de plus, on suppose que pour tout ω ∈ Ω, la fonction t 7−→ Wt(ω) est continue sur [0,1] et v´erifie W0(ω

Master 2 Recherche Math´ematiques Appliqu´ees Examen de Processus Stochastiques

Le 9 janvier 2014 (dur´ee 3 heures)

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Le sujet de l’examen consiste en un probl`eme dont les deux parties peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment l’une de l’autre. Dans tout ce probl`eme, {W_t}t∈[0,1] d´esigne un mouvement brownien standard d´efini sur un espace de probabilit´e (Ω,F, P) ; de plus, on suppose que pour tout ω ∈ Ω, la fonction t 7−→ W_t(ω) est continue sur [0,1] et v´erifie W₀(ω) = 0. Dans tout ce probl`eme, l’espace des fonctions `a valeurs r´eelles continues sur [0,1], est not´e par C ; il est muni de la norme de la convergence uniforme k · k∞ et de B_C laσ-alg`ebre bor´elienne.

Partie I Soient m et M, les variables al´eatoires r´eelles d´efinies par m = mint∈[0,1]W_t et M = max_t∈[0,1]W_t. On note par (ξ_l)_l∈N^∗ une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans {−1,1}, d´efinies sur (Ω,F, P), mutuellement ind´ependantes, identiquement distribu´ees, et v´erifiant

P(ξ_l= 1) =P(ξ_l =−1) = 1/2, pour toutl ∈N^∗ ;

de plus on d´esigne par (S_i)i∈N, la suite des variables al´eatoires telles que pour tout ω∈Ω on a, S₀(ω) = 0 et quelque soit i∈N^∗,

S_i(ω) =

i

X

l=1

ξ_l(ω).

Enfin, pour toutn ∈N, on pose m_n= min0≤i≤nS_i etM_n = max0≤i≤nS_i.

1) SoitH :C −→R³ (R³est muni de la norme euclidienne), la fonction d´efinie pour toutx∈C par

H(x) = min

t∈[0,1]x(t),max

t∈[0,1]x(t), x(1) . a) Montrer que H est une fonction lipschitzienne.

b) En d´eduire que lorsque n tend vers +∞, le vecteur al´eatoiren^−1/2(m_n, M_n, S_n) converge en loi vers (m, M, W₁).

2) Pour tout n ∈ N et j ∈ Z, on pose p_n(j) = P {ω ∈ Ω : S_n(ω) = j}

; de plus pour tous a, b, v ∈Z, v´erifiant

a≤0≤b et a < b et a≤v ≤b, (∗)

on pose

p_n(a, b, v) = P {ω∈Ω : a < m_n(ω)≤M_n(ω)< b et S_n(ω) = v}

. a) Montrer que les s´eries P+∞

k=−∞p_n v + 2k(b−a)

et P+∞

k=−∞p_n 2b−v + 2k(b−a) sont convergentes.

b) On d´esigne par E(n, a, b, v) l’´egalit´e : pn(a, b, v) =

+∞

X

k=−∞

pn v+ 2k(b−a)

−

+∞

X

k=−∞

pn 2b−v+ 2k(b−a) .

(i) Montrer que E(n,0, b, v) est vraie pour tous n ∈N,b ∈N^∗ etv ∈N, tels que v ≤b.

(ii) Montrer que E(n, a,0, v) est vraie pour tous n ∈N, a∈Z^∗− etv ∈Z⁻, tels que a≤v.

(iii) On admet que E(0, a, b, v) est vraie pour tous a, b, v ∈ Z v´erifiant (∗) ; au moyen d’un raisonnement par r´ecurrence sur n, montrer que E(n, a, b, v) est vraie pour tout n ∈ N^∗ et tous a, b, v∈Z v´erifiant (∗).

3) Soient a, b, u, r∈Z v´erifiant

a≤0≤b et a≤u < r≤b, montrer que pour tout n∈N, on a

P(a < m_n ≤M_n< b, u < S_n < r)

=

+∞

X

k=−∞

P u+ 2k(b−a)< S_n< r+ 2k(b−a)

−

+∞

X

k=−∞

P 2b−r+ 2k(b−a)< S_n<2b−u+ 2k(b−a) .

4) Soit l’ensemble Θ =

(α⁰, β⁰, γ⁰, δ⁰)∈R⁴ :α⁰ < β⁰ et α⁰ ≤γ⁰ < δ⁰ ≤β⁰ ; nous d´esignons par (α, β, γ, δ) un ´el´ement fix´e de Θ qui v´erifie α≤0 et β ≥0.

a) Pour tout n∈N^∗, nous posons

a_n = [αn^1/2], b_n=−[−βn^1/2], u_n= [γn^1/2] et r_n =−[−δn^1/2],

o`u [·] d´esigne la fonction partie enti`ere. Montrer que le vecteur n^−1/2(a_n, b_n, u_n, r_n) appartient

`

a Θ, et que ce vecteur converge vers (α, β, γ, δ) lorsque n tend vers +∞.

