Exercice 1. (Surjectivit´ e de l’exponentielle)

(1)

L3 – Alg` ebre 2 2013–2014 : TD 9

Exponentielle de matrices, groupes de Lie

Exercice 1. (Surjectivit´ e de l’exponentielle)

On rappelle la forme canonique de Jordan : toute matrice de M

_n

(C) est semblable ` a une matrice diagonale par blocs, dont les blocs sont de la forme

J

_r

(a) =







a 1 0 . . . 0 0 . .. ... ... ...

.. . . .. ... ... 0 .. . . .. ... 1 0 . . . . . . 0 a







∈ M

_r

(C).

1. Montrer que si a 6= 0, J

_r

(a) est dans l’image de exp : M

_n

(C) → GL

_n

(C).

2. Montrer que exp : M

_n

(C) → GL

_n

(C) est surjective, mais pas injective. En d´ eduire que X 7→ X

²

est surjective sur GL

n

(C).

Exercice 2. (Non-surjectivit´ e de l’exponentielle) 1. Montrer que J

2

(−1) =

−1 1 0 −1

n’est pas le carr´ e d’une matrice de M

2

(R).

2. Montrer que J

₂

(−1) n’est pas l’exponentielle d’une matrice de M

₂

(R).

Exercice 3. (Exponentielle et matrices sym´ etriques)

Soit n un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 1. On note Sym

_n

(R) l’ensemble des matrices sym´ etriques r´ eelles de taille n, et SDP

n

(R) l’ensemble des matrices sym´ etriques d´ efinies positives.

1. Montrer que l’exponentielle induit une bijection continue entre Sym

_n

(R) et SDP

n

(R).

2. Montrer que l’exponentielle induit un hom´ eomorphisme entre Sym

_n

(R) et SDP

_n

(R).

3. ´ Enoncer et prouver un r´ esultat analogue pour les matrices complexes hermitiennes.

Exercice 4. (Sous-groupes arbitrairement petits)

Un groupe topologique est un espace topologique G muni d’une structure de groupe pour laquelle la multiplication µ : G × G → G et l’inversion inv : G → G sont continues. On dit qu’un groupe G admet des sous-groupes arbitrairement petits si tout voisinage de l’´ el´ ement neutre de G contient un sous-groupe non trivial.

1. Donner un exemple de groupe topologique s´ epar´ e admettant des sous-groupes arbitrairement petits.

2. Rappeler pourquoi GL

_n

(C) n’admet pas de sous-groupes arbitrairement petits.

Exercice 5. Soit A ∈ M

_n

(C).

1. D´ eterminer la d´ ecomposition de Dunford de exp(A) en fonction de celle de A.

2. D´ eterminer les matrices A ∈ M

_n

(C) telles que exp(A) = I

_n

.

(2)

Exercice 6. (Sous-groupe compact maximal)

Montrer que O

_n

(resp. U

_n

) est un sous-groupe compact maximal de GL

_n

(R) (resp. GL

_n

(C)).

Exercice 7. (Groupes de Lie ab´ eliens)

Soit G ⊂ GL

n

(R) un groupe ferm´ e, ab´ elien et connexe. On note g son alg` ebre de Lie.

1. D´ emontrer ∀X, Y ∈ g, [X, Y ] = 0 (on dit que l’alg` ebre de Lie g est ab´ elienne ).

2. Montrer que exp : g → G est un morphisme de groupes.

3. En d´ eduire que exp est surjective (on pourra montrer que dans un groupe topologique connexe, tout ouvert non vide est une partie g´ en´ eratrice).

4. Soit Γ ⊂ R

ⁿ

un sous-groupe discret. Montrer qu’il existe un isomorphisme lin´ eaire ϕ : R

ⁿ

→ R

ⁿ

et k ≤ n tel que

ϕ[Γ] = n

(n

₁

, . . . , n

_k

, 0, . . . , 0)

(n

₁

, . . . , n

_k

) ∈ Z

^k

o .

5. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que G est isomorphe ` a (S

¹

)

^k

× R

^n−k

.

Exercice 8. On note S

¹

le sous-groupe {z ∈ C | |z| = 1} ⊂ C

^×

.

1. D´ eterminer les morphismes continus de S

¹

dans S

¹

.

2. D´ eterminer les morphismes continus de S

¹

dans GL

_n

(C).