Théoréme de Kaplansky effectif pour des valuations de rang 1 centrées sur des anneaux locaux réguliers et complets

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rang 1 centrées sur des anneaux locaux réguliers et complets

Jean-Christophe San Saturnino

To cite this version:

Jean-Christophe San Saturnino. Théoréme de Kaplansky effectif pour des valuations de rang 1 centrées

sur des anneaux locaux réguliers et complets. Annales de l’Institut Fourier, Association des Annales

de l’Institut Fourier, 2014, 64 (3), pp.1177-1202. �hal-00973945�

arXiv:1203.4283v2 [math.AC] 25 Mar 2013

VALUATIONS DE RANG 1 CENTRÉES SUR DES ANNEAUX LOCAUX RÉGULIERS ET COMPLETS.

par Jean-Christophe SAN SATURNINO

Résumé. On montre que tout anneau local régulier complet muni d’une valuation de rang 1 peut être plongé, en tant qu’anneau valué, dans un anneau de séries de Puiseux généralisées.

0. Introduction

On sait, depuis Newton et Puiseux que, pour un corps k de caractéris- tique 0 et algébriquement clos, alors k(t) peut être plongé dans le corps

S

i>1 k t ^1/i

des séries de Puiseux qui est algébriquement clos. De plus, si k est muni de la valuation triviale et k(t) de la valuation t-adique, on peut alors munir le corps des séries de Puiseux d’une valuation de telle sorte que la restriction à k(t) soit la valuation t-adique : c’est un exemple d’extension maximalement complète (voir [6] et [8]).

Krull ([6]) montra, à l’aide du Lemme de Zorn, que tout corps muni d’une valuation possède une extension maximale et que tout corps de séries de Puiseux, muni de sa valuation naturelle, est maximale. L’existence et l’uni- cité de cette extension maximale fut posée par Kaplansky ([4]) qui la dé- montra en caractéristique nulle ainsi que sa non-unicité en caractéristique positive. De plus, Poonen ([8]) a montré que si le groupe des valeurs de la valuation est divisible et si le corps est algébriquement clos, alors l’exten- sion maximalement complète est algébriquement close.

La question qui vient alors naturellement est : quelle est la forme de cette

Mots-clés : séries de Puiseux, polynômes-clés, valuations.

Classification math. : 13F25, 13F30, 13J05, 13K05.

extension ? En caractéristique positive, on sait qu’elle n’est pas de la forme S

i>1 k t ^1/i

puisque l’équation d’Artin-Schreier n’y possède aucune solu- tion (voir [1], [2]). Il est alors naturel de considérer des anneaux de séries généralisées où les puissances de t varient sur un ensemble bien ordonné.

De tels anneaux sont appelés des anneaux de Mal’cev-Neumann introduits en premier par Hahn en 1908 puis étudiés par Krull en 1932 (voir [6]).

En 1942, Kaplansky ([4]) montre que tout corps muni d’une valuation ayant un groupe des valeurs divisible et un corps résiduel algébriquement clos se plonge dans une extension maximalement close. Remarquons que deux cas se présentent : ou bien la restriction à Q ou F p est la valuation triviale (cas équicaractéristique), ou bien la restriction à Q est la valuation p-adique (cas mixte). Il a également montré que dans le cas équicaractéris- tique, l’extension maximale est un anneau de Mal’cev-Neumann.

En 1993, Poonen ([8]) décrit explicitement les extensions dans les deux cas.

Si (k, ν) est un corps valué de groupe des valeurs Γ divisible et de corps résiduel k ν algébriquement clos, alors il existe des plongements dans des anneaux de Mal’cev-Neumann maximalement complets :

(1) k ֒ → k ν t ^Γ

(cas équicaractéristique) ; (2) k ֒ → W (k ν ) p ^Γ

, où W (k ν ) est l’anneau des vecteurs de Witt de k ν (cas mixte) .

Dans tous les cas les preuves ne construisent pas explicitement le plonge- ment.

Depuis quelques années, la théorie des valuations reprend une place im- portante dans la résolution des singularités et notamment dans l’uniformi- sation locale des schémas quasi-excellents ,voir par exemple [9]. Les ques- tions d’avoir un Théorème de Kaplansky et de connaître explicitement le plongement se posent alors naturellement, on connaît l’intérêt d’avoir une paramétrisation de Puiseux pour l’uniformisation locale des courbes sur un corps de caractéristique 0.