b) Pour tout (α⁰, β⁰, γ⁰, δ⁰)∈Θ, nous notons parA^γ_α⁰0^,δ,β⁰⁰ le sous-ensemble bor´elien deR³ d´efini par A^γ_α⁰0^,δ,β⁰⁰ =

(x, y, z)∈ R³ : α⁰ < x≤ y < β⁰ etγ⁰ < z < δ⁰ ; nous admettons que pour tout (α⁰, β⁰, γ⁰, δ⁰)∈Θ, on a

P (m, M, W1)∈∂A^γ_α⁰0^,δ,β⁰⁰

= 0,

o`u∂A<sup>γ</sup><sub>α</sub><sup>0</sup>0<sup>,δ</sup>,β<sup>00</sup> d´esigne la fronti`ere de A^γ_α⁰0^,δ,β⁰⁰. Montrer que pour tout (α⁰, β⁰, γ⁰, δ⁰)∈Θ, on a P (m, M, W₁)∈A^γ_α⁰0^,δ,β⁰⁰

= lim

n→+∞P n^−1/2(m_n, M_n, S_n)∈A^γ_α⁰0^,δ,β⁰⁰

et en d´eduire que

P α < m≤M < β, γ < W₁ < δ

= lim

n→+∞P a_n< m_n ≤M_n< b_n, u_n < S_n < r_n .

c) Pour tout k∈Z, nous posons gk(α, β, γ, δ) = 1

√2π

Z δ+2k(β−α)

γ+2k(β−α)

e^−x2/2dx et hk(α, β, γ, δ) = 1

√2π

Z 2β−γ+2k(β−α)

2β−δ+2k(β−α)

e^−x2/2dx ;

montrer que

g_k(α, β, γ, δ) = lim

n→+∞P u_n+ 2k(b_n−a_n)< S_n < r_n+ 2k(b_n−a_n) et que

h_k(α, β, γ, δ) = lim

n→+∞P 2b_n−r_n+ 2k(b_n−a_n)< S_n<2b_n−u_n+ 2k(b_n−a_n) .

d) Au moyen de 3), 4)a), 4)b) et 4)c), montrer que P(α < m≤M < β, γ < W1 < δ) =X

k∈Z

gk(α, β, γ, δ)−hk(α, β, γ, δ) .

Partie II Soit {Y_t}t∈[0,1] le processus stochastique, appel´e pont brownien, d´efini par : Y_t(ω) =W_t(ω)−t W₁(ω), pour tout (t, ω)∈[0,1]×Ω.

1) Montrer que{Y_t}t∈[0,1]est un processus gaussien centr´e dont les trajectoires sont des fonctions continues.

2) Pour tout n ∈ N^∗, soit l’´ev´enement A_n =

ω ∈ Ω : 0 < W₁(ω) < n⁻¹ , montrer que P(A_n)>0 et que

n(2π)^1/2P(A_n)−1

< n⁻²/2.

3) On note par Y la variable al´eatoire de (Ω,F, P) dans (C,B_C) induite par le pont brownien {Yt}t∈[0,1] ; plus pr´ecis´ement, pour tout ω∈Ω, Y(ω) est la trajectoire t 7−→Yt(ω). On d´esigne par PY la loi de la variable al´eatoire Y, c’est-`a-dire la mesure de probabilit´e sur B_C, d´efinie par :

P^Y(B) =P Y⁻¹(B)

, pour toutB ∈ BC,

o`u Y⁻¹(B) = {ω ∈ Ω :Y(ω) ∈ B} est l’image r´eciproque de B par Y. Pour tout n ∈ N^∗, on d´esigne par Q_n, la mesure de probabilit´e sur B_C, d´efinie par :

Q_n(B) =P Y⁻¹(B)/A_n

= P A_n∩Y⁻¹(B)

P(An) , pour tout B ∈ B_C.

a) Nous supposons que k ∈N^∗ et t₁, . . . , t_k ∈[0,1] sont arbitraires et fix´es. Montrer que la variable al´eatoire W₁ est ind´ependante du vecteur al´eatoire (Y_t1, . . . , Y_tk). On pourra utiliser le fait que pour tout d ∈ N^∗, tout vecteur gaussien centr´e Z `a valeurs dans R^d et dont les coordonn´ees sont lin´eairement ind´ependantes, admet une densit´e de probabilit´e f_Z, telle que pour toutz ∈R^d,

f_Z(z) = (2π)^−d/2 det P

Z

−1/2

exp

−2⁻¹z^∗P−1 Z z

;

o`u z est identifi´e `a une matrice colonne dont la transpos´ee est not´ee z^∗, et o`u P−1

Z d´esigne l’inverse de P

Z la matrice de variances-covariances de Z.

b) Nous supposons que D est un cylindre de C, autrement dit, il existe k ∈ N^∗, il existe t₁, . . . , t_k ∈[0,1], et il existe V un sous-ensemble bor´elien de R^k, tels que

D=

x∈C : (x(t₁), . . . , x(t_k))∈V .

