L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

A L

E S

E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Jean-Christophe SAN SATURNINO

Théorème de Kaplansky effectif pour des valuations de rang 1 centrées sur des anneaux locaux réguliers et complets

Tome 64, n^o3 (2014), p. 1177-1202.

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Article mis en ligne dans le cadre du

THÉORÈME DE KAPLANSKY EFFECTIF POUR DES VALUATIONS DE RANG 1 CENTRÉES SUR DES ANNEAUX LOCAUX RÉGULIERS ET COMPLETS

par Jean-Christophe SAN SATURNINO

Résumé. — On montre que tout anneau local régulier complet muni d’une valuation de rang 1 peut être plongé, en tant qu’anneau valué, dans un anneau de séries de Puiseux généralisées.

Abstract. — We prove that any complete regular local ring with a valuation of rank 1 can be embedded, as a valued ring, in a ring of generalized Puiseux expansions.

Introduction

On sait, depuis Newton et Puiseux que, pour un corps k de caractéris- tique 0 et algébriquement clos, alors k(t) peut être plongé dans le corps

S

i>1

k t^1/i

des séries de Puiseuxqui est algébriquement clos. De plus, si kest muni de la valuation triviale etk(t) de la valuationt-adique, on peut alors munir le corps des séries de Puiseux d’une valuation de telle sorte que la restriction àk(t) soit la valuationt-adique : c’est un exemple d’extension maximalement complète(voir [6] et [8]).

Krull [6] montra, à l’aide du Lemme de Zorn, que tout corps muni d’une valuation possède une extension maximale et que tout corps de séries de Puiseux, muni de sa valuation naturelle, est maximale. L’existence et l’uni- cité de cette extension maximale fut posée par Kaplansky [4] qui la dé- montra en caractéristique nulle ainsi que sa non-unicité en caractéristique

Mots-clés :séries de Puiseux, polynômes-clés, valuations.

Classification math. :13F25, 13F30, 13J05, 13K05.

positive. De plus, Poonen [8] a montré que si le groupe des valeurs de la va- luation est divisible et si le corps est algébriquement clos, alors l’extension maximalement complète est algébriquement close.

La question qui vient alors naturellement est : quelle est la forme de cette extension ? En caractéristique positive, on sait qu’elle n’est pas de la forme S

i>1

k t^1/i

puisque l’équation d’Artin-Schreier n’y possède aucune solution (voir [1], [2]). Il est alors naturel de considérer des anneaux de séries généralisées où les puissances det varient sur un ensemble bien ordonné.

De tels anneaux sont appelés desanneaux de Mal’cev-Neumannintroduits en premier par Hahn en 1908, puis étudiés par Krull en 1932 (voir [6]).

En 1942, Kaplansky [4] montre que tout corps muni d’une valuation ayant un groupe des valeurs divisible et un corps résiduel algébriquement clos se plonge dans une extension maximalement close. Remarquons que deux cas se présentent : ou bien la restriction àQouFpest la valuation triviale (cas équicaractéristique), ou bien la restriction à Q est la valuation p-adique (cas mixte). Il a également montré que dans le cas équicaractéristique, l’extension maximale est un anneau de Mal’cev-Neumann.

En 1993, Poonen [8] décrit explicitement les extensions dans les deux cas.

Si (k, ν) est un corps valué de groupe des valeurs Γ divisible et de corps résiduel kν algébriquement clos, alors il existe des plongements dans des anneaux de Mal’cev-Neumann maximalement complets :

(1) k ,→kν t^Γ

(cas équicaractéristique) ; (2) k ,→ W(kν) p^Γ

, oùW(kν) est l’anneau des vecteurs de Witt de kν (cas mixte).

Dans tous les cas, les preuves ne construisent pas explicitement le plonge- ment.

Depuis quelques années, la théorie des valuations reprend une place im- portante dans la résolution des singularités et notamment dans l’uniformi- sation locale des schémas quasi-excellents, voir par exemple [9]. Les ques- tions d’avoir un Théorème de Kaplansky et de connaître explicitement le plongement se posent alors naturellement, on connaît l’intérêt d’avoir une paramétrisation de Puiseux pour l’uniformisation locale des courbes sur un corps de caractéristique 0.

Dans cet article, on se propose donc de décrire de manière explicite un plongement d’un anneau local régulier et complet muni d’une valuation de rang 1 à l’aide des polynômes-clés définis dans [3] et [7], résultat qui généralise ceux de Kaplansky et Poonen.

Dans la première et la deuxième partie, nous définissons les anneaux de Mal’cev-Neumann en suivant [5] et [8] et nous en construisons deux explicitement.

Dans la troisième partie, nous proposons quelques rappels sur les po- lynômes-clés définis pour des valuations de rang 1. Cet outil est essentiel car il permet de connaître la valuation seulement par la connaissance de la collection bien ordonnée des polynômes-clés, collection qui existe d’après [3] et [9].

