DEVOIR DE SYNTHESE N ° 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

-2 -3

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0 1 1

x y

L.Ali Bourguiba K.K

Pof :Abdesslem Raoudha Le : 3 / 3 / 2010

Classe : 4Eco 1+2 Durée : 2 h

DEVOIR DE SYNTHESE N ° 2

Exe rcice 1 : (3 points)

La courbe C à côté est celle d’une fonction f définie sur D : y = x ]-3, +  [ et du type f (x) =

d cx

b ax



 .

Soit (U n ) la suite réelle définie par U 0 = 5 et C pour tout n IN , U _n+1 = f (U _n )

Soit V _n = f ( n ) , pour tout n IN

Par lecture graphique , cocher la bonne réponse 1) L’équation f (x) = x admet pour solutions a) 0 et 2 b) -1 et 2 c) -1 et 0 2) Pour tout x  [-

2

1 ,+  [ on a

a) f (x) > 0 b) f (x) < 0 c) f (x)  0 3) La suite (V _n ) est

a) croissante b) décroissante c) n’est pas monotone 4)La limite de (v n ) est :

a) +  b) 4 c) -  5)La suite (U n ) est

a) croissante b) décroissante c) n’est pas monotone 6)La suite (U n ) :

a) converge vers -1 b) converge vers 2 c) diverge

Exercice 2 : ( 6 points)

Soit (U n ) la suite réelle définie par U 0 = 0,5 et pour tout n IN , U n+1 =

8 2 9





U U

n n

1)a) Montrer que pour tout nIN , 0  U n  2 b)Montrer que pour tout nIN , U n+1 – U n =

8

) 2 (

) 1 (









U U U

n n n

c)Déduire le sens de variation de (U n )

d)Déduire que (U n ) est convergente vers un réel l  [ 0, 2 ] et calculer ce réel 2)On pose V _n =

1 2





U U

n

n , pour tout n IN

a)Montrer que la suite (V n ) est géométrique de raison 0, 7 b)Exprimer V n puis U n en fonction de n

c)Retrouver la limite de (U n )

Exercice 3 : (4 points)

Une entreprise fabrique pendant un intervalle de temps donné une quantité x d’un certain objet Son bénéfice B(x) réalisé lors de la vente de x objets sont données en milliers de dinars par B(x) = ( 20x- 80) e ^- ₂

1

x , x [ 0, 12 ]

1)Déterminer , au dinars prés , le bénéfice réalisé pour une fabrication de 10 objets

2) Déterminer le signe de B(x) et déduire la plage de production qui permet de réaliser un profit 3)Montrer que pour tout x [ 0, 12 ] , B’(x) = ( 60 - 10x ) e ^- ₂ ^{1 x}

4) Dresser le tableau de variation de B

Déterminer le nombre d’objets à fabriquer pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal et préciser , au dinars prés , ce bénéfice maximal

Exercice 4 : ( 7 points)

Soit la fonction f définie sur ] 0 , +  [ par f (x) = x ² - 2 + 2 ln x On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) Calculer lim

0

 x

f(x) , lim _{  }

x

f(x) et lim _{ }

x x

x f ( )

Interpréter graphiquement ces résultats

2)Calculer f ’(x) puis dresser le tableau de variation de f

3)Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1

4)Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une seule solution  dans ] 0 , +  [ et que 1, 2 <  < 1, 3 4)Tracer C

5)Montrer que F(x) = 3

1 x ³ - 4x + 2x ln x est une primitive de f sur ]0 , +  [