Dans cet article on se propose donc de décrire de manière explicite un plongement d’un anneau local régulier et complet muni d’une valuation de rang 1 à l’aide des polynômes-clés définis dans [3] et [7], résultat qui géné- ralise ceux de Kaplansky et Poonen.

Dans la première et la deuxième partie, nous définissons les anneaux

de Mal’cev-Neumann en suivant [5] et [8] et nous en construisons deux ex-

plicitement.

Dans la troisième partie, nous proposons quelques rappels sur les polynômes- clés définis pour des valuations de rang 1. Cet outil est essentiel car il per- met de connaître la valuation seulement par la connaissance de la collection bien ordonnée des polynômes-clés, collection qui existe d’aprés [3] et [9].

Dans la quatrième partie, nous énonçons et démontrons de manière effec- tive le Théorème de plongement de Kaplansky pour des anneaux locaux, réguliers, complets munis d’une valuation de rang 1.

Dans la dernière partie, nous démontrons des résultats de dépendance in- tégrale valables en caractéristique mixte qui sont à rapprocher de ceux de Spivakovsky ([9]) dans le cadre de l’uniformisation locale des schémas quasi-excellents.

Je tiens à remercier M. Spivakovsky pour son aide précieuse, ses conseils avisés et la liberté qu’il me permet d’avoir dans mes recherches.

Notations. Soit (R, m , k) un anneau local, régulier, complet et de dimen- sion n + 1. On note :

p =

1 si car(k) = 0

car(k) si car(k) > 0

Si R est de caractéristique mixte, on suppose de plus que p / ∈ m ² . Par le théorème de Cohen, on peut supposer que :

R =

k [[u 1 , ..., u n+1 ]] si car(R) = car(k) W [[u 1 , ..., u n ]] si car(R) 6= car(k)

où W est un anneau complet de valuation discrète de paramètre régulier p et de corps résiduel k. On note :

K 0 =

k si car(R) = car(k)

F rac(W ) si car(R) 6= car(k) K j =

k ((u 1 , ..., u j+1 )) si car(R) = car(k) W ((u 1 , ..., u j )) si car(R) 6= car(k) (on notera parfois K = K n ).

Soit ν une valuation de K, centrée en R, de groupe des valeurs Γ, telle que ν |K

soit de rang 1. On écrit (R ν , m ν , k ν ) son anneau de valuation et on suppose que k ν est algébrique sur k. On note, Γ 1 le plus petit sous-groupe isolé non-nul de Γ et :

Γ Q = Γ ⊗ Z Q ; Γ ^′ = [

i>1

1

p ⁱ Γ.

Posons r le plus petit j tel que les ν (u i

), ..., ν(u i

) soient Z-linéairements indépendants si R est équicaractéristique, ou bien le plus petit j tel que les ν (p), ν(u i

), ..., ν(u i

) soient Z -linéairements indépendants si R est de caractéristique mixte.

On supposera alors, quitte à renuméroter les variables, que :

ν(u 1 ), ..., ν(u r ) sont Z-linéairements indépendantes et ν(u r+1 ), ..., ν(u n+1 ) sont Q -combinaisons linéaires de ν (u 1 ), ..., ν(u r ) si R est équicaractéris- tique ;

ν(p), ν(u 1 ), ..., ν(u r ) sont Z-linéairements indépendantes et ν(u r+1 ), ..., ν(u n ) sont Q -combinaisons linéaires de ν(p), ν(u 1 ), ..., ν(u r ) si R est de caracté- ristique mixte.

On note ν 0 la valuation monômiale de R associée à m (voir [9], Défini- tion 3.10), c’est-à-dire, si f = P

α

a α u ^α ∈ R où α est un multi-indice, a α ∈ k (resp. a α ∈ W ) u ^α = u ^α ₁

...u ^α _n+1

(resp. u ^α = u ^α ₁

...u ^α _n

) et m = (u 1 , ..., u n+1 ) (resp. m = (p, u 1 , ..., u n )), alors :

ν 0 (f ) = min ( _n+1

X

i=1

α i ν (u i ) | a α 6= 0 )

resp. ν 0 (f ) = min (

α 0 ν (p) +

n

X

i=1

α i ν(u i ) | a α 6= 0 )!

.

Enfin, si A est un anneau, P, Q ∈ A [X ] tels que P = P ⁿ

i=0 a i Q ⁱ , a i ∈ A[X]

tels que le degré de a i est strictement inférieur à celui de Q, on note : d _Q ^◦ (P ) = n.

