TaleST I GE Étude d’une fonction exponentielle Lundi 09 mars 2009
Devoir surveillé n˚8
Étude d’une fonction comportant du logarithme et de l’exponentielle.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire Soitg la fonction définie sur ] 1 ; +∞[ par
g(x) = 1−x−1 ex . 1. Déterminer la valeur exacte deg(2).
2. Calculer la limite de la fonctiong en 1.
3. (a) En remarquant queg(x) = 1− x ex + 1
ex, calculer la limite de la fonctiong en +∞.
(b) En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de la fonctiong, dont on précisera une équation.
4. (a) On noteg′ la fonction dérivée de la fonctiong. Montrer queg′(x) = x−2 ex . (b) Étudier le signe deg′(x) sur ] 1 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau de variations deg.
(d) En déduire le signe deg(x) sur ] 1 ; +∞[.
Partie B - Étude d’une fonction
Soitf la fonction définie sur ] 1 ; +∞[ par
f(x) = 1 ex− 1
e2 + ln(x−1).
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal (O;−→ı;−→) d’unité graphique 1 cm.
1. (a) Calculer la limite de la fonctionf en 1.
En déduire l’existence d’une asymptote ∆ à la courbeC, dont on précisera une équation.
(b) Calculer la limite def en +∞.
2. (a) On notef′ la fonction dérivée de la fonctionf. Calculer f′(x).
(b) Montrer quef′(x) = g(x) x−1.
(c) En déduire le sens de variation de f sur ] 1 ; +∞[. Dresser la tableau de variation def. 3. (a) Calculerf(2).
(b) Déterminer l’équation de la tangenteT à la courbe au point d’abscisse 2. (On donnera les coefficients exacts, puis leur valeur approchée à 0,01 près).
4. (a) Justifier que l’équationf(x) = 1 admet une unique solutionαdans l’intervalle [ 3 ; 5 ].
(b) Donner une valeur deαà 10−2 près.
Partie C - Représentation graphique Dans le repère défini précédemment, tracer les droites ∆ etT puis la courbeC.
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Correction du DS n˚3
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire 1. On trouveg(2) = 1−2−1
e2 donc : g(2) = 1−e−2
2. On a lim
x→1(x−1) = 0
x→1limex=e
donc : lim
x→1
x−1
ex = 0 et lim
x→1g(x) = 1
3. (a)
x→+∞lim 1 = 1
x→+∞lim x
ex = lim
x→+∞
1
ex x
= 0 car lim
x→+∞
ex x = +∞
x→+∞lim 1
ex = 0 car lim
x→+∞ex= +∞
donc : lim
x→+∞g(x) = 1
(b) Le résulat précédent signifie que la droite d’équationy= 1 est asymptote horizontale en +∞à la courbe représentative de la fonctiong.
4. (a) Reprenons la première écriture deg(x). Il vient : g′(x) = 0−1×ex−(x−1)ex
(ex)2 = (x−2)ex
e2x =⇒ g′(x) = x−2 ex (b) Signe deex: positif surR,
Signe dex−2 :x−2≤0⇐⇒x≤2 etx−2≥0⇐⇒x≥2 d’où le signe deg′(x) : g′(x)≤0 sur [ 1 ; 2 ] etg′(x)≥0 sur [ 2 ; +∞]
(c) D’où le tableau de variation :
x 1 2 +∞
g′(x) − 0 +
1 1
g
1−e−2
(d) Au vu du tableau de variation, étant donné que 1−e−2≈0,86>0, g(x) est toujours positif puisque son minimum est strictement positif.
Partie B - Étude d’une fonction.
1. (a) On a lim
x→1
1 ex− 1
e2 = 1 e − 1
e2
x→1limln(x−1) = lim
X→0lnX =−∞
donc, lim
x→1 f(x) =−∞
On en déduit que la droite ∆ d’équation x= 1 est asymptote verticale à la courbeC.
(b)
x→+∞lim 1
ex = 0 car lim
x→+∞ex= +∞
x→+∞lim 1 e2 = 1
e2
x→+∞lim ln(x−1) = lim
X→+∞lnX = +∞
, donc : lim
x→+∞ f(x) = +∞
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2. (a) f′(x) = −ex
(ex)2 −0 + 1
x−1 donc : f′(x) =−1 ex + 1
x−1 (b) g(x)
x−1 = 1
x−1 − x−1
ex(x−1) = 1 x−1 − 1
ex. D’où f′(x) = g(x) x−1 (c) signe deg(x) : positif d’après la partie A,
signe de (x−1) : positif sur l’intervalle [1; +∞[
x 1 +∞
f′(x) +
+∞
f
−∞
3. (a) On trouvef(2) = 1 e2 − 1
e2+ ln(2−1) = ln(1) d’où f(2) = 0
(b) Ta pour équationy=f′(2)(x−2)+f(2) = (1−e−2)(x−2) soit T :y= (1−e−2)x−2 + 2e−2≈0,86x−1,73
4. (a) La fonction est continue, strictement croissante sur [ 3 ; 5 ]. De plus,f(3)≈0,61<1 etf(5)≈1,26>1.
Donc, l’équationf(x) = 1 admet une unique solution dans l’intervalle [ 3 ; 5 ] (b) La calculatrice nous donnef(4,05)<1 etf(4,06)>1. Donc : α≈4,05
Partie C - Représentation graphique.
1 2 3 4 5 6 7 8
−1 1 2
−1
−2
−3
−4
−5
∆ C
T
b
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