Dans la quatrième partie, nous énonçons et démontrons de manière ef- fective le Théorème de plongement de Kaplansky pour des anneaux locaux, réguliers, complets munis d’une valuation de rang 1.

Dans la dernière partie, nous démontrons des résultats de dépendance intégrale valables en caractéristique mixte qui sont à rapprocher de ceux de Spivakovsky [9] dans le cadre de l’uniformisation locale des schémas quasi-excellents.

Je tiens à remercier M. Spivakovsky pour son aide précieuse, ses conseils avisés et la liberté qu’il me permet d’avoir dans mes recherches.

Notations. — Soit (R,m, k) un anneau local, régulier, complet et de dimensionn+ 1. On note :

p=

1 si car(k) = 0

car(k) si car(k)>0.

Si R est de caractéristique mixte, on suppose de plus que p /∈m². Par le théorème de Cohen, on peut supposer que :

R=

k[[u1, . . . , un+1]] si car(R) = car(k) W[[u₁, . . . , u_n]] si car(R)6= car(k)

oùW est un anneau complet de valuation discrète de paramètre régulierp et de corps résiduelk. On note :

K0=

k si car(R) = car(k) Frac(W) si car(R)6= car(k) K_j =

k((u1, . . . , uj+1)) si car(R) = car(k) W((u₁, . . . , u_j)) si car(R)6= car(k) (on notera parfoisK=Kn).

Soitνune valuation deK, centrée enR, de groupe des valeurs Γ, telle que ν_|Kn−1 soit de rang 1. On écrit (Rν, mν, kν) son anneau de valuation et on suppose quekν est algébrique surk. On note, Γ1 le plus petit sous-groupe isolé non-nul de Γ et :

Γ_Q= Γ⊗_ZQ;

Γ⁰ =[

i>1

1 pⁱΓ.

Posonsrle plus petitjtel que lesν(ui₁), . . . , ν(ui_j) soientZ-linéairements indépendants siR est équicaractéristique, ou bien le plus petit j tel que lesν(p), ν(ui₁), . . . , ν(ui_j) soientZ-linéairements indépendants si Rest de caractéristique mixte.

On supposera alors, quitte à renuméroter les variables, que :

— ν(u1),. . .,ν(ur) sontZ-linéairements indépendantes etν(ur+1),. . .,ν(un+1) sontQ-combinaisons linéaires deν(u1), . . . , ν(ur) siRest équicarac- téristique ;

— ν(p), ν(u₁), . . . , ν(u_r) sontZ-linéairements indépendantes etν(u_r+1), . . . , ν(un) sont Q-combinaisons linéaires de ν(p), ν(u1), . . . , ν(ur) si Rest de caractéristique mixte.

On note ν0 la valuation monômiale de R associée à m (voir [9], Défini- tion 3.10), c’est-à-dire, si f = P

α

aαu^α ∈ R où α est un multi-indice, a_α ∈ k (resp. a_α ∈ W) u^α = u^α₁¹. . . u^α_n+1ⁿ⁺¹ (resp. u^α = u^α₁¹. . . u^α_nⁿ) et m= (u1, . . . , un+1) (resp.m= (p, u1, . . . , un)), alors :

ν0(f) = min (_n+1

X

i=1

αiν(ui)|aα6= 0 )

resp.ν₀(f) = min (

α₀ν(p) +

n

X

i=1

α_iν(u_i)|aα6= 0 )!

.

Enfin, siAest un anneau, P, Q ∈A[X] tels que P =

n

P

i=0

aiQⁱ, ai ∈A[X] tels que le degré deai est strictement inférieur à celui deQ, on note :

d^◦_Q(P) =n.

SiQ=X, on notera plus simplement d^◦(P) au lieu ded^◦_X(P).

Supposons de plus queA est intègre, considéronsw une valuation deA etγ∈w(A\ {0}), on note :

P_γ⁰ ={f ∈A|w(f)>γ} ∪ {0}; P_γ,+⁰ ={f ∈A|w(f)> γ} ∪ {0};

gr_w(A) = M

γ∈w(A\{0})

P_γ⁰/P_γ,+⁰ ; etinw(f) l’image def ∈Adans gr_w(A).

1. Anneaux des séries généralisées

On va définir des anneaux de séries généralisées (également appelés an- neaux de Mal’cev-Neumann) en suivant les constructions données par [5]

et [8].

Définition 1.1. — SoientAun anneau intègre etGun groupe abélien ordonné. On appelle anneau des séries formelles généralisées, noté A

t^G

, l’anneau où les éléments sont de la forme P

γ∈G₊

a_γt^γ, avec les aγ ∈A tels que l’ensemble{γ|aγ 6= 0}soit bien ordonné.