Si Q = X, on notera plus simplement d ^◦ (P ) au lieu de d _X ^◦ (P ).

Supposons de plus que A est intègre, considérons w une valuation de A et γ ∈ w(A \ {0}), on note :

P _γ ^′ = {f ∈ A | w(f ) > γ} ∪ {0};

P _γ,+ ^′ = {f ∈ A | w(f ) > γ } ∪ {0};

gr w (A) = M

γ∈w(A\{0})

P _γ ^′ /P _γ,+ ^′ ;

et in w (f ) l’image de f ∈ A dans gr w (A).

1. Anneaux des séries généralisées

On va définir des anneaux de séries généralisées (également appelés an- neaux de Mal’cev-Neumann) en suivant les constructions données par [5]

et [8].

Définition 1.1. — Soient A un anneau intègre et G un groupe abélien ordonné. On appelle anneau des séries formelles généralisées, noté A

t ^G

, l’anneau où les éléments sont de la forme P

γ ∈ G

a γ t ^γ , avec les a γ ∈ A tels que l’ensemble {γ | a γ 6= 0} soit bien ordonné.

Si A est un anneau intègre local de caractéristique mixte dont le corps rési- duel est de caractéristique p et d’idéal maximal engendré par p, on appelle anneau des p-séries formelles généralisées, noté A

p ^G

, l’anneau A

t ^G

/N où N est l’idéal de A t ^G

formé par les f = P

γ ∈ G

a γ t ^γ tels que P

n∈Z

a n+γ p ⁿ = 0, pour tout γ ∈ G.

Remarque 1.2. — L’anneau A t ^G

(resp. l’anneau A p ^G

) est muni de la valuation t-adique (resp. valuation p-adique) v, à valeurs dans G, définie par :

v(f ) = inf{γ | a γ 6= 0} , ∀ f = X

γ ∈ G

a γ t ^γ ∈ A t ^G

(resp. ∀ f = X

γ ∈ G

a γ p ^γ ∈ A p ^G

).

Définition 1.3. — Un anneau de séries formelles généralisées (resp.

de p-séries formelles généralisées) muni de sa valuation t-adique (resp. p- adique) sera appelé un anneau de Mal’cev-Neumann.

Sa valuation t-adique (resp. p-adique) associée sera appelée valuation de Mal’cev-Neumann.

Définition 1.4. — Soient f = P

γ ∈ G

a γ t ^γ ∈ A t ^G

(resp. f = P

γ ∈ G

a γ p ^γ ∈ A p ^G

) et β ∈ G + , on appelle troncature ouverte de f en β la série généralisée f (β ) = P

γ<β

a γ t ^γ (resp. f (β) = P

γ<β

a γ p ^γ ) et troncature fermée de f en β la série généralisée f [β] = P

γ6β

a γ t ^γ (resp.

f [β] = P

γ6β

a γ p ^γ ). Pour β, β ^′ ∈ G + , β < β ^′ , on note f [β, β ^′ [= f (β ^′ ) − f (β).

2. Construction de l’anneau de Mal’cev-Neumann Soient (R, m , k) un anneau local complet régulier de dimension n + 1 et ν une valuation de K = F rac(R), centrée en R, de groupe des valeurs Γ.

On va construire un anneau de Mal’cev-Neumann A R dans lequel plonger R.

Si R est équicaractéristique, on prend A R = k ν

hh t ^Γ

ii

, où k ν est une clôture algébrique de k ν .

Si R est de caractéristique mixte, on va construire, par récurrence trans- finie, un anneau local (W , pW , k ν ) qui soit une extension de W . Dans ce cas, on pose A R = W hh

p ^Γ

ii .

Soit k ν une clôture algébrique de k ν , on peut la voir comme limite induc- tive d’extensions algébriques simples de k puisque k ν est algébrique sur k.

Plus précisément, k ν = k({α i } _i∈I ) où I est un ensemble bien ordonné et les α i des éléments algébriques sur k, i ∈ I. Le système inductif est alors donné par les inclusions provenant de l’ordre total de I. Supposons que i ∈ I possède un prédécesseur immédiat, on est alors emmené à considérer une extension de la forme :

κ ֒ → κ(α)

où, par hypothèse de récurrence, α est algébrique sur κ et κ est le corps résiduel d’un anneau local (A, m A ). Soit Q le polynôme minimal unitaire de α et P un relevé unitaire dans A. On pose alors A ^′ = A[α]/(P(α)) et on a un morphisme d’inclusion :

A ֒ → A ^′

Lemme 2.1. — A ^′ est un anneau local d’idéal maximal m A A ^′ et de corps résiduel κ(α).

