Physique des Ondes – Résumé.
1. INTRODUCTION.
Dans un contexte physique où des oscillations peuvent se produire en différents endroits de l’espace, un phénomène de propagation d’énergie sous forme d’ondes peut apparaître. L’analyse de ce phénomène peut se décomposer suivant les étapes suivantes :
• l'établissement à partir des principes de base de la physique (lois de Newton en Mécanique, lois de Maxwell en électromagnétisme) d'une équation aux dérivées partielles régissant le phénomène ;
• la résolution de cette équation pour trouver une expression mathématique de l'onde ;
• l'étude des caractéristiques de l'onde qui peut être de deux types : progressive ou stationnaire.
Les ondes progressives s'observent dans les milieux ouverts pour lesquels aucun obstacle ne vient perturber la propagation en créant en particulier des ondes réfléchies (écho en acoustique). Il n'est cependant pas nécessaire que le milieu soit réellement infini pour que l'onde qui s'y propage puisse être décrite comme une onde progressive. Si les obstacles rencontrés par l'onde sont faiblement réfléchissants, l'onde garde son caractère progressif.
Dans une onde progressive, on observe un retard de phase entre les oscillations de deux points distincts du milieu traversé.
Les ondes peuvent devenir stationnaires dans un système fermé ; dans ce cas, toutes les parties du système oscillent en phase.
2. ONDES PROGRESSIVES
5.2.1. CARACTÉRISTIQUES D’UN PHENOMENE ONDULATOIRE
Une force d'excitation appliquée à un système mécanique ouvert, y produit une onde progressive.
Une onde progressive est constituée d'oscillations qui se déplacent sans transporter de matière ; c'est l'énergie et la quantité de mouvement qui se déplacent. Le mouvement des oscillateurs est décrit par une grandeur Ψ = f(x, y, z, t) dont la forme est valable quel que soit le type d'ondes : mécaniques, élastiques, électromagnétiques. La grandeur Ψ peut être vectorielle (déplacement, vitesse, accélération, champ magnétique, champ électrique) ou scalaire (pression, potentiel). Toute variation de Ψ en un point du milieu entraîne une variation de cette même grandeur au voisinage de l'oscillateur, soit par le biais des forces de liaison dans le milieu matériel, soit par le phénomène d'induction. Ce sont ces forces de liaison à l'intérieur des milieux qui font qu'une vibration créée à un endroit se traduit par une perturbation qui va se déplacer. Si la perturbation dure suffisamment longtemps (un grand nombre de périodes), le phénomène sera décrit en termes de propagation d'onde. Une perturbation sinusoïdale produit une Onde Progressive Sinusoïdale (OPS). Lorsque le régime permanent a été atteint, tous les constituants du système subissent un mouvement harmonique à la fréquence d'excitation.
Oscillateur 'source'
c : célérité de l'onde
vibration d'un élément du milieu (corde, ... )
Partie 'au repos' avant l'arrivée de l'onde
Fig. 5-1 : Onde transversale se propageant le long d'une corde. L'onde se déplace le long de la corde ; les points de la corde se déplacent perpendiculairement à celle-
ci.
Une onde continue ou périodique a pour origine une vibration. Dans le cas d'une corde tendue, considérons une vibration à laquelle serait soumise une extrémité de la corde. Chaque impulsion communiquée à la corde se propage d'un point à l'autre par l'intermédiaire des forces de cohésion entre les différentes parties de la corde. C'est par le même processus que des ondes mécaniques se propagent dans les milieux élastiques. Dans beaucoup de cas, l'onde observée est périodique et sinusoïdale. Ses caractéristiques sont alors l'amplitude, les crêtes et les creux, la longueur d'onde λ, la fréquence ν, la période T.
Fig. 5-2 : Quelques caractéristiques d'une onde sinusoïdale. Amplitude, Longueur d'onde notée λ.
La vitesse v de l'onde est celle à laquelle les crêtes se déplacent. Cette vitesse, aussi appelée vitesse de phase est donnée par v = λν . La vitesse de l'onde dépend en général des propriétés du milieu dans lequel l'onde se propage.
5.2.2. LES TYPES D’ONDES Les ondes sont dites
- transversales lorsque les vibrations qui la composent se produisent perpendiculairement au mouvement de l'onde,
Fig. 5-3 : Onde transversale : l’oscillation dans le milieu a lieu dans la direction de propagation de l’onde.
- longitudinales lorsque ces vibrations se font suivant la direction de propagation de l'onde. Les ondes acoustiques sont du type longitudinal, tandis que la lumière est une onde transversale.
direction de déplacement de la ʻdéformationʼ
direction du mouvement dʼoscillation dans le milieu
Fig. 5-4 : Onde longitudinale : le milieu vibre suivant la direction de propagation de l’onde.
Une autre classification des ondes consiste à considérer les dimensions de l'espace dans lequel l'onde se propage. On distingue alors :
- des ondes à une dimension ou linéiques si l’onde (c’est-à-dire l’énergie de vibration dans le milieu) se déplace dans une direction uniquement,
- des ondes deux dimensions ou surfaciques et
- des ondes à trois dimensions (ondes acoustiques, lumière).
3. PROPAGATION D’ONDES
5.3.1. ÉQUATION DE PROPAGATION D'UNE PERTURBATION LE LONG D'UN MILIEU CONTINU UNIDIMENTIONNEL
Considérons d'abord la propagation sans amortissement d'une perturbation ψ(x, t), comme une impulsion transversale communiquée à l'extrémité d'une corde tendue.
Fig. 5-5 : Propagation d'une perturbation le long d'un milieu à 1 dimension.
