La fonction exponentielle - Corrigé
Exercice 1 : 1) Les quatre fonctions étudiées sont définies et dérivables sur ℝ. a) () = + 5 > 0
b) () = 2 × ( )× + 5 = 2( )+ 5 > 0 c) ℎ() = 2
2√2 + 3=
√2 + 3> 0
d) ′() = (1 − )(1 + ) − (1 + )(1 − )
(1 + ) =− (1 + ) − (1 − ) (1 + )
=− − ( )− + ( )
(1 + ) = −2
(1 + ) < 0
2) Les trois premières fonctions sont strictement croissantes sur ℝ et la quatrième strictement décroissante.
Exercice 2 :
1) a) () = × = ( ) ( ) = =
b) "() = # $
= % # $&( )= # $ = # $ c) '() =( $)× ( $)
( $)( =( $)× ( $)
(( $) =) × )
( ( = ) )
( ( = $ ( ( (
= ($ ()(( () = $ (( (= * 2) Pour tout réel :
(−) =
( + 1) = 1
+ 1 + 1, = 1
+1 + , = 1 (1 + )
( )
= 1
× ( )
(1 + ) =
( + 1) = () Donc la fonction est paire.
(−) = −
( + 1) = −(−) = −() = −
( + 1) = −() Donc la fonction est impaire.
Exercice 3 :
→ 1lim 3 = +∞ et lim → 13− 2 + 1 = lim → 13 = +∞
donc, par somme lim → 13 + 3− 2 + 1 = +∞
→1lim 3 = 0 et lim →13− 2 + 1 = lim →13 = +∞
donc, par somme lim →13 + 3− 2 + 1 = +∞
→1lim − 1 = −1 et lim →1 + 1 = 1, donc par quotient, lim →1 − 1 + 1 = −1 Le passage au quotient dans la dernière limite donne une forme indéterminée : − 1
+ 1 =
+1 − 1 ,
+1 + 1 ,= 1 − 1 1 + 1
→ 1lim 1
= 0 donc lim → 11 − 1
= 1 et lim → 11 + 1 = 1 Donc, par quotient, lim → 11 − 1
1 + 1
= 1 et donc lim → 1 − 1 + 1 = 1
→ 1lim 3− 5 + 1 = lim → 13 = +∞
?→ 1lim ?= +∞ @ ⇒ lim → 1 #( $= +∞
→1lim + 2 = 2
→1lim + 3 = 3@ ⇒ lim →1
+ 2 + 3 =2
3
→ 1lim
+ 2 + 3 ∶ CD + 2
+ 3 =
+1 + 2 ,
+1 + 3 ,= 1 + 2 1 + 3
→ 1lim 1 + 2 = 1
→ 1lim 1 + 3
= 1E ⇒ lim → 11 + 2 1 + 3
= 1 ⇒ lim → 1 + 2 + 3 = 1
lim → 13 ∶ CD
→ 1lim 3 = lim → 13
= lim → 13 ×
= 0 car lim → 1
= +∞
lim →1( + 1) : CD
→1lim ( + 1) = lim →1 + = 0 car lim →1 = 0 et lim →1 = 0
lim →G − 1 : CD
→Glim
− 1
= lim →G1
× − 1
→Glim
− 1 = 1
→Glim
H
1
= −∞ et lim →GI 1
= +∞
Donc lim →G
H
1
× − 1
= −∞ et lim →GI 1
× − 1
= +∞
Exercice 4 : 1) + 3
+ 1 = 2 ⇔ + 3 = 2( + 1) ⇔ + 3 = 2 + 2 ⇔ 1 = ⇔ = 0 ∶ K = {0}
2) ≤ ⇔ ≤ 2 ⇔ ≥ 0 ∶ K = P0; +∞P
3) #R = ⇔ 3− 4 = + 2 ⇔ 3− 5 − 2 = 0 ⇔ = −1
3 ou = 2 ∶ K = T−1 3 ; 2U 4) $− 1 > 0 ⇔ $ > 1 ⇔ $> G ⇔ 2 + 1 > 0 ⇔ > −1
2 ∶ K = V−1
2 ; +∞W
Exercice 5 : VRAI - FAUX
1. () =8R (R + 1) − 4R (2R − 2)
(R + 1) =8R (R + 1 − R + 1)
(R + 1) = 16R
(R + 1) > 0: VRAI 2. () = 2R − 2
R + 1 =
2 − 2R 1 + 1R
→ 2 quand tend vers + ∞ ∶ FAUX
3. () = 2R − 2
R + 1 → −2 quand tend vers − ∞
c admet deux asymptotes : les droites d’équations d = −2 et d = 2 : VRAI.