SiAest un anneau intègre local de caractéristique mixte dont le corps ré- siduel est de caractéristiquepet d’idéal maximal engendré parp, on appelle anneau des p-séries formelles généralisées, notéA

p^G

, l’anneau A

t^G

/N oùN est l’idéal de A t^G

formé par les f = P

γ∈G₊

a_γt^γ tels que P

n∈Z

an+γpⁿ= 0, pour toutγ∈G.

Remarque 1.2. — L’anneauA t^G

(resp. l’anneauA p^G

) est muni de la valuation t-adique (resp. valuation p-adique) v, à valeurs dans G, définie par :

v(f) = inf{γ|aγ6= 0},∀f = X

γ∈G+

a_γt^γ ∈A t^G

resp.∀f = X

γ∈G+

aγp^γ ∈A p^G

.

Définition 1.3. — Un anneau de séries formelles généralisées (resp.

dep-séries formelles généralisées) muni de sa valuation t-adique (resp. p- adique) sera appelé unanneau de Mal’cev-Neumann.

Sa valuation t-adique (resp. p-adique) associée sera appelée valuation de Mal’cev-Neumann.

Définition 1.4. — Soientf= P

γ∈G+

a_γt^γ∈A t^G

(resp. f= P

γ∈G+

a_γp^γ∈ A

p^G

) etβ ∈G+, on appelletroncature ouverte de f enβ la série généraliséef(β) = P

γ<β

a_γt^γ (resp. f(β) = P

γ<β

a_γp^γ) et troncature fer- mée de f enβla série généraliséef[β] = P

γ6β

aγt^γ (resp.f[β] = P

γ6β

aγp^γ).

Pourβ, β⁰∈G+,β < β⁰, on notef[β, β⁰[=f(β⁰)−f(β).

2. Construction de l’anneau de Mal’cev-Neumann Soient (R,m, k) un anneau local complet régulier de dimensionn+ 1 etν une valuation deK= Frac(R), centrée enR, de groupe des valeurs Γ. On va construire un anneau de Mal’cev-NeumannAR dans lequel plongerR.

Si R est équicaractéristique, on prend A_R = k_ν t^Γ0

, où k_ν est une clôture algébrique dekν.

SiRest de caractéristique mixte, on va construire, par récurrence trans- finie, un anneau local (W , pW , kν) qui soit une extension deW. Dans ce cas, on poseA_R=W

p^Γ0 .

Soit k_ν une clôture algébrique de k_ν, on peut la voir comme limite in- ductive d’extensions algébriques simples dekpuisquekν est algébrique sur k. Plus précisément,kν=k({αi}_i∈I) oùI est un ensemble bien ordonné et lesαi des éléments algébriques sur k, i∈I. Le système inductif est alors donné par les inclusions provenant de l’ordre total de I. Supposons que i∈I possède un prédécesseur immédiat, on est alors emmené à considérer une extension de la forme :

κ ,→κ(α)

où, par hypothèse de récurrence,α est algébrique sur κ et κ est le corps résiduel d’un anneau local (A, m_A). Soit Qle polynôme minimal unitaire deα et P un relevé unitaire dans A. On pose alors A⁰ =A[α]/(P(α)) et on a un morphisme d’inclusion :

A ,→A⁰

Lemme 2.1. — A⁰est un anneau local d’idéal maximalm_AA⁰et de corps résiduelκ(α).

Démonstration. — L’idéal m_AA⁰ est maximal dans A⁰ car A⁰/m_AA⁰ ' κ(α). Soit M un autre idéal maximal de A⁰, alors M ∩A = mA. Pour montrer ceci, il suffit de remarquer que A/(M ∩A) est un corps. Soit a∈ A/(M ∩A),a 6= 0, l’extension entière A ,→ A⁰ induit une extension d’anneaux intègres entièreA/(M ∩A),→ A⁰/M, ainsi a∈ A⁰/M qui est un corps et donca⁻¹∈A⁰/M. Il existe alors des éléments a₀, . . . , a_m−1 ∈ A/(M ∩A) etm >1 tels quea^−m+a_m−1a^−m+1+. . .+a0 = 0 et donc a⁻¹ = −(a_m−1+. . .+a₀a^m−1) ∈ A/(M ∩A). On remarque enfin que mAA⁰= (M∩A)A⁰ ⊂M et doncA⁰ est un anneau local.

Si iest un ordinal limite, notons κl =k({αj}_j6l), pour tout l 6i. On suppose, par hypothèse de récurrence, que l’on a construit les anneaux locaux A_l dont les corps résiduels respectifs sont κ_l pour tout l < i. On pose alorsAi= S

l<i

Al, c’est un anneau local de corps résiduelκi. On a donc

créé un système inductif d’anneaux locaux, on noteW la limite inductive, c’est un anneau local d’idéal maximal pW, de corps résiduel kν et on a W ,→W.

