EQUATIONS DE LAGRANGE

Mécanique Analytique

METHODES GENERALES DE LA DYNAMIQUE DES SYSTEMES - EQUATIONS DE LAGRANGE

Î

METHODE DES TRAVAUX VIRTUELS

EQUATIONS DE LAGRANGE

Î

EXEMPLE : LE PENDULE SPHERIQUE

MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE

Mécanique Analytique

METHODE DES TRAVAUX VIRTUELS (1)

Î

Equation du mouvement en chaque point

Î

Appliquons à ces conditions d'équilibre généralisées la méthode des travaux virtuels :

ÎOn associe à tout point

un déplacement virtuel

ÎOn choisit ces déplacements en respectant les liaisons pour que

les forces inconnues ne travaillent pas

Ph

0 a

m F

R F

R F

F a

m_{h h} = _h = _e,h + _e,h + _i,h + _i,h ⇔ _h − _{h h} =

i n

1

i i

h

h q

r q δ

∂ ϕ

= ∂

δ

∑

=

)) t , q ..., q ( r

(

P_{h h} = ϕ_{h 1 n}

Mécanique Analytique

METHODE DES TRAVAUX VIRTUELS (2)

ÎOn calcule le travail virtuel :

ÎOn exprime ce travail virtuel en fonction des coordonnées

généralisées

ÎOn déduit pour les n coordonnées indépendantes les n relations

q

0 r ).

a m F

( _{h h h}

N 1 h

h − δ =

= δτ

∑

=

0 q q ) ) a m F

( ( q q

) a m F

( _i

i h h

h n

1 i

N

1 h

h n

i

1 i

i i N h

1 h

h h

h δ =

∂ ϕ

− ∂

=

∂ δ ϕ

− ∂

=

δτ

∑ ∑ ∑ ∑

= =

=

=

=

q 0 ).

a m F

(

i h h

h N

1

h h =

∂ ϕ

− ∂

∑

i N h

1

h h

i h h N

1

h h

. q q F

. a

m ∂

ϕ

= ∂

∂ ϕ

∂

∑

∑

Mécanique Analytique

METHODE DES TRAVAUX VIRTUELS (3)

ÎQ_iest le coefficient de dans le travail élémentaire effectué par les forces lors d'une variation de

ÎSi les forces dérivent d'un potentiel :

i h N

1

h h

i

F . q

Q ∂

ϕ

= ∑ ∂

=

q

δ qi

δ

δ V

−

= δτ

i n

1

i i

n

1

i i i

q

q q V

Q δ

∂

− ∂

= δ

⇒ ∑ ∑

=

=

i

q

Q V

∂

− ∂

=

⇒

i i h n

1 i

N

1 h

h n

i

1 i

i i h N

1 h

h h

N

1 h

h q

F q q q

F r

F δ

∂ ϕ

= ∂

∂ δ ϕ

= ∂ δ

=

δτ

∑ ∑ ∑ ∑∑

= =

=

=

=

=

Mécanique Analytique

EQUATIONS DE LAGRANGE (1)

ÎMéthode des travaux virtuels :

ÎEnergie cinétique du système :

i i

h h

N 1

h h

Q

. q a

m =

∂ ϕ

∑ ∂

=

h N

1

h

m

r

. r 2

T 1 ∑ & &

=

=

) t , q ,..., q

( r

où

= ϕ

q t r q

1

j j

h h

∂ ϕ + ∂

∂ ϕ

= ∂

⇒ ∑

=

&

&

i N h

1

h h

i h h

N

1

h h

. q q F

. a

m ∂

ϕ

= ∂

∂ ϕ

∂ ∑

∑

Mécanique Analytique

EQUATIONS DE LAGRANGE (2)

ÎCalculons l'expression :

h N

1

h mhrh.r 2

T 1

∑

=

=

i

i

q

T q

T dt

d

∂

− ∂

∂

∂

&

i h h N

1 h

h

i q

. r r q m

T

∂

= ∂

∂

∂

∑

=

&

&

t q q

q q q

r où

i h 2 j

n

1

j i j

h 2

i h

∂

∂ ϕ + ∂

∂

∂ ϕ

= ∂

∂

∂

∑

= &

&













∂

∂ ϕ + ∂

∂

∂ ϕ

= ∂

∂

⇒ ∂

∑ ∑

=

= q q t

q . q

r q m

T

i h 2 j

n

1

j i j

h 2 h

N

1

h h

i

&

&

i h h N

1

h h

i

q

. r r q m

T

&

&

&

& ∂

= ∂

∂

∂

∑

=

i h i

h i

h

q q

r q

r

avec ∂

ϕ

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

&

&

q t

r q _j ^h

n

1

j j

h

h ∂

ϕ + ∂

∂ ϕ

=

∑

= &

&

Mécanique Analytique

EQUATIONS DE LAGRANGE (3)

i h h

N 1 h

h

i

q

. r r q m

T

∂

= ∂

∂

∂

∑

=

&

&













∂

∂ ϕ + ∂

∂

∂ ϕ

= ∂

∂

∂

∑ ∑

=

= q q t

q . q

r q m

T

i h 2 j

n

1

j i j

h 2 h

N

1 h

h i

&

&

 





 





