Exercice 138.
1. Y = 1 200 – X.
2. a. P(X > 920) ≈ 0,091.
b. P(Y > 315) = P(X < 885) ≈ 0,159.
c. Les événements « X > 920 » et « Y < 315 » sont incompatibles donc p ≈ 0,250.
3. Pour que tous les usagers soient satisfaits, on doit avoir X ≤ 900 + n et Y ≤ 300 + n
soit 1 200 – X ≤ 300 + n, c’est-à-dire 900 – n ≤ X. Il faut donc avoir 900 – n ≤ X ≤ 900 + n.
On cherche donc n pour que :
P(900 – n ≤ X ≤ 900 + n) ≥ 0,995 qui équivaut à P (− n
15 ≤ X−900 σ ≤ n
15 ) ≥ 0,995 2 P ( X−900
σ ≤ n
15 ) - 1 ≥ 0,9975 On en déduit n
15 ≥ 2,8070 soit n ≥ 42,105.
La valeur minimale de n est donc 43.
Exercice 13 9 . Partie A 1. lim
x→+∞g(x) = 0.
2. Pour tout réel x ∈ [1 ; + ∞ [ : g’(x) = 100(exp(–2,72)−1) 17(x+1)(x+exp(−2,72)) . g’ est strictement négative sur [1 ; + ∞ [.
x 1 + ∞
g '(x) –
g(x) g(1)
0 g(1) ≈ 3,70.
Partie B
1. P(X > 16) = 1
15 e⇔ –16λ = 1
15 d’où λ = ln 15
16 ≈ 0,169.
2. a. P(X ≤ R) = 1 – e– 0,17R. b. P(R ≤ X ≤ 16) = e– 0,17R – e– 2,72.
c. P(R ≤ X ≤ 16) = nP(X ≤ R) e⇔ – 0,17R – e– 2,72 = n(1 – e– 0,17R) e⇔ 0,17R = n+1 n+e−2,72 . On doit donc avoir R = 100
17 ln( n+1
n+exp(−2,72)), c’est-à-dire R = g(n).
3. La fonction g est strictement décroissante sur [1 ; + ∞ [.
Grâce à la calculatrice, on trouve g(10) ≈ 0,522 et g(11) ≈ 0,477. On en déduit que R > 0,5 1 ⇔ ≤ n ≤ 10.
4. P(R ≤ X ≤ 16) = 4P(X ≤ R) ⇔R = g(4). On en déduit R ≈ 1,2 cm.
5. On prend R = 1,2 cm.
a. La probabilité d’atteindre la zone rouge est P(X ≤ 1,2) ≈ 0,1845.
b. La probabilité d’atteindre la zone bleue est P(1,2 ≤ X ≤ 16) ≈ 0,7496.
c. La probabilité d’atteindre la zone rouge sachant que la cible a été atteinte est P X ≤ 16 (X ≤ 1,2) = P(X≤1,2)
P(X≤16) ≈ 0,1977.
Partie C
On a toujours R = 1,2 cm.
1. Y suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = P(X ≤ R), p ≈ 0,1845.
2. P(Y ≥ 3) = 1 – P(Y ≤ 2) ≈ 0,0467.
Le joueur a moins de 5 % de chance d’atteindre au moins 3 fois la zone rouge.
Exercice 1 41 . Partie A 1. PS (A) = x
20 et PS (B) = 20− x
20 = 1 – x 20 . P(A) = P(S) × PS (A) = x
20 × p = px 20 . P(B) = P(S) × PS (B) = ( 1 – x
20 ) p.
2. px = PA (S) = P(S∩A)
P(A) = P(B) P(A)
(1− x 20)p 1− px
20
= (20− x)p 20− px . Partie B
1. X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,2.
2. a. T = T0 + 10X.
b. La durée moyenne en minutes du parcours d’un candidat est E (T) = E (T0 + 10X) = E (T0) + 10E (X) E (T) = 150 + 10 × 20 × 0,2 = 150 + 40 = 190.
La durée moyenne du parcours d’un candidat est de 190 minutes soit 3 heures et 10 minutes.
3. a. P(T < 180) =
∑
k=0 20
P((X = k) ∩ (T < 180)) car les événements {X = k} pour 0 ≤ k ≤ 20 sont deux à deux incompatibles et ont pour réunion l’événement certain {0 ≤ X ≤ 20} .
On en déduit que P(T < 180) =
∑
k=0 20
PX = k(T < 180) P(X = k).
b. Pour tout entier k compris entre 0 et 20 :
PX = k(T < 180) =PX = k(T0 + 10X < 180) d’où : PX = k(T < 180) = PX = k (T0 + 10 k < 180).
On en déduit que P(T < 180) =
∑
k=0 20
PX = k(T < 180 – 10 k) P(X = k).
c.
Pour programmer l’algorithme sur la calculatrice, on remarquera que pour tout entier k compris entre 0 et 20 :
P(T0 < 180 – 10k) ≈ P(0 < T0 < 180 – 10k).
L’algorithme donne en sortie P(T < 180) ≈ 0,360.
