induits sont très}

énergiques;

^{et c’est}

même là une condition nécessaire pour que l’amortissement soit notable. Ces courants induits donnent au

barreau,

^{dans une direc-}

tion

transversale,

^une aimantation

temporaire

^{dont il est nécessaire}

de tenir

compte.

L’intensité d’aimantation

temporaire

^du

^barreau, perpendicu-

lairement ^au méridien

magnétique,

^est

proportionnelle

^{à l’action}

CI clu courant

et peut

^être

représentée

par

h GI ;

^{si l’on}

appelle ’7

^le

(’ ) Depuis l’impression ^{de cette} Noterai ^reconnu que M. E. Dorn avait publiés déjà ^une démonstration équivalente du même résultat (voir Jf7ied. Annal. der

Plays. ^und Clzem., ^Bd. XXII, -t884).

l’aimant, magnétiques correspondant

hGIV. Cette aimantation ne modifie _pas

l’équauion (i)

^{relative à}

l’induction, puisque

^{le travail du courant sur} l’aimant transversal

est

toujours ^nul,

^{mais l’action de la terre sur} le barreau introduit dans

l’équation (2)

^un

couple

^{1-1 h GIV de}

signe

^{contraire au}

couple MGI;

^{le second membre de cette}

équation

^{doit donc être}

remplacé

par

On posera, ^comme

précédemment,

(it

l’équation

flllalc deviendra

Si l’on

appelle ^la

l’intensité _moyenne (faiulan tation

principale

de

l’aimant, It

^{celle de} la terre, ^et

qu’on

suppose

J’expérience

faite à la latitude de

45°,

^{on a}

par sui te

Or 1 intensité d aimantation de la terre est d’environ 0,079 ^ou

0,08

^{en unités}

C.G.S ; Ia dépasse

^{rarement 150} pour ^les aciers les

plus

^{fortement aimantés.}

Quant

^au coefficient

lt,

^{sa valeur}

dépend

de la forme (le l’aimant et de la nature du motal. Si l’aimant était

un

cylindres

^très

long parallèle

^à la direction du

cliamp,

c’est-à-dire a l’axe de la

bobine,

^{cette valeur serait}

égale

^au eoefficient k d’ai- mantation

qui

^est

compris

^{entre 3o et}

^/o

pour le fer

doux;

^{si les}

dimensions transversales de Faimant étaient

négligeables

par rap-

port

^{à sa}

longueur

^et

qu’il

^fût

parallèle

^au

plan

^{de la}

bobine,

^on

aurait

109

Le calcul de fi est, ^en

général,

^un

problème

^très

difficile ;

^mais si l’on veut avoir seulement une idée de

1"importance

de l’aiinanua- tion

transversale,

^on

peut

^{faire les}

hypothèses ^{Ia =}

^{i oo, h = 1,}

qui

^ne

s’éloignent

pas

beaucoup

des conditions

expérimentales

^et

qui

^donnent

Les

hypothèses

initiales relatives à la

petitesse

^des déviations ^et à la constance du coefficient G laissent encore un doute ^sur le de-

gré

d’exactitude du

résultat;

^{dans tous les} cas, les deux corrections que

je

^viens

d’indiquer

concordent pour faire

augmenter

^{la valeur} de l’unité de résistance trouvée par la méthode d’amortissement ^et la

rapprocher

ainsi de celles

qui

^{ont été obtenues} par les ^autres métliodes.

RECHERCHES EXPÉRIMENTALES SUR LA RÉFRACTION DES GAZ

LIQUÉFIÉS;

PAR M. L. BLEEKRODE (1).

On

possède

^très peu de recherches

expérimentales

^{sur la}

puis-

sance réfiractive des gaz ^à l’état

liquide,

^{celles-ci étant bornées au}

cyanogène liquide,

^{étudié en} 1826 par

Brewrster,

^{et aux} acides sul- fureux et C)

anhydrique, qui

^{sont aisément}

liquéfiés

par ^le froid.

J’ai

étudié, depuis plusieurs ^années,

^{les autres} gaz ^{sous ce}

rapport,

et

j’ai

^assez bien réussi à surmonter les difficultés

pratiques

^résul-

tant des

petites quantités

^{de substance et des}

grandes

^tensions.

Description

^de

l’appareil employé. -

Celui dont

je

^{me suis}

servi dans les

expériences

^{suivantes a été construit en vue de}

pouvoir appliquer

^le

microscope

^à la détermination de l’indice de

rélraction,

^ce

qui n’exige qu’un

^très

petit

^{volume de}

liquide,

^mais

nécessairement contenu dans des

parois plan-parallèles. L’emploi

d’un

prisme permet

certainement une exaclitude bien

plus grande,

mais aurait

exigé

des surfaces et un volume

plus

considérables et

l’emploi

^des

mastics, généralement

solubles dans les gaz

Iiduéfiés ;

( t ) Extrait par l’auteur d’un Mémoire présenté ^{à la} Société Royale de Lortclncs.