 eXeeXe ²limlim²022 xxxXXxXX  212112112

Exercice

On considère la fonction numérique f définie sur ] –  ; 1 [ par :

 

1 1 2

( ) 2

1

x

f x ex

x



 



On désigne par C la courbe représentative de f dans le pal rapporté à un repère orthonormal _{( ; ; )O i j}^{ } .

1. a. Soit 2

X 1

 x

 . Prouver l'égalité

 

1 1 2

2 ²

1 2

x

x e X

e X e

x



 



En déduire la limite de f quand x tend vers 1.

b. Déterminer la limite de f en – .

c. En déduire une asymptote de la courbe C.

2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ]–  ; 1[ par ( ) ¹¹

x

v x ex



  . Calculer v'(x).

b. Démontrer que

1 1 4

'( ) 4 .

( 1)

x

x x

f x e

x



 

  c. Etudier les variations de f.

d. Tracer la courbe C.

Correction

1.a. 2

2 1 1 1 2

1 2 1

x x

x X

X x

X X

         

 avec X non nul et x différent de 1.

   

2 2 2

1 1 2 2

1 1

2 2

1 2

2 1 22 1 1 ² ²

² ²

2 2 2 2

1 2 1

X

x x X

X X

x x X X eX

e e X e X e e e

x x



  

         

 

11

lim 2 1

xx^_ x  



Quand x tend vers 1, on a X tend vers moins l'infini.

lim ² lim ² 0

2 2

X X

X X

eX e

e X e

   

Conclusion ¹

1

lim ( ) 0

xx

 f x





1.b.

 

lim 2 0

1

x^ x 

 et

1

lim 1 x x

x e e





  d'où _x^{lim ( ) 0}_ ^{f x } 1.c.

la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe.

2.a.

1 1 ( )

( )

x x u x

v x e e



  

1 1

( ) 1 1

2 2

1 ( 1) 1( 1) 2

'( ) '( )

( 1) ( 1)

x x

u x x x x x

v x u x e e e

x x

 

 

    

  

 

2.b.

   

1 1

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

x

f x ex v x w x v x

x x



   

 

2 2

( ) 2 2( 1)

( 1)

w x x

x

   

 est dérivable et ^{2 1 3} 3

'( ) 2 ( 2)( 1) 4( 1) 4

( 1)

w x x x

x

   

       



1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

3 2 2 4 4 4

4 2 2 4 4 4

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1

(

) (

)

1)

x x 1 x x x

x x x x x x

f x w x v x w x v x e e x e e e

x x x x x x

    

    

   

      



 

    

f ' est du signe de – 4x

c'est-à-dire, pour x < 0 alors f(x) >0

x - 0 1

f '(x) + 0 – 0

f(x) 0

2

e 0

(0) 2 0,74 f  e