DEVOIR DE SYNTHESE N °2 - ANNEE SCOLAIRE : 2014-2015

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‘‘Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie’’

Exercice 1(4pts) : Pour chacune des questions suivantes une des trois réponses proposées est correcte ,indiquer la .

Exercice 1 (4 points)

On donne la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = { √𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −4 𝑥 ² + 2𝑥 − 8 𝑠𝑖 𝑥 < −4 1)a)Déterminer le domaine de définition de 𝑓 .

b)Vérifier que 𝑓 est continue en (- 4) .

2)a)Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite en (-4) .Interpréter graphiquement le résultat . b) Montrer que 𝑓 est dérivable à gauche en (-4).

3) Ecrire les équations des demi-tangentes à la courbe de 𝑓 au point d’abscisse (-4) REPUBLIQUE TUNISIENNE

MINISTERE DE L’EDUCATION LYCEE THALEPTE

DEVOIR DE SYNTHESE N °2 - ANNEE SCOLAIRE : 2014-2015

SECTION : SCIENCES DE L’INFORMATIQUE PROFESSEUR : GHARSALLI EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE : _2h COEFFICIENT : ₃

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Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction 𝑔 définie par : ( ) ²

^{3 1} 2

x x

g x

x

 

 

1) Calculer lim

𝑥⟶2

𝑔(𝑥) et lim

𝑥⟶2

𝑔(𝑥) .Interprétater graphiquement le résultat . 2)Calculer 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶+∞ 𝑔(𝑥) et 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶−∞ 𝑔(𝑥).

3) a) Vérifier que :𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 + _𝑥−2 ¹ .

b)En déduire que la droite ∆∶ 𝑦 = 2𝑥 + 1 est une asymptote oblique à la courbe de 𝑔 au voisinage de +∞ et au voisinage de −∞ .

c)Etudier la position relative de la courbe de 𝑔 et de son asymptote∆.

Exercice 4((4 points)

On donne l’expression 𝐴(𝑥) = −2 cos ² 𝑥 + 2√3 𝑠𝑖𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1.

1)-a)Calculer 𝐴(0) et 𝐴 ( ^𝜋 ₆ ) .

b) Vérifier que 𝐴(𝑥) = √3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥.

2)-Montrer que √3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2sin (2𝑥 − ^𝜋 ₆ ) .

3)- Résoudre alors dans ℝ l’équation −2 cos ² 𝑥 + 2√3 𝑠𝑖𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0 .

Exercice 5((3 points)

Soit ^{x }  ^{0, }  1. Montrer que

2

cos sin 1 sin

2 2

x x

  x

  

 

  .

2. Soit  ^{O i j , ,}  un repère orthonormé direct du plan et M un point de coordonnées ^cos

2 2 sin X x

x

  et ^{1 sin}

2 2 sin Y x

x

 



a) Vérifier que ^{X 2  Y 2  1}

b) Sur quelle ligne se déplace le point M lorsque x varie dans  ^{0, } 

Bon Travail