CHAPITRES5 INTERROGATION ÉCRITE4 – DURÉE15MIN
Nom Prénom :
Chapitres 5 – Interrogation écrite 4 – Durée 15min
1. Mettre sous forme algébrique : (2+i)×(1−3 i).
Réponse
On a :
(2+i)×(1−3 i)=5−5 i.
2. Mettre sous forme algébrique : 1 3+i. Réponse
On a :
1
3+i= 3−i 32+12= 3
10−i 1 10.
3. Soitz∈C. Donner la définition de|z|et son interprétation géométrique.
Réponse
On a :|z| = q
¡Re(z)¢2
+¡ Im(z)¢2
= p
z×z. Il s’agit de la distance du point d’affixezau point d’affixe 0 (origine du repère dans le plan complexe).
4. SoientAetBdes points d’affixes respectiveszA etzB. Donner l’affixe du vecteur−−→
ABet la distanceABen fonction de zAetzB.
Réponse
L’affixe du vecteur−−→
ABestzB−zA. La distanceABest|zB−zA|.
5. SoitAetBdes points d’affixes respectiveszA etzB. Donner l’affixe du milieuIdu segment [AB].
Réponse
L’affixe deIest zA+zB
2 .
6. Dans le plan complexe, donner la figure géométrique représentée par l’équation|z−ω| Ér(ω∈Cetr∈R+sont fixés).
Réponse
Il s’agit du disque fermé de centre le point d’affixeωet de rayonr.
7. Énoncer l’inégalité triangulaire ainsi que le cas d’égalité.
Réponse
Soit (z1,z2)∈C2. ÏOn a :
¯
¯|z1| − |z2|¯
¯É |z1+z2| É |z1| + |z2|.
ÏOn a|z1+z2| = |z1| + |z2|si, et seulement si,z2=0 ou il existeλ∈R+tel quez1=λ.z2. 8. Soitz∈C. Exprimer les parties réelle et imaginaire dezen fonction de zetz.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
INTERROGATION ÉCRITE4 – DURÉE15MIN CHAPITRES5
Réponse
Re(z)=z+z
2 et Im(z)=z−z 2 i
9. Soitz∈C. Compléter les équivalences suivantes (on pourra faire intervenir des parties réelle et imaginaire, des conjugués...) :
z∈R ⇐⇒ Im(z)=0 ⇐⇒ z=z
z∈iR ⇐⇒ Re(z)=0 ⇐⇒ z= −z
10. Soitθ∈R. Donner la définition deeiθ. Réponse
eiθ=cos(θ)+i sin(θ)
11. Énoncer les formules d’Euler Réponse
Soitθ∈R.
cos(θ)=eiθ+e−iθ
2 et sin(θ)=eiθ−e−iθ 2 i
12. Énoncer la formule de Moivre Réponse
Soientθ∈Retn∈Z.
¡eiθ¢n
=ein×θ et ¡
cos(θ)+i sin(θ)¢n
=cos(n×θ)+i sin(n×θ).
13. Énoncer la formule du binôme de Newton.
Réponse
Soit (a,b)∈C2. Pour toutn∈N,
(a+b)n=
n
X
k=0
Ãn k
!
×ak×bn−k.
14. Soitn∈N. Donner la définition den!.Il y a deux cas.
Réponse
SinÊ1, alors,n!=1×2×3× · · · ×n. Par convention, on pose 0!=1.
15. Soit (n,k)∈N2. Donner la définition de Ãn
k
!
.Il y a deux cas.
Réponse
SikÉn, alors Ãn
k
!
= n!
k!×(n−k)!. Sik>n, alors Ãn
k
!
=0.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