Preuve : L’idéal m A A ^′ est maximal dans A ^′ car A ^′ /m A A ^′ ≃ κ(α). Soit M un autre idéal maximal de A ^′ , alors M ∩A = m A . Pour montrer ceci il suffit de remarquer que A/(M ∩ A) est un corps. Soit a ∈ A/(M ∩ A), a 6= 0, l’extension entière A ֒ → A ^′ induit une extension d’anneaux intègres entière A/(M ∩ A) ֒ → A ^′ /M , ainsi a ∈ A ^′ /M qui est un corps et donc a ⁻¹ ∈ A ^′ /M . Il existe alors des éléments a 0 , ..., a m−1 ∈ A/(M ∩ A) et m > 1 tels que a ^−m + a m−1 a ^−m+1 + ... + a 0 = 0 et donc a ⁻¹ = −(a m−1 + ... + a 0 a ^m−1 ) ∈ A/(M ∩ A). On remarque enfin que m A A ^′ = (M ∩ A)A ^′ ⊂ M et donc A ^′ est un anneau local.

Si i est un ordinal limite, notons κ l = k({α j } _j6l ), pour tout l 6 i. On

suppose, par hypothèse de récurrence, que l’on a construit les anneaux

locaux A l dont les corps résiduels respectifs sont κ l pour tout l < i. On pose alors A i = S

l<i

A l , c’est un anneau local de corps résiduel κ i . On a donc créé un système inductif d’anneaux locaux, on note W la limite inductive, c’est un anneau local d’idéal maximal pW , de corps résiduel k ν et on a W ֒ → W .

Remarque 2.2. — On a un résultat similaire si k ν est une extension transcendante de k. En effet, si deg.tr(k ν |k) = l alors il existe t 1 , ..., t l

transcendants tels que k ν = k(t 1 , ..., t l ). On pose W ^′ = W [t 1 , ..., t l ] et on considère l’anneau local W _pW ^′

, son corps résiduel est k ν et, W ֒ → W _pW ^′

.

Remarque 2.3. — Remarquons que W est intégralement clos dans K 0 , de plus on a :

W $ W p ^Q

֒ → W p ^Γ

. Ce dernier morphisme est induit par :

Q ֒ → Γ Q

1 7→ ν (p)

On peut résumer cette section par la proposition suivante : Proposition 2.4. — Les anneaux k ν

hh t ^Γ

ii

et W hh p ^Γ

ii

sont des an- neaux de Mal’cev-Neumann au sens de la Définition 1.3.

3. Rappels sur les polynômes-clés

On va faire quelques rappels sur les polynômes-clés introduits dans [3]

et [9] pour des valuations de rang 1. Pour une présentation plus axioma- tique des polynômes-clés, on pourra regarder la présentation faite par M.

Vaquié ([10], [11], [12], [13], [14]). Un lien entre les deux constructions des polynômes-clés est faite dans les travaux de W. Mahboub ([7]).

Soit K ֒ → K(x) une extension de corps simple et transcendante. Soit µ ^′ une valuation de K(x), notons µ := µ ^′ _|K . On note G le groupe des valeurs de µ ^′ et G 1 celui de µ. On suppose de plus que µ est de rang 1 et que µ ^′ (x) > 0. Enfin, rappelons que pour β ∈ G, on note :

P _β ^′ = {f ∈ K(x) | µ ^′ (f ) > β} ∪ {0};

P _β,+ ^′ = {f ∈ K(x) | µ ^′ (f ) > β} ∪ {0};

gr µ

(K(x)) = M

β∈G

P _β ^′ /P _β,+ ^′ ;

et in µ

(f ) l’image de f ∈ K(x) dans gr µ

(K(x)).

Définition 3.1. — Un ensemble complet de polynômes-clés pour µ ^′ est une collection bien ordonnée :

Q = {Q i } i∈Λ ⊂ K[x];

telle que, pour tout β ∈ G, le groupe additif P _β ^′ ∩K[x] soit engendré par des produits de la forme a

s

Q

j=1 Q ^γ _i

, a ∈ K, tels que

s

P

j=1 γ j µ ^′ Q i

+ µ(a) > β.