Soit c la célérité à laquelle se propage la perturbation. A l'instant t1, la perturbation est en x1, à t2, la perturbation est en x2. Le maximum se déplaçant à la célérité c, on a
(5.1) x2 - x1= c(t2 - t1) ou x2 - ct2= x1- ct1 ou encore
€
t2 − x2
c = t1 − x1 c. La perturbation considérée est donc fonction d'une variable
€
t − x c , soit Direction de déplacement de lʼonde
Direction de lʼoscillation dans le milieu
Source de lʼonde : membrane oscillante
€
Ψ = f(t − x
c) pour la forme générale de l'équation d'une perturbation se dirigeant vers les x positifs. Pour une propagation vers les x négatifs, on a
€
Ψ = f(t + x c) . Établissons maintenant une relation entre les dérivées partielles de
€
ψ = f t ± x c
#
$ % &
' ( On a successivement :
€
∂ψ
∂t = f' t±x c
$
% & ' ( ) ,
€
∂2ψ
∂t2 = f" t±x
c
$
% & ' ( ) ,
€
∂ψ
∂x = ±1 c f't±x
c
$
% & ' ( ) et
€
∂2ψ
∂x2 = 1 c2 f"t±x
c
$
% & ' ( ) . On déduit la relation de propagation d'une perturbation
(5.2)
€
∂2Ψ
∂t2 = c2 ∂2Ψ
∂x2 appelée équation de d'Alembert.
L'équation différentielle ci-dessus admet une solution générale de la forme
€
Ψ = f t−x
c
$
% & ' ( ) + g t+x
c
$
% & '
( ) qui correspond à une propagation dans les deux sens de l'axe considéré. Dans beaucoup de cas, on n'a besoin de considérer que la propagation suivant les x positifs, soit
€
Ψ = f t−x c
$
% & '
( ) . La forme de la fonction dépend des conditions initiales obtenues par ψ = f(t) pour x = 0.
Nous pouvons appliquer le raisonnement ci-dessus aux phénomènes périodiques dans le temps et dans l'espace. Faisons pour cela l'hypothèse que la vitesse de propagation d'une déformation périodique ne dépend pas de la variation de ψ; chaque composante sinusoïdale peut être alors considérée de manière indépendante. L'étude de la propagation d'une perturbation périodique se ramène alors à l'étude de la propagation de phénomènes sinusoïdaux. Soit l'oscillateur périodique
€
ψ
( )
t = A sin( )
ωt au point x = 0. À un point d'abscisse x, on a (5.3)€
ψ = A sin ωt−x c
%
&
' (
) * ou
€
ψ = A sin 2π T t − x
c
%
&
' (
) * +
, - .
/ 0 En tenant compte de la relation λ = cT , on a :
(5.4)
€
ψ = A sin 2π t T − x
λ
&
' ( )
* + ,
- . /
0 1 = A sin 2π t T− x
cT
&
' ( )
* + ,
- . /
0 1 . On voit que ψ est une fonction périodique dans le temps et dans l'espace. L'expression (5.5) est la représentation d'une onde sinusoïdale progressive ou onde harmonique.
Fig. 5-6 : Onde progressive à 1 dimension. L'onde est périodique dans le temps et dans l'espace.
L'expression (5.5) peut encore s'écrire
€
ψ = A sin
(
ωt − kx)
= A sin 2[
π(
ft − σx) ]
où€
k = 2π
λ est la constante de propagation ou nombre d’onde angulaire,
€
σ = 1
λ le nombre d'onde, f est la fréquence. La quantité
€
ωt − kx
( )
est la fonction de phase (ou phase) de l'onde. La vitesse de phase (ou vitesse de la forme de l'onde) est donnée par :(5.5)
€
Vϕ = c = λ T =
2π k 2π
ω
= 2π k
ω 2π =
ω k. De l'expression (5.6), on déduit que :
- le déphasage ∆ϕ du phénomène en un point d'abscisse x par rapport à l'origine est égal à
€
Δϕ = 2π x λ
- et que le déphasage des phénomènes entre 2 points d'abscisses x1 et x2, est égal à (5.6)
€
Δϕ = 2π x2 − x1
λ . Les phénomènes sont - en phase si ∆ϕ =n 2π ou x2 - x1 = nλ avec n entier;
- en opposition de phase si ∆ϕ = (2n + 1) π ou x2 - x1 = (2n + 1) λ/2.
Remarque : En complexe, l’onde sinusoïdale s’écrit :
€
Ψ x,t˜
( )
= Ψ0 ej(ωt−kx).5.3.2. ÉQUATION D'ONDE SUR UNE CORDE OBTENUE À PARTIR DE LA LOI DE NEWTON Le cas le plus simple d’onde est celui de la propagation de petits déplacements transverses d’une corde tendue suivant l’axe Ox. Si on appelle y(x,t) l’écart d’un point de la corde de masse linéique µ tendue (par une tension T), par rapport à sa position d’équilibre, on obtient l’équation différentielle suivante:
temps
espace T
Longueur d'onde
(5.7)
€
T ∂2y
∂x2 = µ ∂2y
∂t2 qu’on peut écrire sous la forme : (5.8)
€
∂2y
∂t2 = c2 ∂2y
∂x2 . La grandeur
€
c = Tµ est la vitesse de propagation des ondes le long de la corde.
4. ÉNERGIE TRANSPORTEE PAR LES ONDES 5.4.1. ÉNERGIE D’UNE ONDE MÉCANIQUE l’énergie cinétique
€
E = 1
2 mV2 avec
€
V = ωA
€
= 2πf . A, soit
€
E = 2π2 m f2 A2. Si on désigne par ρ la masse par unité de volume du milieu traversé, la masse m mise en mouvement par l'onde pendant un temps ∆t est égale à ρSL = ρS c∆t. L'énergie de l’onde dans le volume est donc
(5.9) .
5.4.2. PUISSANCE MOYENNE ET INTENSITÉ D’UNE ONDE.
E correspond à l'énergie moyenne qui pénètre dans une région donnée pendant l'intervalle de temps
∆t. La puissance moyenne de l'onde est donc : (5.10)
€
Pmoy = E
Δt = 2π2 ρS c f2A2.
Une autre notion utile à considérer est l'intensité I de l'onde qui est égale à la puissance moyenne transférée par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation, soit
(5.11) .
5.4.3. ÉNERGIE D’UNE ONDE SPHÉRIQUE.
Fig. 5-7 : Onde se propageant dans l’espace à trois dimensions.
L'énergie totale E (en l'absence d'amortissement) se conserve et se répartit sur une sphère de surface
€
S = 2πr2 . L’amplitude de l’onde décroît, mais l’énergie restant inchangée, on peut écrire en utilisant l’expression de la puissance ci-dessus :
(5.12)
€
E(r1) = E(r2) ou
€
S1.A1 2 = S2.A2
2 ou encore
€ r1
2.A1
2 = r2
2.A2 2. On voit que l’amplitude décroît avec la distance suivant :
(5.13)
€ A2 A1
= r1 r2
et avec les intensités suivant
€ I2
I1 = r1 2
r22 .