∂

∂ ϕ + ∂

∂

∂ ϕ + ∂

∂ ϕ

= ∂

∂

∂ ∑ ∑ ∑

=

=

=

q q t

q . q

r q m

r q m

T dt

d

i h 2 j

n

1

j i j

h 2 h

N

1

h h

i h h

N

1

h h

i

&

&

&&

&

i h h

N

1 h

h i

i m r . q

q T q

T dt

d

∂ ϕ

= ∂

∂

− ∂

∂

⇒ ∂

∑

=

&&

&

i i

i

q Q T q

T dt

d =

∂

− ∂

∂

∂

&

i i

h h

N 1

h h

Q

. q a

m

∂ ϕ

∑

=

Mécanique Analytique

EQUATIONS DE LAGRANGE (4)

i

i q

Q V

∂

−∂

= _i

i i

q Q T q

T dt

d =

∂

− ∂

∂

∂

&

ÎSi les forces dérivent d'un potentiel :

i i

i q

V q

T q

T dt

d

∂

− ∂

∂ =

− ∂

∂

⇒ ∂

&

q 0 ) V T ( q

) V T ( dt

d

i i

∂ =

−

− ∂

∂

−

⇒ ∂

&

q 0 V car

i

∂ =

∂

&

) q ( V ) t , q , q ( T ) t , q , q (

L _j &_j = _j &_j − _j j=1,...,n

q 0 L q

L dt

d

i i

∂ =

− ∂

∂

∂

&

Mécanique Analytique

EXEMPLE : LE PENDULE SPHERIQUE (1)

Î

L'énergie cinétique de la tige :

Î

Dans les axes principaux d'inertie u, v, w :

ω ω

= .I . 2

T 1 _O

w v

u 1 sin 1

1

cosθ −θ +ϕ θ ϕ

−

=

ω & & &





















=

0 ml 0

3 0 0 ml

0 0 0 I

2 2 O

x

y z

u v w

A A'

g m θ

θ

ϕ

ϕ θ^&

ϕ&

Mécanique Analytique

EXEMPLE : LE PENDULE SPHERIQUE (2)

ÎEquations de Lagrange en :

) sin 6 (

T ml ^{2 2 2}

2 θ +ϕ θ

=

⇒ & &

θ

−

= cos

2 mg l V

θ +

θ ϕ

+ θ

=

⇒ cos

2 ) mgl sin

6 (

L ml ^{2 2 2}

2

&

&

A sin

L 0 dt 0 d

L L

dt

d

= θ ϕ

⇒ ϕ =

∂

⇒ ∂ ϕ =

∂

− ∂ ϕ

∂

∂ &

&

&

ϕ

x

y z

u v w

A A'

g m θ

θ

ϕ

ϕ θ^&

ϕ&

Mécanique Analytique

EXEMPLE : LE PENDULE SPHERIQUE (3)

Î

Equation de Lagrange en :

Î

Théorème de l'énergie cinétique :

θ

L 0 L

dt

d =

θ

∂

− ∂ θ

∂

∂

&

0 2 sin

cos mgl sin

6 2 2 ml

6 ml dt

d ^{2 2} ₂

= θ +

θ θ ϕ

−



 



 θ

⇒ & &

0 2 sin

cos mgl 3 sin

ml 3

ml² θ− ² ϕ₂ θ θ+ θ =

⇒ && &

0 l sin

g 2 cos 3

sin A

3

2 θ+ θ =

− θ θ

⇒ &&

E 2 cos

) mgl sin

6 (

ml² θ&₂ +ϕ&_{2 2} θ − θ =

ml E cos 6

l 3g sin

A

2 2

2

2 − θ =

+ θ θ&

Mécanique Analytique

MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE (1)

ÎLes équations de Lagrange ne sont plus valables quand il existe p relations holonomes entre les n coordonnées généralisées :

ÎDifférencions ‘virtuellement’ ces équations :

ÎMultiplions chacune de ces équations par un multiplicateur λ_i correspondant et sommons sur l’indice i :

ÎComme :

p ,..., 1 i 0

) t , q ,..., q

(

i = =

φ

∑

=

=

∂ δ φ

∂

n 1 j

j j

i q 0 i 1,...,p q

∑

∑

=

∂ δ φ λ ⁿ ∂

1 j

j j i i

p 1 i

0

q q

n ,..., 1 j 0

q Q T q

T dt

d

j j

j

=

=

∂ −

− ∂

∂

∂

&

0 q

) q Q

T q

T dt

( d _{j j}

j j

n

1 j

= δ

∂ −

− ∂

∂

∑

= &

Mécanique Analytique

MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE (2)

ÎOn obtient :

ÎLes équations de Lagrange modifiées deviennent :

ÎDans le cas où les forces dérivent d’un potentiel :

Îqui constituent avec les p relations, un système de (n+p) équations à (n+p) inconnues q₁, ..., q_n, λ₁, ..., λ_p

0 q q ) q Q

T q

T dt ( d

0 q q

q ) q Q

T q

T dt ( d

p

1 i

j j i i j

j j

n

1 j

p

1 i

j j i n

1 j i j

j j j

n

1 j

=

∂ δ φ λ ∂

−

∂ −

− ∂

∂

∂

=

∂ δ φ λ ∂

− δ

∂ −

− ∂

∂

∂

∑

∑

∑ ∑

∑

=

=

= =

=

&

&

q q Q

T q

T dt

d ^p

1

i j

i i j

j

j

∑

= ∂

φ λ ∂ +

∂ =

− ∂

∂

∂

&

q q

L q

L dt

d ^p

1

i j

i i j

j

∑

= ∂

φ λ ∂

∂ =

− ∂

∂

∂

&

Mécanique Analytique

MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE (3)

ÎCette méthode peut aussi être appliquée pour des liaisons non-holonomes mais linéaires en les

ÎAu lieu de

ÎNous avons

ÎNous obtenons des équations analogues à celles qui précèdent sauf qu’ici :

∑

=

=

∂ δ φ

∂

n

1 j

j j

i q 0 i 1,...,p q

q &

∑

=

=

n δ

1 j

j

ij q 0 i 1,...,p a

ij j

i a

q →

∂ φ

∂