Remarque 2.2. — On a un résultat similaire si kν est une extension transcendante de k. En effet, si deg.tr(k_ν|k) = l alors il existe t₁, . . . , t_l transcendants tels quekν=k(t1, . . . , tl). On poseW⁰ =W[t1, . . . , tl] et on considère l’anneau localW_pW⁰ 0, son corps résiduel est k_ν et,W ,→W_pW⁰ 0.

Remarque 2.3. — Remarquons que W est intégralement clos dansK0, de plus on a :

W $W p^Q

,→W p^ΓQ

. Ce dernier morphisme est induit par :

Q,→Γ_Q 17→ν(p).

On peut résumer cette section par la proposition suivante : Proposition 2.4. — Les anneaux kν

t^Γ0

et W p^Γ0

sont des an- neaux de Mal’cev-Neumann au sens de la définition 1.3.

3. Rappels sur les polynômes-clés

On va faire quelques rappels sur les polynômes-clés introduits dans [3] et [9] pour des valuations de rang 1. Pour une présentation plus axiomatique des polynômes-clés, on pourra regarder la présentation faite par M. Vaquié [10], [11], [12], [13], [14]. Un lien entre les deux constructions des polynô- mes-clés est faite dans les travaux de W. Mahboub [7].

SoitK ,→K(x) une extension de corps simple et transcendante. Soitµ⁰ une valuation deK(x), notons µ:=µ⁰_|K. On noteGle groupe des valeurs de µ⁰ et G₁ celui de µ. On suppose de plus que µ est de rang 1 et que µ⁰(x)>0. Enfin, rappelons que pourβ∈G, on note :

P_β⁰ ={f ∈K(x)|µ⁰(f)>β} ∪ {0} ; P_β,+⁰ ={f ∈K(x)|µ⁰(f)> β} ∪ {0};

gr_µ0(K(x)) =M

β∈G

P_β⁰/P_β,+⁰ ; etinµ⁰(f) l’image def ∈K(x) dans gr_µ0(K(x)).

Définition 3.1. — Unensemble complet de polynômes-cléspour µ⁰ est une collection bien ordonnée :

Q={Qi}_i∈Λ⊂K[x] ;

telle que, pour toutβ∈G, le groupe additifP_β⁰∩K[x]soit engendré par des produits de la formea

s

Q

j=1

Q^γ_i^j

j,a∈K, tels que

s

P

j=1

γjµ⁰ Qi_j

+µ(a)>β.

Théorème 3.2 ([3], Théorème 62). — Il existe une collection Q = {Qi}i∈Λqui soit un ensemble complet de polynômes-clés.

Remarque 3.3. — La preuve consiste à construire par récurrence trans- finie l’ensemble de polynômes-clés de type d’ordre au plusω×ω.

Définition 3.4. — Soit l ∈ Λ, un indice i < l est ditl-essentiel s’il existen∈Ntel quei+n=l oui+n < l et d^◦_Qi+n−1(Qi+n)>1. Dans le cas contraire, on dit queiest l-inessentiel.

Soitl∈Λ, on note :

αi=d^◦_Qi−1(Qi),∀i6l ; αl+1={αi}i6l ; Q_l+1={Qi}i6l.

On utilise également la notation γ_l+1 = {γ_i}_i6l où les γ_i sont tous nuls sauf pour un nombre fini d’entres eux,Q^γ_l+1^l+1=Q

i6l

Q^γ_iⁱ. Pour i < l, on note :

i₊=

i+ 1 siiest l-essentiel i+ω sinon.

Définition 3.5. — Un multi-indice γ_l+1 est dit standard par rap- port àαl+1 si06γi < αi₊, pour i6let si iestl-inessentiel, l’ensemble {j < i₊|j₊=i₊, γj6= 0} est de cardinal au plus1.

Unmonôme l-standard enQl+1est un produit de la formecγ_l+1Q^γ_l+1^l+1, oùcγ_l+1 ∈K etγ_l+1 est standard par rapport àαl+1.

Undéveloppement l-standard n’impliquant pasQ_l est une somme finieP

β

Sβ de monômesl-standards n’impliquant pasQl oùβ appartient à un sous-ensemble fini de G+ et Sβ =P

j

dβ,j est une somme de monômes standards de valuationβ vérifiantP

j

inµ⁰(dβ,j)6= 0.

Définition 3.6. — Soient f ∈ K[x] et i 6 l, un développement i- standard de fest une expression de la forme :

f =

s_i

X

j=0

c_j,iQ^j_i,

oùc_j,iest un développementi-standard n’impliquant pasQ_i.

Remarque 3.7. — Un tel développement existe, par division Euclidienne et est unique dans le sens où lescj,i∈K[x] sont uniques.

Définition 3.8. — Soient f ∈ K[x], i 6l et f =

si

P

j=0

cj,iQ^j_i un déve- loppement i-standard de f. On définit la i-troncature de µ⁰, notée µ⁰_i, comme étant la pseudo-valuation :

µ⁰_i(f) = min

06j6s_i{jµ⁰(Q_i) +µ⁰(c_j,i)}.

