Soutien du 12/01 : « Manipuler » la fonction exponentielle - Corrigé
Exercice 1 : 1) Les quatre fonctions étudiées sont définies et dérivables sur ℝ. a) () = + 5 > 0
b) () = 2 × ( )× + 5 = 2( )+ 5 > 0 c) ℎ() = 2
2√2 + 3=
√2 + 3> 0
d) ′() = (1 − )(1 + ) − (1 + )(1 − )
(1 + ) =− (1 + ) − (1 − ) (1 + )
=− − ( )− + ( )
(1 + ) = −2
(1 + ) < 0
2) Les trois premières fonctions sont strictement croissantes sur ℝ et la quatrième strictement décroissante.
Exercice 2 :
1) a) () = × = ( ) ( ) = =
b) "() = # $
= % # $&( )= # $ = # $ c) '() =( $)× ( $)
( $)( =( $)× ( $)
(( $) =) × )
( ( = ) )
( ( = $ ( ( (
= ($ ()(( () = $ (( (= *
2) Pour tout réel :
(−) =
( + 1) = 1
+ 1 + 1, = 1
+1 + , = 1 (1 + )
( )
= 1
× ( )
(1 + ) =
( + 1) = () Donc la fonction est paire.
(−) = −
( + 1) = −(−) = −() = −
( + 1) = −() Donc la fonction est impaire.
Exercice 3 :
→ 1lim 3 = +∞ et lim → 13− 2 + 1 = lim → 13 = +∞
donc, par somme lim → 13 + 3− 2 + 1 = +∞
→1lim 3 = 0 et lim →13− 2 + 1 = lim →13 = +∞
donc, par somme lim →13 + 3− 2 + 1 = +∞
→1lim − 1 = −1 et lim →1 + 1 = 1, donc par quotient, lim →1 − 1 + 1 = −1 Le passage au quotient dans la dernière limite donne une forme indéterminée : − 1
+ 1 =
+1 − 1 ,
+1 + 1 ,= 1 − 1 1 + 1
→ 1lim 1
= 0 donc lim → 11 − 1
= 1 et lim → 11 + 1 = 1 Donc, par quotient, lim → 11 − 1
1 + 1
= 1 et donc lim → 1 − 1 + 1 = 1