Théorème 3.2. — ([3], Théorème 62) Il existe une collection Q = {Q i } _i∈Λ qui soit un ensemble complet de polynômes-clés.

Remarque 3.3. — La preuve consiste à construire par récurrence trans- finie l’ensemble de polynômes-clés de type d’ordre au plus ω × ω.

Définition 3.4. — Soit l ∈ Λ, un indice i < l est dit l-essentiel s’il existe n ∈ N tel que i + n = l ou i + n < l et d _Q ^◦

(Q i+n ) > 1. Dans le cas contraire, on dit que i est l-inessentiel.

Soit l ∈ Λ, on note :

α i = d _Q ^◦

(Q i ), ∀ i 6 l;

α ^l +1 = {α i } i6 l ; Q _l+1 = {Q i } i6 l ;

On utilise également la notation γ _l+1 = {γ i } i6 l où les γ i sont tous nuls sauf pour un nombre fini d’entres eux, Q ^γ _l+1

= Q

i6 l

Q ^γ _i

. Pour i < l, on note :

i + =

i + 1 si i est l-essentiel

i + ω sinon

Définition 3.5. — Un multi-indice γ _l+1 est dit standard par rap- port à α ^l +1 si 0 6 γ i < α i

, pour i 6 l et si i est l-inessentiel, l’ensemble {j < i + | j + = i + , γ j 6= 0} est de cardinal au plus 1.

Un monôme l-standard en Q l +1 est un produit de la forme c γ

Q ^γ _l+1

, où c γ

∈ K et γ _l+1 est standard par rapport à α ^l +1 .

Un développement l-standard n’impliquant pas Q l est une somme finie P

β

S β de monômes l-standards n’impliquant pas Q l où β appartient à un sous-ensemble fini de G + et S β = P

j

d β,j est une somme de monômes standards de valuation β vérifiant P

j

in µ

(d β,j ) 6= 0.

Définition 3.6. — Soient f ∈ K[x] et i 6 l, un développement i- standard de f est une expression de la forme :

f =

s

X

j=0

c j,i Q ^j _i ,

où c j,i est un développement i-standard n’impliquant pas Q i .

Remarque 3.7. — Un tel développement existe, par division Euclidienne et est unique dans le sens où les c j,i ∈ K[x] sont uniques.

Définition 3.8. — Soient f ∈ K[x], i 6 l et f =

s

P

j=0 c j,i Q ^j _i un déve- loppement i-standard de f . On définit la i-troncature de µ ^′ , notée µ ^′ _i , comme étant la pseudo-valuation :

µ ^′ _i (f ) = min

06j6s

{jµ ^′ (Q i ) + µ ^′ (c j,i )}.

Remarque 3.9. — On peut montrer que c’est en fait une valuation. On a de plus :

∀ f ∈ K[x], i ∈ Λ, µ ^′ _i (f ) 6 µ ^′ (f ).

On termine en donnant la Proposition 10.1 (Corollaire 50 de [3]) et le Corollaire 10.15 de [9] que nous utiliserons dans les preuves des Propositions 5.1 et 5.8.

Proposition 3.10. — ∀ f ∈ K[x], ∀ b ∈ N, µ ^′ _i (f ) − µ ^′ _i ∂ p

f

6 p ^b

p ^b

µ ^′ (Q i ) − µ ^′ (∂ _p

Q i ) , où ∂ _p

= 1

p ^b !

∂ ^p

∂x ^p

et b i le plus petit c ∈ N ^∗ qui maximise µ ^′ (Q i ) − µ ^′ (∂ p

Q i )

p ^c .

De plus, il existe b(i, f ) ∈ N ^∗ calculé en fonction du développement i- standard de f , tel que :

µ ^′ _i (f ) − µ ^′ _i ∂ _p

f

= p ^b(i,f)

p ^b

µ ^′ (Q i ) − µ ^′ (∂ _p

Q i ) . Proposition 3.11. — Soit f =

s

P

j=0 c j,i Q ^j _i le développement i-standard de f ∈ K[x], on pose :

S i = {j ∈ {0, ..., s i } | jµ ^′ (Q i ) + µ ^′ (c j,i ) = µ ^′ _i (f )}.

Soit j ∈ S i , écrivons j sous la forme j = p ^e u, où p ne divise pas u si

car(K µ ) = p > 0.