Remarque 3.9. — On peut montrer que c’est en fait une valuation. On a de plus :

∀f ∈K[x], i∈Λ, µ⁰_i(f)6µ⁰(f).

On termine en donnant la proposition 10.1 (Corollaire 50 de [3]) et le Corollaire 10.15 de [9] que nous utiliserons dans les preuves des proposi- tions 5.1 et 5.8.

Proposition 3.10. — ∀f ∈K[x],∀b∈N, µ⁰_i(f)−µ⁰_i ∂_pbf

6 p^b

p^bi µ⁰(Q_i)−µ⁰(∂_pbiQ_i) ,

où∂_pb= 1 p^b!

∂^pb

∂x^pb etb_ile plus petitc∈N^∗qui maximiseµ⁰(Qi)−µ⁰(∂p^cQi)

p^c .

De plus, il existe b(i, f) ∈ N^∗ calculé en fonction du développement i- standard def, tel que :

µ⁰_i(f)−µ⁰_i ∂_pb(i,f)f

= p^b(i,f)

p^bi µ⁰(Q_i)−µ⁰(∂_pbiQ_i) .

Proposition 3.11. — Soitf =

s_i

P

j=0

c_j,iQ^j_i le développementi-standard def ∈K[x], on pose :

S_i={j∈ {0, . . . , s_i}|jµ⁰(Q_i) +µ⁰(c_j,i) =µ⁰_i(f)}.

Soit j ∈ Si, écrivons j sous la forme j = p^eu, où p ne divise pas u si car(K_µ) =p >0.

Supposons que p^e+1 divisej⁰, pour toutj⁰∈Si tels quej⁰< j.(∗)

Alors :

µ⁰_i(f) = min

06j6s_i{µ⁰_i(∂_jbif) +j(µ⁰(Q_i)−µ⁰(∂_biQ_i))}

et le minimum est atteint pour tous les j ∈ Si vérifiant la condition de divisibilité(∗)précédente.

On va utiliser les polynômes-clés dans le cadre des anneaux locaux régu- liers, ils interviennent de manière fondamentale dans la démonstration du théorème 4.1.

Polynômes-clés dans une tour d’extensions de corps.Pourj∈ {r+ 1, . . . , n}, on note{Qj,i}_i∈Λj l’ensemble des polynômes-clés de l’extension K_j−1,→K_j−1(uj),Q_j,i={Qj,i⁰|i⁰∈Λj, i⁰< i}, Γ^(j) le groupe des valeurs deν_|Kj etν_j,ilai-troncature deνpour cette extension. Soientβ_j,i=ν(Q_j,i) et bj,i le plus petit élément b de N qui maximise βj,i−ν(∂_j,pbQj,i)

p^b , où

∂_j,s= 1 s!

∂^s

∂u^s_j,s∈N. Soitε_j,i=β_j,i−ν(∂_j,pbj,iQ_j,i) p^bj,i , on a :

Lemme 3.12([9], Lemme 10.4). — La suite(εj,i)iest strictement crois- sante.

Démonstration. — Nous reprenons la preuve du lemme 10.4 de [9].

Fixons j ∈ {r+ 1, . . . , n} et considérons i1, i2 ∈ Λj deux ordinaux. Il faut montrer que :

β_j,i1−ν(∂_j,pbj,i1Q_j,i1) p^bj,i1 <

β_j,i2−ν(∂_j,pbj,i2Q_j,i2) p^bj,i2 .

On peut supposer quei2 =i1+ (c’est-à-dire i2 = i1+ 1 ou i2 = i1+ω), on conclut dans le cas général par récurrence transfinie suri₂−i₁. Par la proposition 3.10, il existeb(i1, Qj,i₂) calculé en fonction du développement (j, i₁)-standard deQj,i₂, tel que :

νj,i₁(Qj,i₂)−νj,i₁

∂_pb(i1,Qj,i2)Qj,i₂

=p^b(i1,Qj,i2) p^bi1

ν(Qj,i₁)−ν(∂_pbi1Qj,i₁) . Vu qued^◦ ∂

p^b(i1,Qj,i2)Q_j,i2

< d^◦ Q_j,i2

, on montre facilement que : νj,i₁

∂_pb(i1,Qj,i2)Qj,i₂

=ν

∂_pb(i1,Qj,i2)Qj,i₂

. Par définition du développement (j, i1)-standard, on a :

βj,i₂ > αj,i₂βj,i₁ =νj,i₁(Qj,i₂).

Ainsi, par définition deε_j,i2 : ε_j,i1=

νj,i₁(Qj,i₂)−νj,i₁

∂_pb(i1,Qj,i2)Qj,i₂

p^b(i1,Qj,i2)

=

α_j,i2β_j,i1−ν

∂p^b(i1,Qj,i2)Q_j,i2 p^b(i1,Qj,i2)

<

βj,i₂−ν

∂_pb(i1,Qj,i2)Qj,i₂

p^b(i1,Qj,i2) 6ε_j,i2.

