Cours - Fonction exponentielle et Logarithmique

Fonction Exponentielle I) Définition : Etant donné un nombre positif

a>0

, on appelle :

- fonction exponentielle de base «

a

» la fonction

f : R → ( 0 , +∞ ), f ( x ) = a

^x

- Si la base est la constante «

e

» on obtient la fonction exponentielle

f : R → ( 0 , +∞ ), f ( x ) = e

^x. Remarque : La fonction exponentielle est la seule fonction transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation

3 -2 -1 1 2 3 x

5 10 15 20 y

f(x + y) = f(x) f(y),

pour tout

x

et

y

réels

A

⁽¹⁾

II) Propriétés algébriques : pour tout

x

et

y

réels, 1)

e

^x+y

= e

^x

e

^y

2) ^x _x

e

⁻

= e 1

et _y

x y x

e e

⁻

= e

3) ^{n n m}

m

e e =

4)

e

⁰

= 1

5) La fonction exponentielle

- est définie sur tout l’ensemble des nombres réels, - a des valeurs strictement positives et

- est strictement croissante sur tout son domaine.

Remarque : La fonction exponentielle est une fonction à très forte croissance.

III) La fonction exponentielle de base a > 0

Les fonctions a^x et e^x ont les mêmes propriétés algébriques, sauf la monotonie : 1)

a

^x+y

= a

^x

a

^y

, ∀ x, y ∈ R

a>1 0<a<1

-3 -2 -1 1 2 3 x

2 4 6 8 y=a^x

2) ^x _x

a

⁻

= a 1

et _y

x y

x

a a

⁻

= a

3) ^{n n m}

m

a a =

4)

a

⁰

= 1

5) La fonction exponentielle de base

a > 0

- est définie sur tout l’ensemble des nombres réels, - a des valeurs strictement positives

- est strictement croissante si

a>1

, strictement décroissante si

0 < a < 1

et constante si

a=1.

Exercices 1) et 2)

IV) Inéquations exponentielles :

a

^f(x)

> a

^g(x) ou

e

^f(x)

> e

^g(x)

On utilise la monotonie de la fonction exponentielle, pour obtenir :

f(x)> g(x),

si

a>1

ou

f(x)< g(x),

si

0 < a < 1.

Exemple :

3

^X

> 729 ñ 3

^X

>3

⁶

ñ x >6

Exercice 3)

V) Equations exponentielles : l’inconnue apparaît à l’exposant

1) équations de type :

a

^f(x)

= b

, avec

a > 0, b > 0

et

a ∫ 1

. (En général la base

a=e

.) Avec l’injectivité de la fonction logarithmique on a :

a

^f(x)

= b ñ ln(a

^f(x)

) = ln(b) ñ f(x) = ) ln(

) ln(

a b .

En particulier, si

b

s’exprime comme une puissance α de

a

, on a :

ln(b) = ln(a

^α

) = α ln(a)

et on obtient :

f(x) = α .

Exemple :

2

^2X

= 64 ñ 2

^2X

= 2

⁶

ñ ln(2

^2X

) = ln(2

⁶

) ñ 2x = 6 ñ x = 3.

Exercice 4)

2) équations de type :

a

^f(x)

= a

^g(x)

Avec l’injectivité de la fonction exponentielle on obtient :

f(x) = g(x)

Exemple :

3

^X-6

= 3

^15-2X

ñ x-6 = 15 -2x ñ 3x = 21 ñ x=7

Exercice 5)

3) équations de type :

a

^f(x)

= b

^g(x) Exemple :

2

^X

= 3

^2X+1

ñ

x ln(2) = (2x+1) ln(3) ñ x (2 ln(3) - ln(2) ) = - ln(3) ñ

ln(2) - ln(3) 2

ln(3)

= - x

4) équations de type :

α a

^2x

+ β a

^x

+ γ = 0

Par la substitution

y = a

^x, on obtient l’équation de second degré:

α y

²

+ β y + γ = 0.

Comme

y = a

^x est positif on ne retient que les solutions

y

positives.

Exemple :

4

^X

+ 2

^X

= 272

Avec la substitution

y = 2

^x , on obtient l’équation de second degré:

y

²

+ y - 272 = 0,

qui admet les solutions

y

1

= 16, y

2

= -17.

La 2^ème solution (négative) ne convient pas, donc

2

^x

= 16, donc x = 4.

Exercice 6)

Fonction logarithmique I) Définition

f : ( 0 , +∞ ) → R , f ( x ) = ln( x )

Rappel : Le logarithme (népérien) d’un nombre positif

x

est le nombre réel

y

(positif ou négatif),

e^x

lnHxL

-4 -2 2 4 x

-6 -4 -2 2 4 6

noté

y = ln(x)

, tel que

x = e

^y. 8

II) Propriétés algébriques 1)

ln(1) = 0

2) La fonction logarithmique est strictement croissante sur tout son domaine

3) La fonction logarithmique est bijective, donc admet une réciproque. Sa réciproque est la fonction exponentielle.

Les graphiques des deux fonctions sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

III) Propriétés des logarithmes : Si x et y sont des nombres positives 1)

ln( xy ) = ln( x ) + ln( y )

2)

ln ln( x ) ln( y ) y

x

⎟= −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ; 3)

1 ln( )

ln x

x

⎟= −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 4)

ln( x

ⁿ

) = n ln( x )

; 5)

( )

2 )

ln ln( x

x

= et

( )

n x x

n

ln( )

ln

=

6) Comme les fonctions logarithmique et exponentielle sont des fonctions réciproques, alors

x e

e

^x

) =

^ln(x)

=

ln(

, pour tout

x

^{réel ;}

7) La relation entre l’exponentielle de base

a

et

e : a

^x

= e

^xln(a) pour tout

a > 0

IV) Equations logarithmiques

1) équations de type :

ln( f(x) ) = b

, avec

f(x)>0

.

Avec l’injectivité de la fonction logarithmique on obtient l’équation en

x

, à résoudre :

f(x) = e

^b. 2) équations de type :

ln( f(x) ) = ln( g(x) ),

avec

f(x)>0, g(x)>0

.

Avec l’injectivité de la fonction logarithmique on obtient l’équation en

x

, à résoudre :

f(x) = g(x).

Attention !: On retient seulement les solutions

x

qui vérifient les conditions

f(x)>0, g(x)>0

. V) Calculer le logarithme d’une expression

Il est parfois utile de calculer le logarithme d’une expression quand elle contient des racines ou des puissances grandes ou pour représenter graphiquement des fonctions de valeurs très grandes.

Exemple : a) Si

5 3 4

98 37

131 17

×

= ×

x

alors

ln( 98 )

5 ) 1 37 5 ln(

) 1 131 4 ln(

) 1 17 ln(

3 )

ln( x

= + − −

b) Si

f(x) = 10

¹² alors ln( f (x)) = 27.6