€
E = 2π2 ρScΔt f2A2 = 1
2 ρS ω2A2 cΔt
€
I
[
W.m−2]
= 2π2 ρ c f2A2 = 12 ρc ω2A2S
r1 r2
5.4.4. ATTÉNUATION DES ONDES.
l'intensité I de l'onde passant à travers une épaisseur élémentaire dx d'un milieu absorbant homogène et isotrope
(5.14) dI = α I dx où α [m-1] est le coefficient linéique d'absorption du milieu.
En désignant par l'intensité intrant dans le milieu absorbant, on en déduit la loi d'évolution de l'intensité de l'onde dans le milieu absorbant (loi de Beer-Lambert) :
(5.15) dI
I = - α dx et ln I
I0 = -αx soit I = exp (-αx) .
Fig. 5-8 : Passage d'une onde dans un milieu absorbant.
5. ONDES MODULÉES, PAQUETS D'ONDES ET IMPULSIONS
5.5.1. INTRODUCTION
Une onde réelle ne peut en pratique être parfaitement monochromatique ; le principe de Fourier lui ferait correspondre un phénomène de durée infinie. Les ondes et oscillations réelles sont constituées d'une superposition d'ondes sinusoïdales d'amplitudes différentes. Le phénomène de battement, résultant de la superposition de deux ondes de fréquences voisines a été décrit précédemment. On peut montrer que les ondes réelles, et donc de durée finie, peuvent être analysées comme la superposition d'un nombre fini d'ondes sinusoïdales. En considérant des durées faibles (de l'ordre de la seconde ou moins) on arrive à des ondes impulsionelles ou paquets d'onde qui sont d'un grand intérêt puisque rencontrées fréquemment. Un exemple de paquet d'onde est donné par la perturbation introduite à la surface d'un liquide par une brève excitation (un caillou qu'on y jette). Une observation attentive du paquet d'onde permet de constater que les maxima et minima de l'onde ne gardent pas une position fixe par rapport au centre du paquet. Pour expliquer ce comportement, il faut introduire les notions de vitesse de groupe et vitesse de phase. Le rappel ci-dessous est inspiré des développements de l’ouvrage de F. S. Crawford 1 .
5.5.2. FORMES (TEMPORELLE) D’ONDES
ONDE SINUSOIDALE
produite par une excitation sinusoidale à un endroit dans le milieu
€
u x,t
( )
= A sin(
ωt−kx)
.ONDE COMPOSITE
-> résulte du principe de superposition que 2 ondes de faible amplitude, se propagent dans le même milieu de façon indépendante. Dans certains milieux, les ondes de différentes fréquences se propagent à des vitesses différentes ; c'est le phénomène de dispersion.
1 Ondes – Cours de Physique de Berkeley, Frank S. Crawford, Lib Armand Colin, Paris, 1972
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Intensité de l'onde
Milieu transparent Milieu absorbant
x x+dx x I0
I I-dI
PAQUET D’ONDE OU IMPULSION
Lorsque l’excitation du milieu dure un temps bref (un petit nombre de périodes d’oscillations), il se forme une perturbation qui se propage dans le milieu. C’est un paquet ou train d’ondes.
TRAIN D’ONDES PÉRIODIQUE
Lorsque l’excitation brève se répète, il se forme un train d’impulsions.
Fig. 5-9 : Formes d’ondes. (a) Onde sinusoïdale ; (b) Paquet d’ondes ; (c) Train d’ondes périodique.
5.5.3. VITESSE DE GROUPE
La vitesse de groupe est la vitesse de déplacement du paquet d'onde dans son ensemble et donc de l'énergie qui lui est associée.
(5.16)
Vg = dω dk .
la durée de l'impulsion et la largeur de spectre ∆ω d’un paquet d’ondes sont reliées par : (5.17) ∆ω ∆t ≈ 2π ou ∆ν ∆t ≈ 1
5.5.4. ANALYSE DE FOURIER D'IMPULSIONS
L'analyse fréquentielle faite plus haut pour les vibrations, peut être généralisée aux ondes. C'est ainsi qu'une onde de durée finie, ou impulsion peut être obtenue par superposition d'un grand nombre de composantes sinusoïdales, en phase entre elles et de fréquences distribuées uniformément dans un intervalle donné. Considérons les N ondes suivantes A cos(ω1t), A cos[(ω1+ δω)t], A cos[(ω1+ 2δω)t], ....,A cos(ω2t), avec
δω = ω2− ω1
N−1 . L'addition de toutes ces ondes nous donne une onde de la forme :
(5.18) Φ(t) = A(t) cos (ωMt) avec
(5.19) A(t) = A sin 1
2Nδω t
!
"
# $
%&
sin 1 2δω t
!
"
# $
%&
et ωM = 1
2
(
ω2+ω1)
.En faisant tendre δω vers 0 (et donc N vers l'infini) tout en gardant l'intervalle [ω1,ω2], on obtient (5.20) Φ(t) = A(0)
Δω cos
( )
ωtω1 ω2
∫
dω avec ∆ω = ω2 - ω1.Il est possible de généraliser ce résultat en représentant une onde non périodique par une superposition continue de composantes A(ω) cos ωt, ou intégrale de Fourier qui s'écrit :
(a)
(b) (c)
(5.21) Φ(t) = A(ω) sin
( )
ωt0
∞
∫
dω + B(ω) cos( )
ωt0
∞
∫
dω.L'analyse qui a été faite pour les oscillations peut être extrapolée ici pour les ondes.
L'onde impulsionnelle résultant de la superposition d'un ensemble d'ondes ayant entre elles une relation de phase, de telle façon que le résultat global observable soit une perturbation limitée dans le temps est appelée un paquet d'ondes. Un paquet d'ondes voyage à la vitesse de groupe. Le paquet présente un nombre d'onde dominant kM = k(ωM) correspondant à une pulsation ωMsituée au milieu de la plage considérée. À la bande de fréquence ∆ω correspond une bande de nombres d'onde ∆k obtenue par la relation :
(5.22)
Δk = dk dω
#
$ % &
' ( Δω = Δω
vg , la dérivée étant calculée au centre de bande.