On en conclut que la suite (ε_j,i)_i est strictement croissante, pour tout

j∈ {r+ 1, . . . , n}.

4. Le théorème de plongement de Kaplansky

Dans cette section, on suppose que (R,m, k) est un anneau local complet régulier de dimensionn+ 1. SiRest de caractéristique mixte, on suppose de plus quep /∈ m². Notons ν une valuation deK = Frac(R), centrée en R, de groupe des valeurs Γ et telle queν_|Kn−1 soit de rang 1.

Théorème 4.1. — Il existe un anneau de Mal’cev-NeumannA_R et un monomorphisme d’anneaux

ι:R ,→AR

tel queνsoit la restriction àRde la valuation de Mal’cev-Neumann associée àA_R.

Pourf ∈R, on appelleι(f)undéveloppement de Puiseux def par rapport àν.

Remarque 4.2. — A_R=





 kν

hh t^Γ0ii

si car(R) = car(k) Whh

p^Γ0ii

si car(R)6= car(k).

Remarque 4.3. — On sait que : R=

k[[u₁, . . . , u_n+1]] si car(R) = car(k) W[[u1, . . . , un]] si car(R)6= car(k).

La preuve consiste donc à définir, par récurrence transfinie, le développe- ment de Puiseux deu₁, . . . ,u_n+1(resp.p, u₁, . . . ,u_n) à l’aide des polynômes- clés.

Démonstration. — On va faire la preuve de ce théorème seulement dans le cas oùRest de caractéristique mixte. Le cas oùRest équicaractéristique se traite de la même manière en remplaçant p par t et en prenant les coefficients directement danskν.

Dans ce qui suit, on va construire un développement de Puiseux en lien avec les polynômes-clés. Remarquons que définir un développement de Pui- seux pour un élément deRrevient à définirn+ 1 sériesι(p),ι(u1),...,ι(un) formellement indépendantes surW.

On va construire le morphisme ι par récurrence surn−r. Sin=r, on poseι(p) =p^ν(p) et ι(u_j) = p^ν(uj), j ∈ {1, . . . , r} (remarquons que, pour queιsoit un morphisme, comme ν_|Kn−1 est de rang 1, on choisit une fois pour toute un plongement Γ₁,→Rqui envoieν(p) sur 1).

Supposons que n > r et que l’on a déjà construit un monomorphisme d’anneaux valués :

ιn−1:Rn−1,→Whh p^Γ0ii

tel queν_|Rn−1 soit induite par la valuationp-adique,Rn−1 désignant l’an- neauW[[u₁, . . . , u_n−1]]. Pourj∈ {1, . . . , n−1}, on noteu_j(p) =ι_n−1(u_j).

Nous allons construire la série généraliséeun(p) par récurrence transfinie sur un sous-ensemble bien ordonné de Γ⁰.

Soit β ∈ Γ+, on note i_β = min{i ∈ Λn|β 6 ε_n,i} et par convention, si {i ∈ Λn|β 6εn,i} = ∅, on prendra iβ = Λn (c’est-à-dire le plus petit ordinal strictement plus grand que n’importe quel élément de Λ_n).

Supposons donnée une série généralisée un(β) = P

γ<β

aγp^γ ∈Whh p^Γ0ii

, on considère le morphisme d’anneauxι_β:R→Whh

p^Γ0ii

défini par : ιβ(p) =p^ν(p);

ιβ(uj) =uj(p),∀j∈ {1, . . . , n−1}; ι_β(u_n) =u_n(β).

Définition 4.4. — On dit queun(β)est undéveloppement de Pui- seux partieldeu_n si les deux conditions suivantes sont vérifiées pour tout j∈ {1, . . . , n}:

(1) v(ι_β(Q_n,i)) =β_n,i,∀i∈Λ_n tel quei < i_β; (2) v(ιβ(Qn,i_β)) >min

q∈N

{ν(∂n,p^qQn,i_β) +p^qβ} (si iβ = Λn, on considère cette condition toujours vérifiée).

SoitTune nouvelle variable et considérons le morphisme d’anneauxι_β,T : R→Whh

p^Γ0, Tii

défini par : ι_β,T(p) =p^ν(p) ;

ιβ,T(uj) =uj(p),∀j∈ {1, . . . , n−1};

ιβ,T(un) =un(β) +T.

On noteνβl’extension àW p^Γ0, T

de la valuationp-adiquevdeW p^Γ0 telle que ν_β(T) = β et on suppose que in_νβ(T) est transcendant sur gr_v W

p^Γ0

. On pose alorsµ_β =ν_β|R oùRest vu comme sous-anneau deW

p^Γ0, T

via le monomorphismeιβ,T.