Supposons que p ^e+1 divise j ^′ , pour tout j ^′ ∈ S i tels que j ^′ < j. (∗) Alors :

µ ^′ _i (f ) = min

06j6s

{µ ^′ _i (∂ jb

f ) + j (µ ^′ (Q i ) − µ ^′ (∂ b

Q i ))}

et le minimum est atteint pour tout les j ∈ S i vérifiant la condition de divisibilité (∗) précédente.

On va utiliser les polynômes-clés dans le cadre des anneaux locaux régu- liers, ils interviennent de manière fondamentale dans la démonstration du Théorème 4.1.

Polynômes-clés dans une tour d’extensions de corps. Pour j ∈ {r + 1, ..., n}, on note {Q j,i } _i∈Λ

l’ensemble des polynômes-clés de l’extension K j−1 ֒ → K j−1 (u j ), Q _j,i = {Q j,i

|i ^′ ∈ Λ j , i ^′ < i}, Γ ^(j) le groupe des valeurs de ν |K

et ν j,i la i-troncature de ν pour cette extension. Soient β j,i = ν (Q j,i ) et b j,i le plus petit élément b de N qui maximise β j,i − ν(∂ j,p

Q j,i )

p ^b , où

∂ j,s = 1 s!

∂ ^s

∂u ^s _j , s ∈ N . Soit ε j,i = β j,i − ν(∂ _j,p

Q j,i ) p ^b

, on a :

Lemme 3.12. — ([9], Lemme 10.4) La suite (ε j,i ) i est strictement crois- sante.

Preuve : Nous reprennons la preuve du Lemme 10.4 de [9]. Fixons j ∈ {r + 1, ..., n} et considérons i 1 , i 2 ∈ Λ j deux ordinaux. Il faut montrer que :

β j,i

− ν(∂ _j,p

Q j,i

)

p ^b

< β j,i

− ν (∂ _j,p

Q j,i

) p ^b

.

On peut supposer que i 2 = i 1 + (c’est-à-dire i 2 = i 1 + 1 ou i 2 = i 1 + ω), on conclut dans le cas général par récurrence transfinie sur i 2 − i 1 . Par la Proposition 3.10, il existe b(i 1 , Q j,i

) calculé en fonction du développement (j, i 1 )-standard de Q j,i

, tel que :

ν j,i

(Q j,i

)−ν j,i

∂ _p

Q j,i

= p ^b(i

^,Q

⁾ p ^b

ν(Q j,i

) − ν(∂ _p

Q j,i

) . Vu que d ^◦

∂ _p

Q j,i

< d ^◦ (Q j,i

), on montre facilement que : ν j,i

∂ _p

Q j,i

= ν

∂ _p

Q j,i

.

Par définition du développement (j, i 1 )-standard, on a :

β j,i

> α j,i

β j,i

= ν j,i

(Q j,i

).

Ainsi, par définition de ε j,i

: ε j,i

=

ν j,i

(Q j,i

) − ν j,i

∂ _p

Q j,i

p ^b(i

^,Q

⁾

= α j,i

β j,i

− ν

∂ _p

Q j,i

p ^b(i

^,Q

⁾

<

β j,i

− ν

∂ _p

Q j,i

p ^b(i

^,Q

⁾ 6 ε j,i

.

On en conclut que la suite (ε j,i ) i est strictement croissante, pour tout j ∈ {r + 1, ..., n}.

4. Le théorème de plongement de Kaplansky

Dans cette section, on suppose que (R, m , k) est un anneau local complet régulier de dimension n + 1. Si R est de caractéristique mixte, on suppose de plus que p / ∈ m ² . Notons ν une valuation de K = F rac(R), centrée en R, de groupe des valeurs Γ et telle que ν |K

soit de rang 1.

Théorème 4.1. — Il existe un anneau de Mal’cev-Neumann A R et un monomorphisme d’anneaux

ι : R ֒ → A R

tel que ν soit la restriction à R de la valuation de Mal’cev-Neumann associée à A R .

Pour f ∈ R, on appelle ι(f ) un développement de Puiseux de f par rapport à ν.

Remarque 4.2. — A R =





 k ν

hh t ^Γ

ii

si car(R) = car(k) W hh

p ^Γ

ii

si car(R) 6= car(k) Remarque 4.3. — On sait que :

R =

k [[u 1 , ..., u n+1 ]] si car(R) = car(k) W [[u 1 , ..., u n ]] si car(R) 6= car(k)

la preuve consiste donc à définir, par récurrence transfinie, le développe-

ment de Puiseux de u 1 , ..., u n+1 (resp. p, u 1 , ..., u n ) à l’aide des polynômes-

clés.