Un paquet d'ondes présente une étendue spatiale limitée à
∆z = vg∆t, ∆t étant la durée à mi-hauteur de l'impulsion correspondante.
Remarque : Lorsque le milieu de propagation est dispersif, l'impulsion ne garde pas la même durée.
6. PHÉNOMÈNES LIÉS À LA PROPAGATION D’ONDES 5.6.1. LA RÉFLEXION
Lorsque le milieu dans lequel se propage l’onde varie brusquement dans sa composition, l’onde subit une réflexion.
La réflexion d'une onde s'accompagne en général d'une atténuation par absorption d'une partie de l'énergie de l'onde. Dans le cas d'une onde à 2 ou 3 dimensions, il faut considérer le front d'onde. Un cas simple à traiter est celui de la réflexion d'une onde plane. L'onde se propage le long d'une direction normale au front d'onde ; dans le cas d'une onde électromagnétique, il s'agit du rayon. L'angle d'incidence θi est défini comme l'angle entre la normale entre la surface de la discontinuité et le rayon incident. La réflexion de l'onde se fait suivant un angle θr tel que θr = θi .
5.6.2. LA RÉFRACTION
Fig. 5-10 : Lois de la réflexion et de la réfraction d'une onde plane à l'interface entre 2 milieux.
Lorsqu'une onde rencontre une discontinuité dans le milieu dans lequel elle se propage, nous avons vu qu'il y a réflexion. La partie non réfléchie de l'onde est soit absorbée, soit transmise. La vitesse de
Normale à l'interface Fronts
de l'onde incident Fronts
de l'onde réfléchie θi θr
θr
propagation dans le deuxième milieu est différente, et dans le cas d'une onde à 2 ou 3 dimensions, il y a changement de direction de propagation. Ce phénomène s'appelle la réfraction.
La loi de réfraction d'une onde passant d'un milieu 1 (vitesse v1) à un milieu 2 (vitesse v2) est la suivante :
(5.23)
€
sin θ1 sin θ2
= v2 v1. 5.6.3. INTERFÉRENCES
Il y a interférence quand 2 ondes se superposent dans une même région de l'espace. La figure ci- après montre l'interférence entre 2 impulsions ondulatoires.
Fig. 5-11 : Interférence entre 2 perturbations se propageant en sens inverses sur une corde tendue.
L'interférence entre deux perturbations ondulatoires se produit pendant le bref instant de superposition des impulsions. Dans le cas d'une onde sinusoïdale, le résultat de l'interférence apparaît de façon permanente. L'interférence peut être constructive si les 2 ondes ont la même phase au même point, destructive si elles sont en opposition de phase (déphasage de 180°) et partielle dans un cas intermédiaire.
Fig. 5-12 : Interférence de 2 ondes sinusoïdales
(a)
(b)
(c)
Interférence destructive Interférences constructive
5.6.4. DIFFRACTION
Fig. 5-13 : Diffraction d'une onde à travers une ouverture.
Lorsqu'une onde à 2 ou 3 dimensions rencontre un obstacle, elle contourne partiellement celui-ci pour se propager dans la zone 'cachée'. L'importance du phénomène dépend des tailles relatives de la longueur d'onde et de l'obstacle. Les très petits objets modifient peu l'onde alors que derrière les objets de grande dimension une zone non accessible à l'onde existe.
5.6.5. SURFACES D’ONDE
Dans le cas d’une onde à deux dimensions, les points du milieu qui oscillent en phase, forment des lignes qu’on appelle front d’onde ; c’est la ligne de crête de la vague qui nous est familière.
Dans le cas d’une onde tridimensionnelle, les points de même phase de vibration sont les surfaces d’onde ou fronts d'onde qui peuvent être plans, sphériques ou avoir une autre forme. Dans le cas d'une onde à trois dimensions, créée par une source ponctuelle et se propageant dans un milieu homogène et isotrope, les fronts d'onde ont une forme sphérique. Pour les cas où le rayon de l'onde est très grand et pour une région limitée de l'espace, l'onde sphérique peut être assimilée à une onde plane ; l'onde plane se propage suivant une direction définie et son étendue transverse (dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation) est infinie. L'équation d'une onde progressive plane (OPP) est identique à celle d'une onde à 1 dimension, soit
(5.24)
€
∂2y
∂t2 = v2 ∂2y
∂x2 qui a pour solution
€
y x,t
( )
= A sin(
ωt−kx)
.7. ONDES ÉLASTIQUES (DANS LES MILIEUX SOLIDES DÉFORMABLES)
Les déformations dans les milieux solides dues aux vibrations et aux ondes qui en résultent peuvent être analysées en partant de leurs propriétés d’élasticité, décrites en particulier par la loi de Hooke.
Les corps solides, grace à leur élasticité, permettent la propagation d’ondes, appelées ondes élastiques (ou mécaniques). Ce sont par exemple les ondes le long d'une corde tendue ou d'une poutre, le son dans l'air. Examinons le cas des ondes créées par une compression périodique à la surface d’un corps solide et prenons pour simplifier l’exemple d’un barreau cylindrique comprimé périodiquement en surface. Soit E le module d’Young du matériau, ρ sa masse volumique.
Fig. 5-14 : Barreau de section S subissant une compression périodique en surface.
Vibration en surface (compression)
0 X
y
z
S
Section du barreau
La compression en surface du barreau est supposée homogène et correspond à un déplacement de la surface de la forme :
€
u t
( )
= U0 sin( )
ωt autour de sa position de repos prise à x=0.Afin de décrire la vibration d’un plan quelconque du barreau situé à l’abscisse x en fonction du temps, considérons une tranche d’épaisseur dx commençant à la position x.
Onde de compression dans un barreau cylindrique ; tranche de matière au repos (a)
Onde de compression dans un barreau cylindrique ; tranche de matière déplacée et déformée par le passage de l’onde, à un instant t (b)
Fig. 5-15 : Déplacement et déformation d’une tranche d’épaisseur dx dans un barreau parcouru par une onde de compression.
La figure ci-dessus montre le déplacement et la déformation de la tranche au passage de l’onde.
Celle-ci se dilate et se contracte périodiquement, à la fréquence de la vibration à l’origine de l’onde. A un instant t quelconque, les faces de la tranche ont respectivement pour abscisses
€
x+u(x,t) et
€
x+dx+u(x,+dx,t).