Montrer que pour tout n ∈ N^∗, on a Q_n(D) = PY(D) ; en d´eduire que Q_n(B) = PY(B) pour tout B ∈ B_C.

4) On note par W la variable al´eatoire de (Ω,F, P) dans (C,BC) induite par le mouvement brownien {W_t}_t∈[0,1] ; plus pr´ecis´ement, pour tout ω∈Ω,W(ω) est la trajectoire t7−→W_t(ω).

Pour tout n∈N^∗, on d´esigne par H_n, la mesure de probabilit´e sur B_C, d´efinie par : H_n(B) = P W⁻¹(B)/A_n

= P A_n∩W⁻¹(B)

P(A_n) , pour tout B ∈ B_C,

o`uW⁻¹(B) = {ω∈Ω :W(ω)∈B}est l’image r´eciproque deB parW. Enfin, pour toutx∈C etO ⊂C, on pose dist(x, O) = inf

kx−zk∞ :z ∈O , avec la convention que dist(x, O) = +∞

lorsque O est l’ensemble vide.

a) Soit F un sous-ensemble ferm´e arbitraire de C, montrer que l’on a pour tout n ∈ N^∗, H_n(F)≤ Q_n(F_n), o`uF_n est le sous-ensemble deC d´efini parF_n =

x∈C : dist(x, F)≤n⁻¹ . b) Au moyen de 4)a) et 3)b), montrer que lorsque n tend vers +∞, alors H_n ⇒PY.

5) Soient ν etµ, les variables al´eatoires r´eelles d´efinies parν = min_t∈[0,1]Y_t etµ= max_t∈[0,1]Y_t. Soient α et β deux r´eels v´erifiant α ≤ 0< β. Nous notons par Λ_α,β le sous-ensemble bor´elien deR² d´efini par Λ_α,β =

(x, y)∈R² :α < x≤y < β ; nous admettons que P (ν, µ)∈∂Λ_α,β

= 0, o`u∂Λ<sub>α,β</sub> d´esigne la fronti`ere de Λ_α,β.

a) Soit Φ : C −→R² (R² est muni de la norme euclidienne), la fonction d´efinie pour tout x∈C par

Φ(x) = min

t∈[0,1]x(t),max

t∈[0,1]x(t) .

Montrer que Φ est lipschitzienne et en d´eduire que l’on a P^Y Φ⁻¹(Λ_α,β)

= lim

n→+∞H_n Φ⁻¹(Λ_α,β) , o`u Φ⁻¹(Λ_α,β) est l’image r´eciproque de Λ_α,β par Φ.

b) Montrer que pour toutk ∈Z, pour toutn∈Nv´erifiantn≥β⁻¹, et pour toutx∈[0,1/n], on a

exp

−2⁻¹ x+ 2k(β−α)2

−exp

−2⁻¹ 2k(β−α)2

≤2n⁻¹ |k|+ 1

(β−α)

exp

−2⁻¹ 2(|k| −1)(β−α)2

+ exp

−2⁻¹ 2|k|(β−α)2 .

c) Au moyen de 5)b), montrer que X

k∈Z

exp

−2⁻¹ 2k(β−α)2

= lim

n→+∞n(2π)^1/2X

k∈Z

g_k(α, β,0, n⁻¹), et en d´eduire que

X

k∈Z

exp

−2⁻¹ 2k(β−α)2

= lim

n→+∞

1 P(A_n)

X

k∈Z

g_k(α, β,0, n⁻¹) ;

rappelons que (voir 4)c) de la Partie I), g_k(α, β,0, n⁻¹) = (2π)^−1/2

Z n⁻¹+2k(β−α)

2k(β−α)

exp −2⁻¹x² dx.

d) Montrer que pour toutk ∈Z, pour toutn∈Nv´erifiantn≥β⁻¹, et pour toutx∈[0,1/n], on a

exp

−2⁻¹ x−2β−2k(β−α)2

−exp

−2⁻¹ −2β−2k(β−α)2

≤2n⁻¹ |k|+ 1

(β−α)

exp

−2⁻¹ 2(|k| −1)(β−α)2

+ exp

−2⁻¹ 2|k|(β−α)2 .

e) Au moyen de 5)d), montrer que X

k∈Z

exp

−2⁻¹ 2β+ 2k(β−α)2

= lim

n→+∞n(2π)^1/2X

k∈Z

h_k(α, β,0, n⁻¹),

et en d´eduire que X

k∈Z

exp

−2⁻¹ 2β+ 2k(β−α)2

= lim

n→+∞

1 P(A_n)

X

k∈Z

h_k(α, β,0, n⁻¹) ;

rappelons que (voir 4)c) de la Partie I) hk(α, β,0, n⁻¹) = (2π)^−1/2

Z 2β+2k(β−α)

2β−n⁻¹+2k(β−α)

exp −2⁻¹x² dx.

f) Au moyen de 5)a), de 4)d) de la Partie I, de 5)c) et de 5e), montrer que P α < ν≤µ < β

=X

k∈Z

exp

−2⁻¹ 2k(β−α)2

−exp

−2⁻¹ 2β+ 2k(β−α)2 .