Supposons que iβ = Λn, alors µβ =ν. Sinon, supposons que iβ <Λn, c’est-à-dire qu’il existei∈Λn tel queεn,i>β. On note alors :

Γ_β= Γ⁽ⁿ⁻¹⁾⊗_ZQ+X

i<i_β

Qβ_n,i⊂Γ⁰. Lemme 4.5. — On a les assertions suivantes :

(1) La valuationν_β|Kn−1 est l’unique valuation telle que : ν_β|Kn−1[Q

n,iβ]=ν_|Kn−1[Q

n,iβ] ; νβ(Qn,i_β) = min

q∈N

ν ∂n,p^qQn,i_β

+p^qβ , etinν_β(Qn,i_β)est transcendant surgr_νβ Kn−1[Q_n,iβ]

. (2) Considérons les sous-algèbres graduées gr_µβ K_n−1[Q_n,iβ]

⊂gr_µβ(R) et gr_ν

n,iβ K_n−1[Q_n,iβ]

⊂ gr_ν

n,iβ(R). On a alors un isomorphisme d’algèbres graduées :

gr_µ

β K_n−1[Q_n,i

β] 'gr_ν

n,iβ K_n−1[Q_n,i

β]

qui peut être étendu en un isomorphisme entregr_µβ(R)etgr_ν

n,iβ(R) en envoyantinµ_β(Qn,i_β)surinν_n,iβ(Qn,i_β), mais la graduation n’est, en général, pas préservée, sauf si l’une des deux conditions équiva- lentes de (3) est vérifiée.

(3) µβ=νn,i_β ssiβ =εn,i_β. (4) ∀h∈R,νn,i_β(h)6ν(h).

Supposons queβ=ε_n,iβ (doncµ_β =ν_n,iβ). On a alors, pour tout h∈R:

νn,i_β(h) =ν(h)⇔inν_n,iβ(h)∈/ker gr_ν

n,iβ R

→gr_ν(R)

⇔inν_β(ιβ,T(h))∈/ker

gr_νβ W

p^Γ0, T

→gr_v W p^Γ0

.

En particulier, il y a égalité si in_νβ(T) n’apparaît pas dans inν_β(ιβ,T(h)).

Démonstration.

1) ν_β|Kn−1 =ν_|Kn−1 par définition de ιβ,T, νβ et v. Pour i < iβ, alors, β_n,i < β et comme u_n(β) est un développement de Puiseux partiel, on obtient l’égalité :

νβ(ιβ,T(Qn,i)) =v(ιβ(Qn,i)) =βn,i. Enfin, comme :

Qn,i_β(u1, . . . , un−1, un+T) =

d^◦_un(Q_n,iβ)

X

l=0

∂n,lQn,i_β(u1, . . . , un)T^l, on en déduit que :

νβ(Qn,i_β) = min

l∈N

ν ∂n,lQn,i_β

+lνβ(T) ,

où le minimum est atteint avec l = 1 si car(k) = 0, une puissance de p= car(k) sinon. Ainsi,inν_β(T) apparaît dansinν_β(Qn,i_β). Commeinν_β(T) est transcendant sur gr_v W

p^Γ0

, on en déduit quein_νβ(Q_n,iβ) est trans- cendant sur gr_νβ K_n−1[Q_n,iβ]

. L’unicité deνβvérifiant les propriétés pré- cédemment démontrées provient de la définition même de cette valuation.

2) Par définition et construction des polynômes-clés et de la valuation tronquéeν_n,iβ, on obtient l’égalité :

ν_{n,iβ|Kn−1[Q}

n,iβ]=ν_|Kn−1[Q

n,iβ]

qui nous définit un isomorphisme naturel d’algèbres graduées : gr_ν

n,iβ K_n−1[Q_n,i

β] ∼

−→gr_µ

β K_n−1[Q_n,i

β] .

En envoyant inν_n,iβ(Qn,i_β) sur inµ_β(Qn,i_β), on prolonge l’isomorphisme précédent en un isomorphisme entre gr_ν

n,iβ(R) et gr_µβ(R), la graduation étant préservée seulement siµβ=νn,i_β.

3) Supposons que β = ε_n,iβ, par définition des polynômes-clés et de µβ, il suffit de montrer queµβ(Qn,i_β) =νn,i_β(Qn,i_β). Soit q0 ∈N tel que µ_β(Q_n,iβ) =ν ∂_n,pq0Q_n,iβ

+p^q0β. Par définition deµ_β, on a : µβ(Qn,i_β) =ν ∂n,p^q0Qn,i_β

+p^q0β6ν

∂n,p^bn,iβQn,i_β

+p^bn,iβεn,i_β =βn,i_β. Par définition deεn,i_β, on a :

ε_n,iβ >β_n,iβ−ν ∂_n,p^q0Q_n,iβ

p^q0 ,

c’est-à-dire :

µβ(Qn,i_β) =ν ∂n,p^q0Qn,i_β

+p^q0β >βn,i_β. Réciproquement, siµβ=νn,i_β, alors :

βn,i_β =ν ∂n,p^q0Qn,i_β

+p^q0β 6ν

∂n,p^bn,iβQn,i_β

+p^bn,iββ, ce qui donne :

εn,i_β =

β_n,iβ−ν ∂

n,p^bn,iβQ_n,iβ p^bn,iβ 6β.