Appliquons la loi de Hooke pour exprimer la relation entre la force subie par la tranche et son changement d’épaisseur.
Exprimons l’allongement relatif d’une tranche de matière d'épaisseur
€
dx telle que décrite sur les figures 6-1 et 6-2 :
€
ΔL
L (pour la tranche) = u(x+dx) − u(x) dx
€
=
∂u
∂x dx dx = ∂u
∂x Il en résulte une tension locale (ou force élastique en x) à l’intérieur de la tranche donnée par :
€
F(x) = ES ∂u
∂x.
Cette tension varie avec la position ; la tranche considérée est donc soumise à un force résultante qu’on peut exprimer comme suit :
€
dF = F
(
en x+dx)
−F(
en x)
€
F(x) + ∂F
∂x dx
#
$ % &
' ( − F(x) =
€
= E S ∂2u
∂x2 dx Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la tranche de matière en mouvement. La masse de l’élément est égale à
€
ρ S δx , son accélération est égale à
€
∂2u
∂t2. On peut donc écrire :
0 X
vibration onde
dx
x
0 X
vibration onde
dx
x u
x+u(t) x+dx + u(x+dx,t)
€
ρS dx ∂2u
∂t2 = dF= E S ∂2u
∂x2 dx ou encore
€
∂2u
∂t2 − E ρ
∂2u
∂x2 = 0. En introduisant le terme
€
c = E
ρ , on obtient l’équation de d’Alembert ou équation d’onde : (5.25)
€
∂2us
∂t2 − c2 ∂2u
∂x2 = 0
c correspond à la célérité des ondes élastiques longitudinales dans le milieu élastique.
8. ONDES DANS UN MILIEU LIQUIDE
Dans un liquide, les forces exercées par une molécule sur ses voisines sont les mêmes quelle que soit l'orientation choisie autour de la molécule considérée. Il s'en suit que le couplage entre les molécules du liquide ne peut se faire que par des forces longitudinales si on néglige comme c'est souvent possible, la viscosité. Les efforts transversaux étant inexistants, il ne se propage que des ondes de compression longitudinales dans les liquides.
Un liquide est un milieu continu dont l'état est défini par 3 paramètres : la pression P, le volume V et la température T. Ces 3 paramètres sont reliés par une équation d'état du type f(p,V, T) = 0. Ce sont :
• la loi de Mariotte pour les transformations isothermes : P V = f(T) = Const et
• la loi des transformations adiabatiques PVγ
= const où
€
γ = cp
cv est le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à volume constant (faibles variation de P se faisant sans changement de température).
L'effet d'une onde sonore se propageant dans le liquide est de comprimer et alternativement dilater le volume V occupé par une masse m du liquide. On définit un coefficient de dilatation
€
θ = δV V . La dilatation entraîne une variation de densité locale δρ du liquide. Puisque la masse est invariante, on a : (5.26)
€ δρ
ρ = − δV
V = −θ.
Les changements de volume provoquent des variations de pression. En utilisant l'approximation adiabatique, on peut définir un module de compressibilité du liquide (ou le coefficient de compressibilité χ ) :
(5.27) K= 1 χ=−
δP δV
V (en Pa)
Dans le cas où V ne dépend que de la pression P, χ devient (5.28)
€
χ = −1 V
dV dP .
Considérons un liquide compressible contenu dans un tube. Au repos la pression est identique en tout point du liquide, soit P. Lorsqu'une onde sonore se propage, la pression peut être considérée comme une fonction continue de l'abscisse du tuyau, soit p(x). En tenant compte des relations
€
dp = dF
S et dV = S du (du étant l'allongement d'une tranche élémentaire de liquide) et en opérant comme dans le cas des solides en remplaçant E par
€
1χ, nous obtenons :
(5.29)
€
∂2u
∂t2 = c2 ∂2u
∂x2 avec c = 1χ
ρ = K ρ .
9. ONDES DANS UN MILIEU GAZEUX
5.9.1. DÉPLACEMENT ET PRESSION DANS LE MILIEU
Considérons la propagaton d’une onde harmonique le long d’un tube contenant un gaz. Une tranche du gaz d’épaisseur dx est déplacé et déformé par le passage de l’onde (fig. ci-après).
Passage d'une onde dans un gaz. u est le déplacement de la couche de gaz d'abscisse x.
Pour les milieux gazeux, il convient de décrire le phénomène en termes de variation de pression et non de déplacement du milieu. La variable à considérer pour décrire l’onde acoustique, est donc la variation algébrique pa en un point donné de la pression P du gaz (ou écart par rapport à la pression statique). pa est en général petit devant la pression atmosphérique et on peut écrire pa = dP, . La réponse du milieu à une variation de pression est donnée par le module d’élasticité isostatique K .
Remarque : l'inverse de K, désigné par est appelé le coefficient de compressibilité.
L'utilisation de la pression et non pas du déplacement s'explique par les faits que
• l'oreille est un capteur différentiel sensible aux variations de pression autour de la pression statique,
• les microphones utilisés en acoustique sont en général sensibles à la pression,
• la pression peut être définie et mesurée en un point sans qu'on ait à se préoccuper de la direction de propagation.
La variation relative de volume est égale à
(5.30) .
On en déduit :
χ
€
dV V
€
dV V =
S ∂u
∂x dx s dx = ∂u
∂x K = − dP
dV V= − pa
dV V
(5.31) et la relation suivante entre le déplacement s des tranches de gaz et la pression acoustique pa :
(5.32) pa=−K∂u(x,t)
∂x .
Considérons une perturbation ondulatoire de la forme . La pression acoustique est alors donnée par :
(5.33)
Il apparaît que :
- la pression acoustique pa se propage à la même vitesse et à la même fréquence que la perturbation longitudinale s.
- la pression acoustique est en retard de par rapport à s.
Remarques:
• L'analyse faite ci-dessus est valable pour une onde plane de pression se déplaçant dans un liquide ou un gaz.
• Pour un gaz parfait, dans lequel les compressions et dilatations sont adiabatiques, il existe une autre expression pour la célérité. De la relation des gaz parfaits on tire la relation :
(5.34) .
Le coefficient de compressibilité s'écrit alors :
(5.35) .
La célérité du son dans un fluide est donc
(5.36) .
