Systèmes de coordonnées du plan et de l'espace

Systèmes de coordonnées du plan et de l'espace

I- Systèmes de coordonnées dans le plan I-1 Coordonnées cartésiennes

I-1-a) Définition

Un point M quelconque du plan peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y) dans la base orthonormée u u r r

,

.

y + dy M'

O r u

u r

y M

x d

S

x + dx

On peut alors écrire :

OM r = x u . r

+ y u . r

avec ( , ) x y ∈ℜ

I-1-b) Déplacement infinitésimal

On envisage le déplacement infinitésimal du point M(x,y) au point M'(x+dx, y+dy). Le déplacement r ' peut alors s'écrire :

MM

M dO u . dy u . dx ' M

M r r

r

r

= +

=

I-1-c) Elément de surface infinitésimal

On considère la surface infinitésimale engendrée par le déplacement du point M précédemment décrit. L'aire de cette surface est donnée par:

d

S = dx.dy I-2 Coordonnées polaires

I-2-a) Définition

M'

O r u

u r

M

r θ

d

S dr

dθ

u r

u r

On peut alors écrire :

OM r = r u . r

avec r≥0 et 0 ≤ θ ≤ 2π

Un point M quelconque du plan peut être repéré par ses coordonnées polaires (r,θ) dans la base orthonormée u u ^{r r}

,

.

I-2-b) Déplacement infinitésimal

On envisage le déplacement infinitésimal du point M(r,θ) au point M'(r+dr, θ+dθ). Le déplacement r ' peut alors s'écrire :

MM

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MM r dr u r

r d u r dOM r ' = . + . θ .

= I-2-c) Elément de surface infinitésimal

On considère la surface infinitésimale engendrée par le déplacement du point M précédemment décrit. L'aire de cette surface est donnée par:

d

S = dr.r.dθ

II- Systèmes de coordonnées dans l'espace II-1 Coordonnées cartésiennes

II-1-a) Définition

Un point M quelconque de l'espace peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y et z dans la base associée au repère cartésien (O, r u

, u r

, u r

).

On peut alors écrire : OM r = x u . r

+ y u . r

+ z u . r

Avec (x,y,z) ∈ℜ

u r

^O u r

r u

^M

y z

y + dy z + dz

d

τ M'

x

d

S

x + dx

II-1-b) Déplacement infinitésimal

On envisage le déplacement infinitésimal du point M(x,y,z) au point M'(x+dx, y+dy, z + dz). Le déplacement MM r

' peut alors s'écrire :

MM r dx u r

dy u r

dz u r

dOM r ' = . + . + . =

II-1-c) Elément de volume infinitésimal

On considère le volume infinitésimal d

τ engendré par le déplacement du point M précédemment décrit. Ce volume est donné par:

d

τ = dx.dy.dz II-1-d) Elément de surface infinitésimal

Fixant l’une des coordonnée, le point M se déplace dans une surface élémentaire d’aire : d

S

= dy.dz si l’on fixe l’abscisse x ;

d

S

= dx.dz si l’on fixe l’ordonnée y;

d

S

= dx.dy si l’on fixe la côte z

On peut alors écrire : OM r = r u . r

+ z u . r

avec r≥0; 0 ≤ θ ≤ 2π et z ∈ℜ .

II-2-b) Déplacement infinitésimal

On envisage le déplacement infinitésimal du point M(r,θ,z) au point M'(r+dr, θ+dθ, z+dz). Le déplacement MM r

' peut alors s'écrire :

MM r dr u r

r d u r dz u r

dOM r ' = . + . θ .

+ . = II-2-c) Elément de volume infinitésimal

On considère le volume infinitésimal d

τ engendré par le déplacement du point M précédemment décrit. Ce volume est donné par:

d

τ = dr.r.dθ.dz II-2-d) Elément de surface infinitésimal

Fixant l’une des coordonnée, le point M se déplace dans une surface élémentaire d’aire : d

S

= rdθ.dz si l’on fixe le rayon r ;

d

S

= dr.dz si l’on fixe l’angle θ;

d

S

= dr. rdθ si l’on fixe la côte z

II-3 Coordonnées sphèriques II-3-a) Définition

Un point M de l’espace peut être repéré par ses coordonnées sphèriques r, θ et ϕ dans la base associée au repère sphérique (O, r u

, u ^r

, r u

).

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On peut alors écrire : OM r = r u . r

avec r≥0 ; 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

u r

u r

u r

θ r

O m

z M

Le domaine de variation de l’angle θ peut surprendre. En fait, faire varier θ sur un intervalle de longueur 2π reviendrait à parcourir 2 fois l’espace.

Le système de coordonnées sphériques s’inspire de la localisation géographique d’un point à la surface de la terre. L’angle ϕ représente l’angle de longitude tandis que l’angle θ représente le complémentaire de l’angle de latitude.

Dans le plan OMm

II-3-b) Déplacement infinitésimal

On envisage le déplacement infinitésimal du point M(r,θ,z) au point M'(r+dr, θ+dθ, ϕ+dϕ). Le déplacement MM r

' peut alors s'écrire :

M dO u . d ).

sin(

. r u . d . r u . dr ' M

M r r

r r r

= ϕ θ +

θ +

=

II-3-c) Elément de volume infinitésimal

On considère le volume infinitésimal d

τ engendré par le déplacement du point M précédemment décrit. Ce volume est donné par:

d

τ = dr.r.dθ.r.sin(θ).dϕ

II-3-d) Elément de surface infinitésimal

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