Enfin, rappelons que, par définition dei_β,β6ε_n,iβ.

4) Par la remarque 3.9, pour tout h∈R, νn,i_β(h)6ν(h). La première équivalence est évidente, la deuxième provient du fait que l’on a supposé µ_β=ν_n,iβ et queµ_β(h) =ν_β(ι_β,T(h)) ainsi quev(ι(h)) =ν(h).

Commençons notre récurrence transfinie parβ =ν(u_n) =β_n,1. On pose alors un(β) = 0 et on a iβ = 1, µβ = νn,i_β = νn,1; un(β) est ainsi un développement de Puiseux partiel deu_n.

Supposonsun(β) construit pour un certainβ∈Γ+tel que β > ν(un) et définissons le coefficientan,β de p^β de un(p). On suppose également, par hypothèse de récurrence, queβ=ε_n,iβ ou queβ∈Γβ.

Siβ /∈Γβ, commeβ =εn,i_β, alorsβn,i_β ∈/ Γβet donciβ= max Λn. Dans ce cas, on aν =ν_n,iβ =µ_β et on pose alors :

u_n(p) =u_n(β) +p^β. Si β∈Γβ alorsνβ(Qn,i_β) = min

q∈N

{ν(∂n,p^qQn,i_β) +p^qβ} ∈Γβ et donc :

∃d∈K_n−1, l1, . . . , lt∈Λn, λ∈N, λ1, . . . , λt∈Z tels que :

λν_β(Q_n,iβ) =

t

X

j=1

λ_jβ_n,lj+ν(d).

On pose alors :

z=











Q^λ_n,iβ d

t

Q

j=1

Q^λ_n,l^j

j

modmν∈kν si β=εn,i_β

0 si β < ε_n,iβ.

NotonsWr+1, . . . ,Wn−1,Wnles supports respectifs deur+1(p), . . . , un−1(p), u_n(β), on note alors u_j(p) = P

γ∈Wj

a_j,γp^γ pour j ∈ {r+ 1, . . . , n−1} et un(β) = P

γ∈Wn

an,γp^γ. Posons, pour j ∈ {r+ 1, . . . , n}, aj = {aj,γ|γ ∈

W_j} ⊂W,a_j ={aj,γ|γ∈W_j} ⊂k_νson image modulop,a= (a_r+1, . . . ,a_n) eta= (ar+1, . . . ,an). SoitX une variable indépendante, si on remplaceT parXp^β dansin_νβ(ι_β,T(Q_n,iβ)), on obtient un résultat de la forme :

f p^νβ(Qn,iβ), f ∈K0[a, X].

On note alorsf ∈kν[a, X]⊂kν[X] l’image def modulop.

De plus, pour j∈ {1, . . . , t},inν_β(ιβ(Qn,lj)) est de la forme : c_jp^βn,lj, c_j∈W

etinν_β(ιβ(d)) est de la forme :

δp^ν(d), δ∈W .

Notonsc_j et δdansk_ν les images respectives dec_j et deδmodulop.

Ainsi, f^λ δ

t

Q

j=1

cjλ_j

= z induit une équation algébrique en X sur k_ν, on

note alorsα_n,β∈k_ν une de ses racines eta_n,β∈W un relevé. Deux cas se présentent :

(1) an,β est transcendant surK0[a]. On pose alors un(p) =un(β) +an,βp^β, on aν =νn,i_β et on arrête l’algorithme.

(2) an,β est algébrique surK0[a]. On note alors

β˜=v(Q_n,iβ(u₁(p), . . . , u_n−1(p), u_n(β) +a_n,βp^β)),

˜ ε= max

b∈N

(β˜−ν(∂_n,pbQn,i_β) p^b

)

et

β₊=

min{ε, ε˜ n,i_β} si β < εn,i_β

min{˜ε, ε_n,iβ+1} si β =ε_n,iβ. Enfin, on pose :

un(β+) =un(β) +an,βp^β,

ceci nous définit alors un nouveau développement de Puiseux partiel sur lequel on peut continuer la récurrence. En effet, remarquons que

˜

ε>β car siβ < εn,i_β, alors, par définition de νβ, ˜β >νβ(Qn,i_β) = minq∈N

ν ∂n,p^qQn,i_β

+p^qβ et donc ˜ε > β par définition de ˜ε; si β =ε_n,iβ, par le (3) du lemme 4.5, ˜β =β_n,iβ et donc, toujours par définition ˜ε>β. Ainsi, le (1) de la définition 4.4 est toujours vérifié