4. (0) = $)# = $)R = 4
La tangente à c au point d’abscisse 0 a pour équation d = 4( − 0) + (0) = 4 ∶ VRAI 5. La fonction =1
a les mêmes variations que ∶ FAUX car et1
ont des variations contraires.
6. La fonction =1
est définie sur ℝ ∶ FAUX car sannule en 0 7. La fonction =1
a une limite finie en 0 ∶ FAUX 1
() = R + 1 2R − 2
→GlimR + 1 = 2
→Glim
H
2R − 2 = 0j ⇒ lim →G
H
R + 1
2R − 2 = −∞
→GlimR + 1 = 2
→Glim
I 2R − 2 = 0 j ⇒ lim →G
I
R + 1
2R − 2 = +∞
Exercice 6 :
1. (a) ′() = − 1 ≥ 0 pour tout ∈ P0; +∞P et ne s’annule qu’en 0. Donc la fonction est strictement croissante sur P0; +∞P et (0) = G− 0 − 1 = 0.
Pour tout ∈ P0; +∞P , () ≥ (0) = 0 On en déduit que est positive sur P0; +∞P.
Pour tout ∈ P0; +∞P , − − 1 ≥ 0 donc − ≥ 1
Et donc − > 0 : le dénominateur de ne s’annule pas sur ℝ, on en déduit que est définie sur ℝ. (b) →1lim − 1 = −1
→1lim − = +∞@ ⇒ lim →1
− 1 − = 0
→ 1lim
− 1 − ∶ CD − 1
− =
+1 − 1 ,
+1 − ,= 1 − 1 1 −
→ 1lim 1 − 1 = 1
→ 1lim 1 −
= 1E ⇒ lim → 11 − 1
1 − = 1 ⇒ lim → 1 − 1 − = 1
(c) () = ( − ) − ( − 1)
( − ) = − − +
( − ) = (1 − ) ( − )
2. (a) l est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ : l() = − + (2 − ) = (1 − )
l() est du signe de 1 − : l() > 0 sur m−∞; 1P et l() < 0 sur m1; +∞P.
Ainsi, l est strictement croissante sur m−∞; 1P et strictement décroissante sur m1; +∞P. l() = 2 − − 1
→1lim 2 = 0
→1lim = 0@ ⇒ lim →12 − − 1 = −1
→ 1lim (2 − ) − 1 = −∞
l(1) = (2 − 1)$− 1 = − 1 > 0
(b) l est continue (car dérivable) et strictement croissante sur m−∞; 1P et 0 ∈ m−1; − 1P ensemble d’arrivée, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation l() = 0 admet une unique solution sur m−∞; 1P. Cette équation admet également une unique solution sur m1; +∞P pour les mêmes raisons.
Conclusion : l’équation l() = 0 admet exactement deux solutions dans ℝ. (c) l(n) = 0 ⇔ (2 − n)o− 1 = 0 ⇔ (2 − n)o= 1 ⇔ o =o$ car n ≠ 2.
3. (a) () =(1 − )
( − ) = l()
( − ) ∶ () > 0 sur m−∞; 1P et () < 0 sur m1; +∞P Ainsi, est strictement croissante sur m−∞; 1P et strictement décroissante sur m1; +∞P. (b) (n) = o− 1
o− n =
2 − n − 11 2 − n − n1
=
1 − 2 + n 2 − n 1 − 2n + n
2 − n
= n − 1
(n − 1) = 1 n − 1
−∞ 1 +∞
l
() + 0 −
l
