[ Baccalauréat technique de la musique et de la danse \ Métropole juin 2005
EXERCICE 7 points
Sur le schéma 1.C est la courbe représentative dans le repère¡ O,→−
ı,−→
¢
d’une fonction f définie et dérivable sur [−1 ; 5].
On précise que la courbe passe par les points O(0 ; 0), A (1 ; 1) et B (3 ; 0).
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
Schéma 1 A
B
C
−
→ı
−
→
O
b b
1. L’un des trois schémas suivants, 2, 3 ou 4, correspond à la courbe représentative de la dérivéef′def. Préciser lequel, en justifiant la réponse.
1 2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 -1
-2 -3
Schéma 2
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 -1
-2 -3
Schéma 3
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 -1
-2 -3
Schéma 4 2. Soitmun réel quelconque. Préciser graphiquement (à l’aide du schéma 1), le
nombre de solutions de l’équationf(x)=m, suivant la valeur dem.
3. On admet quef(x)=1
4x3+ax2+bxoùaetbsont des nombres réels.
a. Calculerf(1) etf(3) en fonction deaetb.
b. En déduire les nombres réelsaetb.
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
c. À l’aide de l’expression de la fonction f, retrouver les valeurs de f′(1) et f′(3).
PROBLÈME 13 points
Soitf la fonction, définie surR, par
f(x)=e2x−5ex+4.
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal¡ O,−→
ı,→−
¢ d’unités 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
1. a. En justifiant que f(x)=ex(ex−5)+4, déterminer la limite de la fonctionf en+∞.
b. Déterminer la limite def en−∞; en déduire l’existence d’une asymptoteD au voisinage de−∞, dont on précisera une équation.
c. On désigne parf′la fonction dérivée de la fonctionf. Calculer f′(x) pour tout réelx.
d. Étudier le signe def′(x) pour tout réelx.
e. Dresser le tableau de variations de la fonction f. On précisera la valeur de f
· ln
µ5 2
¶¸
.
2. SoitTla tangente à la courbeC au point A d’abscisse ln µ1
2
¶
. Calculer les valeurs exactes de l’ordonnée de A et du coefficient directeur de la droiteT.
3. a. Résoudre dansRl’équationX2−5X+4=0.
b. En déduire la résolution de l’équationf(x)=0.
4. Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs décimales arron- dies à 10−1près.
x −5 −4 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 1,6
f(x)
5. Construire dans le repère¡ O,−→
ı ,−→
¢
l’asymptoteD, la tangenteTpuis la courbe C en tenant compte des résultats obtenus aux questions 3. et 4.
6. a. Déterminer une primitiveFde la fonctionf surR.
b. Calculer l’intégrale I= Zln(4)
0 f(x) dx(on donnera la valeur exacte puis la va- leur décimale arrondie à 10−2près).
Métropole 2 juin 2005