Preuve : On va faire la preuve de ce théorème seulement dans le cas où R est de caractéristique mixte. Le cas où R est équicaractéristique se traite de la même manière en remplaçant p par t et en prenant les coefficients directement dans k ν .

Dans ce qui suit on va construire un développement de Puiseux en lien avec les polynômes-clés. Remarquons que définir un développement de Pui- seux pour un élément de R revient à définir n + 1 séries ι(p), ι(u 1 ), ..., ι(u n ) formellement indépendantes sur W .

On va construire le morphisme ι par récurrence sur n −r. Si n = r, on pose ι(p) = p ^ν(p) et ι(u j ) = p ^ν(u

⁾ , j ∈ {1, ..., r} (remarquons que, pour que ι soit un morphisme, comme ν |K

est de rang 1, on choisit une fois pour toute un plongement Γ 1 ֒ → R qui envoie ν(p) sur 1).

Supposons que n > r et que l’on a déjà construit un monomorphisme d’an- neaux valués :

ι n−1 : R n−1 ֒ → W hh p ^Γ

ii

tel que ν |R

soit induite par la valuation p-adique, R n−1 désignant l’an- neau W [[u 1 , ..., u n−1 ]]. Pour j ∈ {1, ..., n − 1}, on note u j (p) = ι n−1 (u j ).

Nous allons construire la série généralisée u n (p) par récurrence transfinie sur un sous-ensemble bien ordonné de Γ ^′ .

Soit β ∈ Γ + , on note i β = min{i ∈ Λ n | β 6 ε n,i } et par convention, si {i ∈ Λ n | β 6 ε n,i } = ∅, on prendra i β = Λ n (c’est-à-dire le plus petit ordinal strictement plus grand que n’importe quel élément de Λ n ).

Supposons donnée une série généralisée u n (β ) = P

γ<β

a γ p ^γ ∈ W hh p ^Γ

ii

, on considère le morphisme d’anneaux ι β : R → W hh

p ^Γ

ii

défini par : ι β (p) = p ^ν(p) ;

ι β (u j ) = u j (p), ∀ j ∈ {1, ..., n − 1};

ι β (u n ) = u n (β).

Définition 4.4. — On dit que u n (β) est un développement de Pui- seux partiel de u n si les deux conditions suivantes sont vérifiées pour tout j ∈ {1, ..., n} :

(1) v(ι β (Q n,i )) = β n,i , ∀i ∈ Λ n tel que i < i β ; (2) v(ι β (Q n,i

)) > min

q∈N {ν (∂ n,p

Q n,i

) + p ^q β} (si i β = Λ n , on considère

cette condition toujours vérifiée).

Soit T une nouvelle variable et considérons le morphisme d’anneaux ι β,T : R → W hh

p ^Γ

, T ii

défini par : ι β,T (p) = p ^ν(p) ;

ι β,T (u j ) = u j (p), ∀ j ∈ {1, ..., n − 1};

ι β,T (u n ) = u n (β) + T.

On note ν β l’extension à W hh

p ^Γ

, T ii

de la valuation p-adique v de W hh p ^Γ

ii telle que ν β (T ) = β et on suppose que in ν

(T ) est transcendant sur gr v

W hh p ^Γ

ii

. On pose alors µ β = ν β|R où R est vu comme sous-anneau de W hh

p ^Γ

, T ii

via le monomorphisme ι β,T .

Supposons que i β = Λ n , alors µ β = ν. Sinon, supposons que i β < Λ n , c’est-à-dire qu’il existe i ∈ Λ n tel que ε n,i > β. On note alors :

Γ β = Γ ⁽ⁿ⁻¹⁾ ⊗ Z Q + X

i<i

Q β n,i ⊂ Γ ^′ . Lemme 4.5. — On a les assertions suivantes :

(1) La valuation ν β|K

est l’unique valuation telle que : ν β|K

[Q

] = ν |K

[Q

] ;

ν β (Q n,i

) = min

q∈N

ν ∂ n,p

Q n,i

+ p ^q β , et in ν

(Q n,i

) est transcendant sur gr ν

K n−1 [Q _n,i

] . (2) Considérons les sous-algèbres graduées gr µ

K n−1 [Q _n,i

]

⊂ gr µ

(R) et gr ν

K n−1 [Q _n,i

]

⊂ gr ν

(R). On a alors un isomorphisme d’algèbres graduées :

gr µ

K n−1 [Q _n,i

]

≃ gr ν

K n−1 [Q _n,i

]

qui peut être étendu en un isomorphisme entre gr µ

(R) et gr ν

(R) en envoyant in µ

(Q n,i

) sur in ν

(Q n,i

), mais la graduation n’est, en général, pas préservée, sauf si l’une des deux conditions équiva- lentes de (3) est vérifiée.