Pour un gaz parfait nous pouvons écrire :
- l'équation caractéristique pour 1 kg de masse de gaz PV = RT, où R est la constante des gaz parfaits (R = 8,3 J/mole.K), et si M est la masse moléculaire. On en déduit l'expression de la vitesse de phase (ou célérité) des ondes sonores dans les liquides (ou les gaz) :
(5.37) .
On voit que la vitesse du son dans l'air est proportionnelle à la racine carrée de la température absolue , T étant exprimé en Kelvins.
5.9.2. IMPEDANCE ACOUSTIQUE D’UN MILIEU ÉTENDU DANS L’ESPACE LIBRE On définit de façon générale l’impédance acoustique d’un milieu comme le rapport
1 K = −1
pa
∂u
∂x
u = A sinω t−x cs
"
#$ %
&
' (
)* +
,-
pa = Kω
cs A cosω t−x cs
"
#$ %
&
' (
)* +
,
- = Pa cosω t−x cs
"
#$ %
&
' (
)* +
,-
€ π 2
€
dP P + γdV
V = 0
1 K = −1
V dV dP = 1
γP
cs = γP ρ
€
ρ = M V
vϕ = cs = γRT M vϕ ≈20 T
€
Z = pression acoustique vitesse dans le milieu = pa
v
de la pression acoustique dans le milieu sur la vitesse des particules du milieu mis en mouvement par le passage de l’onde.
... onde acoustique se propageant le long d’un milieu élastique à une dimension.
(5.38)
€
Z = pa
v = 1
χ c = ρ χ = ρc .
L’impédance d’un milieu est d’autant plus grande que le milieu est moins compressible et plus dense ; de façon générale, l’impédance d’un gaz est moins grande que celle d’un liquide, elle-même moins grande que celle d’un solide.
Il y a analogie entre l’impédance acoustique et l’impédance d’une ligne électrique. Z décrit le couplage entre deux grandeurs caractéristiques de l’onde, ici la pression et la vitesse vibratoire. Notons encore que l’impédance change de signe avec le sens de propagation. Si l’onde se propage dans le sens –x, la célérité est –c, et l’impédance est égale à
€
Z = − ρc.
air à 20°C, Z = ρc = 413 kg.m-2.s-1 (ou Pa.s.m-1). - eau on trouve : Z = 1,4.106 kg.m-2.s-1. 5.9.3. IMPÉDANCE CARACTÉRISTIQUE D’UN TUYAU SONORE.
Lorsque l’onde se propage dans un tuyau de section constante S, on utilise la notion d’impédance caractéristique (ou spécifique) du tuyau. Si S est la section du tuyau, on peut définir une impédance mécanique :
€
Zm = S p v = S Z
et une impédance hydraulique (parce qu’elle fait intervenir un débit)
€
Zh = pa S v = Z
S = ρ c S ;
€
v étant la vitesse vibratoire et
€
c, la célérité des ondes acoustiques dans le milieu.
€
Zh ou Zc est appellée impédance acoustique caractéristique.
La grandeur
€
S v correspond au débit volumique acoustique (m3.s-1) à l’entrée du tuyau ; cette grandeur est conservée le long du tuyau qui peut avoir une section variable.
NB 1 : L’impédance ci-dessus a été définie pour une onde se propageant dans le sens – vers + (onde progressive directe). Pour l’onde se propageant dans l’autre sens, la vitesse changeant de signe (onde indirecte), l’impédance caractéristique devient :
€
Zc.ind = pa
S v = − ρc
S =− Zc.dir.
NB 2 : L’extrémité est un point particulier caractérisé par une impédance d’extrémité :
€
Zextr = pextr S vextr
5.9.4. ÉNERGIE TRANSPORTÉE PAR UNE ONDE ACOUSTIQUE PROGRESSIVE
Soit une onde acoustique qui se propage le long d'un tube de section S et provoquant un déplacement des couches du milieu donné par .
Le déplacement de la couche d'épaisseur dx s'accompagne d'une énergie cinétique u = A sin ω t−x
cs
"
#$ %
&
'
(5.39) .
L'augmentation ou la diminution d'épaisseur (allongement ou compression ∆l) de la couche élémentaire s'accompagne d'une variation d'énergie potentielle de
où et d'où
(5.40)
On a par ailleurs ; on en déduit que dEcin = dEpot . L'énergie totale est donc
(5.41) .
L'expression ci-dessus indique que l'énergie se déplace avec la vitesse v. L'énergie moyenne Emoy est donc celle qui est contenue dans un volume de base S et de longueur, la longueur d'onde Λ. On a donc :
(5.42) = .
5.9.5. INTENSITÉ SONORE
En pratique on considère souvent l'intensité I définie comme le flux d’énergie traversant l'unité de surface par unité de temps ; I s'exprime en watts.m-2.
Pour une onde d’amplitude A de pulsation ω et de célérité c, l’intensité est égale à :
(5.43) .
L’intensité correspond à l’énergie qui passe à travers une section transverse unitaire pendant une seconde.
L'oreille humaine peut détecter des sons d'intensité située entre 10-12 W.m-2 et 1 W.m-2. Sur une telle amplitude, la sensibilité ne peut pas être linéaire et en effet la réponse de l'oreille est logarithmique. Pour cette raison on définit un niveau d'intensité (ou intensité acoustique) en unités logarithmiques :
(5.44) β(dB)=10 log Iac I0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
où I0 est un niveau de référence correspondant au seuil d'audibilité, soit 10-12 W.m-2. Iac est l’intensité sonore définie comme suit. La pression acoustique étant donnée par :
(5.45) = l’intensité sonore est égale à
(5.46) où Pa.eff est la valeur efficace de pa.
€
dEcin = 1
2 ρSdx ∂u
∂t
$
% & ' ( )
2
€
dEpot = 1 2 K
( )
Δl2€
K = ES l = S
χdx
€
Δl = ∂u
∂x dx
€
dEpot = 1
2 Sρv2 ∂u
∂x
$
% & ' ( )
2
€
∂u
∂x = −v ∂u
∂t
dE = ρS ∂u
∂t
!
"
# $
%&
2
dx = ρS A2ω2 cos2ω t−x cs
!
