Étude d’une suite de polygones Théorème 1. Soient k > 2 et z

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Étude d’une suite de polygones

Théorème 1. Soientk>2 etz0, . . . , zk−1∈C. On définit la suite(z⁽ⁿ⁾)∈(C^k)^N par

z_i⁽⁰⁾:=zi, si06i < k,

et pour toutn∈N, z_i⁽ⁿ⁺¹⁾:= z_i⁽ⁿ⁾+z⁽ⁿ⁾_i+1

2 , si06i < k−1,

z_k−1⁽ⁿ⁺¹⁾:= z_k−1⁽ⁿ⁾ +z₀⁽ⁿ⁾

2 .

Alors pour tout06i < k,z_i⁽ⁿ⁾−−−−−→

n→+∞ Z, oùZ:= ^z

(0)

0 +···+z_k−1⁽⁰⁾

k .

Démonstration. Pour toutn∈N,z⁽ⁿ⁺¹⁾=P z⁽ⁿ⁾, où

P :=







1/² ¹/² 0 · · · 0 0 ¹/² ¹/² ... ...

... ... ... ... 0 0 · · · 0 ¹/² ¹/²

1/² 0 · · · 0 ¹/²







∈ Mk(R),

si bien quez⁽ⁿ⁾=Pⁿz⁽⁰⁾ pour toutn∈N.

Intuition. Il est possible de calculer Pⁿ puis sa limite par diagonalisation de P. En fait nous pouvons déter- miner directement la limite de Pⁿ sans aucun calcul grâce à un raisonnement probabiliste. La matrice (bistochastique) P est la matrice de transition d’une marche aléatoire dans Z/kZ(figure 1).

1

2

3

· · ·

k−1

k

1/²

1/2

1/²

1/2

1/2 1/²

1/2 1/2 1/2

1/2

Figure1 – Marche aléatoire dansZ/kZ.

Pi,j désigne la probabilité de se déplacer vers j en partant de i, et (Pⁿ)i,j désigne alors la probabilité d’être enj aprèsnpas à partir de i. À la limite n→+∞il est indifférent de partir d’un endroit plutôt qu’un autre par symétrie, doncPⁿ ne peut tendre que vers une matrice (encore bistochastique) où toutes les lignes sont identiques, donc égales à la distribution uniforme (_k¹, . . . ,¹_k). Justifions.

Des suites adjacentes. Lafigure 1montre quekpas suffisent pour aller deiàj, et ceci avec probabilité (P^k)i,j>2^−k=:α >0, pour tous16i, j6k.

Notons 1^k :={y:= (µ1, . . . , µk)∈R^k | ∀i, µi>0et Pk

i=1µi= 1}. Soienty0 ∈1^k et pour toutn∈N, yn+1:=P yn∈1^k. Ainsiyn+k =P^kyn et, puisque chaque ligne deP^k somme à 1,

yn+k,i= X

16j6k

(P^k)i,jyn,j6





 X

16j6k miny_n=yn,j

(P^k)i,j





minyn+





1 − X

16j6k miny_n=yn,j

(P^k)i,j





maxyn,

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Étude d’une suite de polygones

pour tout16i6k. On en déduit

®maxyn+k6αminyn+ (1−α) maxyn, minyn+k>αmaxyn+ (1−α) minyn,

donc en notantwn:= maxyn−minyn, 06wn+k 6(1−2α)wn, avec061−2α= 1−2^−k+1<1. D’où

∀ℓ= 0, . . . , k−1, 06wnk+ℓ6(1−2α)ⁿwℓ−→0, et ainsiwn= maxyn−minyn −→0. Or chaque coefficient deyn+1est une combinaison convexe des coefficients deyn, doncmaxyn+16maxynetminyn+1>minyn

pour tout n ∈N. Les suites (minyn)n∈N et (maxyn)n∈N sont donc adjacentes. Il existe ainsiµ ∈[0,1]

tel que lim minyn= lim maxyn=µ.

Conclusion. Nous venons de prouver que pour tout y∈1^k, il existeµ∈[0,1]tel que

Pⁿy−−−−−→

n→+∞

Öµ ... µ

è

.

Si l’on applique cela pour chaque vecteur de la base canonique de R^k, nous obtenons l’existence de µ1, . . . , µk ∈[0,1]tels que

Pⁿ−−−−−→

n→+∞

áµ1 µ2 · · · µk

µ1 µ2 · · · µk

... ... ... ...

µ1 µ2 · · · µk

ë

=:P^∞.

Comme (1, . . . ,1)Pⁿ = (1, . . . ,1) pour tout n ∈ N (chaque colonne de Pⁿ somme à 1), nous avons nécessairementµ1=· · ·=µk =_k¹. Finalementz⁽ⁿ⁾=Pⁿz⁽⁰⁾−−−−−→

n→+∞ P^∞z⁽⁰⁾=Z.

Références.

181 Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

182 Applications des nombres complexes à la géométrie.

223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

226 Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrenceun+1=f(un). Exemples et applications.

229 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

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