"
# $
%& dx
Emoy = ρS A2ω2 cos2ω t−x cs
"
#$ %
&
'
0 Λ
∫
dx = 12ρS A2ω2 Λ 12ρSA2ω2 csTI "#W.m−2$%= 1
2ρcs A2ω2
pa = ρcs
∂u
∂t = ρcsω A cosωt − x cs
"
#$ %
&
'
€
Pa cosωt − x c
$
% & ' ( )
€
Iac = 1 2
Pa 2
ρc =
(
Pa.eff)
2ρc
5.9.6. SUPERPOSITION D'ONDES SONORES
1.1.1. INTERFÉRENCE D’ONDES ACOUSTIQUES
Interférence de deux signaux acoustiques.
Le niveau acoustique correspondant à la superposition de deux ondes acoustiques dépend du degré de cohérence (corrélation entre les phases) entre les deux ondes.
1.1.2. SUPERPOSITION D’ONDES INCOHÉRENTES
Si les 2 ondes ne sont pas cohèrentes, le niveau résultant est obtenu en additionnant les énergies, c'est-à-dire les carrés des pressions acoustiques (et non pas les valeurs instantanées) :
(5.47)
€
Pan(1+2)
( )
2 =(
Pan(1))
2 +(
Pan(2))
2On en déduit le niveau de pression acoustique résultant (5.48)
€
Npa(1+2) = 10 log10
Pan(1)
( )
2+(
Pan(2))
2Pan.0
( )
2"
#
$ $
%
&
' '
Il en résulte la relation suivante entre les niveaux : (5.49)
€
Npa(1+2+...+i) = 10 log10 10
Npa(1)
10 +10
Npa(2) 10 + ... +10
Npa(i)
" 10
# $ %
&
'
1.1.3. BATTEMENT
Lorsque les fréquences de deux ondes qui se superposent sont légèrement différentes, il se produit un phénomène particulier, le battement. L'oreille perçoit un battement sonore comme un son d'amplitude modulée de façon périodique. La description mathématique est obtenue par addition des amplitudes des deux ondes.
Soient les deux ondes dont les amplitudes en un point donné varient dans le temps suivant l'expression :
p1,2= Pa sin (2π f1,2t), avec f1 peu différent de f2. La superposition des 2 ondes est décrite par l'expression : (5.50)
€
p1+2 = 2Pa cos 2π f1−f2 2
$
% & ' ( )
*
+ , -
. / sin 2π f1+f2 2
$
% & ' ( )
*
+ , -
. /
La fréquence du signal résultant est la moyenne des fréquences des deux ondes ; son amplitude est modulée par un signal à la fréquence
€
12
(
f1−f2)
.Source 1
Source 2
A N1 dB e
n A
N2 dB en A
Niveau résultant en A de la superposition des 2 ondes ?
5.9.7. L'EFFET DOPPLER EN ACOUSTIQUE
L'effet Doppler se manifeste donc par un décalage de longueur d'onde de : (5.51)
€
ΔλDopp = λ' − λ = − Vsλ c.
La nouvelle fréquence est donnée par l'expression : (5.52)
€
f' = v λ' = v
λ−Vs
c λ
= f 1
1−Vs
c
Par analogie, on peut obtenir la fréquence d'une onde dans le cas où la source s'éloigne de l'observateur, soit :
(5.53)
€
f' = 1 1+Vs
c f.
L'effet Doppler apparaît également quand c'est l'observateur qui se déplace. La variation de fréquence est légèrement différente de celle obtenue ci-dessus pour la source en mouvement. Pour un observateur qui se rapproche de la source, les crêtes de l'onde se déplacent à une vitesse de c+VD(D pour détecteur). La fréquence détectée est donc de :
(5.54)
€
f' = c + VD
λ = 1 +
VD c
#
$ % &
' ( f.
Par analogie, on trouve pour la fréquence de l'onde détectée par un observateur s'éloignant de la source :
(5.55)
€
f' = 1 − VD
c
#
$ % &
' ( f .
Le cas général est obtenu lorsque source et observateur se déplacent. En combinant les deux cas ci- dessus, on obtient la formule générale suivante :
(5.56)
€
f' = c±VD cVS
"
# $ %
&
' f.
Le premier se rapporte au cas du rapprochement source-détecteur ; le deuxième cas est celui de l'éloignement.
L'effet Doppler apparaît également lorsque l'onde est réfléchie par un objet en mouvement. La mesure du décalage de fréquence permet d'ailleurs de retrouver la vitesse de la cible ; c'est sur ce principe qu'est d'ailleurs basé le fonctionnement des nouveaux modèles de radar de contrôle de trafic routier.
10. FACTEURDEREFLEXIONETDETRANSMISSIONAUNEINTERFACE, INCIDENCENORMALE
5.10.1. CONDITIONS DE CONTINUITÉ À L’INTERFACE
Considérons le cas d'une onde acoustique plane en incidence normale ; cette étude s'applique aux ultrasons, mais pas aux interfaces air-solide dans le cas de l'acoustique des bruits.
Comment le changement d’impédance influe-t-il sur la répartition des énergies entre les trois ondes ? Pour répondre à la question examinons les conditions sur la vitesse des particules à l’interface et sur la pression.
Soit une onde élastique se propageant le long d’un milieu à une dimension (poutre). Le milieu est constitué de deux matériaux d’impédance Z1 = ρ1c1 et Z2 = ρ2c2 et séparés par une interface normale à
la direction de propagation. L’onde incidente (Oi) à l’interface génére deux ondes : une onde transmise (Ot) qui transporte une partie de l’énergie dans le deuxième milieu et une onde (Or) qui repart dans le premier milieu. Les différentes ondes à l’interface sont données par les expressions suivantes : (5.57) Pour l’onde incidente :
€
ui =Ui sin ω t − x c1
$
% & ' ( ) ; (5.58) Pour l’onde réfléchie :
€
ur =Ur sin ω t + x c1
#
$ % &
' ( (5.59) Pour l’onde transmise :
€
ut =Ut sin ω t − x c2
$
% & ' ( ) .
Pour décrire le passage de l'onde à travers l'interface, on définit les coefficients suivants : le facteur de transmission des déplacements
€
ts = Ut Ui
, le facteur de réflexion des déplacements
€
rs = Ur Ui
, le facteur de transmission des intensités
TI = It
Ii et le facteur de réflexion des intensités RI = Ir
Ii.
(a) (b)
(a) Réflexion et transmission à une interface entre deux milieux d’impédances différentes. (b) Forces agissant sur une mince couche à l’interface.
A l'interface les conditions suivantes sont observées : - continuité des déplacements et des vitesses, - continuité des contraintes et des pressions,
- continuité de l'énergie (en supposant que les milieux ne sont pas absorbants).
Il y a continuité pour le déplacement et la vitesse car un point de l’interface peut être considéré comme commun aux deux milieux :
(5.60)
€
u1 =u2 ou
€
ui +ur =ut à tout instant, ce qui implique que l’égalité est vérifiée pour l’amplitude :
(5.61)
€
Ui +Ur =Ut .
La condition de continuité sur les pressions s’écrit : (5.62) pi + pr = pt ou, en utilisant la relation,
€
p=−1 χ
∂u
∂x , (5.63)
€ ui χ1c1
+ ur
χ1c1
= ut χ2c2
.
Pour justifier la continuité pour la pression, considérons une tranche de très faible épaisseur, de masse m, d’aire S située sur l’interface (figure ci-dessus). Cette couche est soumise à deux forces. La force résultante est équilibrée par la force d’inertie, suivant le principe fondamental de la dynamique :
Milieu 1 (Za1) Milieu 2 (Za2) (Oi)
(Ot) (Or)
F1 F2
(5.64)
€
p1 − p2
( )
S = m . dv dt.En faisant tendre l’épaisseur de la tranche vers zéro, la masse m tend également vers zéro, ainsi que la différence de pression, ce qui signifie que
€
p1 = p2 à l’interface, ce qui permet d’écrire la deuxième condition à la limite des deux milieux :
(5.65)
€
pi + pr = pt à tout instant, ce qui signifie que
€
Pi + Pr = Pt . La continuité pour les vitesses s’écrit :
(5.66)
€
v1 =v2 ou vi + vr = vt ou
€
Vi + Vr = Vt .
5.10.2. FACTEUR DE RÉFLEXION ET DE TRANSMISSION POUR LE DÉPLACEMENT. Les coefficients de réflexion et de transmission pour les déplacements ou les vitesses sont donnés par
(5.67)
€
ru = ur ui et
€
ts = ut ui .
En utilisant les relations de continuité et la relation
€
Z = Pa
V = 1 χ c = ρ
χ = ρc, on obtient les coefficients ru et ts.
En tenant compte du fait que pour une onde progressive se déplaçant dans le sens contraire de l’orientation de l’axe l’impédance est égale à –Z, la continuité de pression s’écrit :
(5.68)
€
Z1vi − Z1vr = Z2vt ou
€
Z1Vi − Z1Vr = Z2Vt . Les relations de continuité deviennent :
(5.69)
€
1 + r = t et
€
Z1
(
1 − r)
= Z2t soit, (5.70)€
ru = Z1−Z2 Z1+Z2
et
€
tu = 2Z1 Z1+Z2
.
Remarques
• Dans le cas général on a ru + tu ≠ 1.
• L’onde transmise est toujours en phase avec l’onde incidente.
• Si
€
Z1 > Z2, le coefficient de réflexion est positif, cela signifie que le déplacement dû à l’onde réfléchie se fait dans le même sens que celui de l’onde incidente.
• Si
€
Z1 < Z2, le coefficient de réflexion est négatif, ce qui signifie qu’il y a un changement de signe (ou un déphasage de π) à la réflexion.
• Il n’y a pas d’onde réfléchie si les deux milieux ont la même impédance ; on dit qu’il y adaptation des impédances.
5.10.3. FACTEUR DE RÉFLEXION ET DE TRANSMISSION POUR LES PRESSIONS
Les détecteurs d’ondes acoustiques étant sensibles à la pression, il est utile d’introduire les coefficients de réflexion et de transmission en pression :
(5.71)
€
rp = pr pi
et
€
tp = pt pi
.
En utilisant la continuité des vitesses vibratoires (
€
Vi + Vr = Vt ), on obtient : (5.72)
€ pi Z1 − pr
Z1 = pt Z2 ou
€
Z2
(
pi − pr)
= Z1ptEn ajoutant la continuité des pressions ( ), on obtient les expressions pour
€
rp et
€
tp: (5.73)
€
rp = Z2−Z1
Z1+Z2 et
€
tp = 2Z2
Z1+Z2. Remarques
• Si
€
Z1 > Z2, (interface eau->air) le coefficient de réflexion est négatif, ce qui signifie qu’il y a un changement de signe de l’onde de pression (ou un déphasage de π) à la réflexion.
• Si
€
Z1 < Z2, le coefficient de réflexion est positif, l’onde de pression ne change pas de signe à la réflexion (NB : pour l’onde de déplacement, c’est l’inverse).
5.10.4. FACTEUR DE TRANSMISSION EN ÉNERGIE
Les facteurs de transmission de réflexion et de transmission en intensité sont définis comme (5.74)
€
RI = Ir Ii et
€
TI = It Ii.
Les intensités étant proportionnelles au carré des amplitudes, il en résulte les expressions suivantes, en supposant qu’il n’y a pas de pertes à l’interface (
€
RI + TI = 1 ) : (5.75)
€
RI =
( )
ru 2 = ZZ1−Z21+Z2
#
$ % &
' (
2
et
€
TI = 1 − Z1−Z2
Z1+Z2
#
$ % &
' (
2
= 4Z1Z2
Z1+Z2
( )
2.On voit d'après la relation ci-dessus, que pour augmenter la transmission il faut rapprocher Z1 et Z2
c'est-à-dire adapter les impédances. Dans les problèmes de propagation acoustique à travers des parois (problèmes de bruits), d'autres phénomènes comme les vibrations des cloisons viennent compliquer le problème et RI est plus important que celui obtenu par la formule ci-dessus.
11. ONDES PROGRESSIVES SUR UN CÂBLE DE TRANSMISSION PASSE-BAS.
5.11.1. LIGNE ÉLECTRIQUE CONSTITUÉE DE CONDENSATEURS ET D’INDUCTANCES DISCRÈTES
Soit une ligne électrique représentée par une succession de d’inductances et de capacités ; cette ligne est excitée par une tension V(t) d'extrémité (à z = 0) V(t) = V0 cos ωt .
Fig. 5-16 : Ligne électrique Cherchons la relation entre V(z, t) et I(z, t).