(3) µ β = ν n,i

ssi β = ε n,i

. (4) ∀ h ∈ R, ν n,i

(h) 6 ν(h).

Supposons que β = ε n,i

(donc µ β = ν n,i

). On a alors, pour tout

h ∈ R :

ν n,i

(h) = ν(h) ⇔ in ν

(h) ∈ / ker

gr ν

(R) → gr ν (R)

⇔ in ν

(ι β,T (h)) ∈ / ker gr ν

W hh

p ^Γ

, T ii

→ gr v

W hh

p ^Γ

ii . En particulier, il y a égalité si in ν

(T ) n’apparaît pas dans in ν

(ι β,T (h)).

Preuve : (1) : ν β|K

= ν |K

par définition de ι β,T , ν β et v. Pour i < i β , alors, β n,i < β et comme u n (β ) est un développement de Puiseux partiel, on obtient l’égalité :

ν β (ι β,T (Q n,i )) = v (ι β (Q n,i )) = β n,i . Enfin, comme :

Q n,i

(u 1 , ..., u n−1 , u n + T ) =

d

(Q

)

X

l=0

∂ n,l Q n,i

(u 1 , ..., u n )T ^l , on en déduit que :

ν β (Q n,i

) = min

l∈N

ν ∂ n,l Q n,i

+ lν β (T ) ,

où le minimum est atteint avec l = 1 si car(k) = 0, une puissance de p = car(k) sinon. Ainsi, in ν

(T ) apparaît dans in ν

(Q n,i

). Comme in ν

(T ) est transcendant sur gr v

W hh p ^Γ

ii

, on en déduit que in ν

(Q n,i

) est trans- cendant sur gr ν

K n−1 [Q _n,i

]

. L’unicité de ν β vérifiant les propriétés précédemment démontrées provient de la définition même de cette valua- tion.

(2) : Par définition et construction des polynômes-clés et de la valuation tronquée ν n,i

, on obtient l’égalité :

ν _n,i

_|K

_[Q

n,iβ

] = ν _|K

_[Q

n,iβ

]

qui nous définit un isomorphisme naturel d’algèbres graduées : gr ν

K n−1 [Q _n,i

] _∼

−→ gr µ

K n−1 [Q _n,i

]

En envoyant in ν

(Q n,i

) sur in µ

(Q n,i

), on prolonge l’isomorphisme précédent en un isomorphisme entre gr ν

(R) et gr µ

(R), la graduation étant préservée seulement si µ β = ν n,i

.

(3) : Supposons que β = ε n,i

, par définition des polynômes-clés et de µ β , il suffit de montrer que µ β (Q n,i

) = ν n,i

(Q n,i

). Soit q 0 ∈ N tel que µ β (Q n,i

) = ν ∂ n,p

Q n,i

+ p ^q

β . Par définition de µ β , on a : µ β (Q n,i

) = ν ∂ n,p

Q n,i

+p ^q

β 6 ν

∂ n,p

Q n,i

+p ^b

ε n,i

= β n,i

.

Par définition de ε n,i

, on a :

ε n,i

> β n,i

− ν ∂ n,p

Q n,i

p ^q

,

c’est-à-dire :

µ β (Q n,i

) = ν ∂ n,p

Q n,i

+ p ^q

β > β n,i

. Réciproquement, si µ β = ν n,i

, alors :

β n,i

= ν ∂ n,p

Q n,i

+ p ^q

β 6 ν

∂ n,p

Q n,i

+ p ^b

β, ce qui donne :

ε n,i

=

β n,i

− ν

∂ n,p

Q n,i

p ^b

6 β.

Enfin, rappelons que, par définition de i β , β 6 ε n,i

.

(4) : Par la Remarque 3.9, pour tout h ∈ R, ν n,i

(h) 6 ν(h). La première équivalence est évidente, la deuxième provient du fait que l’on a supposé µ β = ν n,i

et que µ β (h) = ν β (ι β,T (h)) ainsi que v(ι(h)) = ν(h).

Commençons notre récurrence transfinie par β = ν (u n ) = β n,1 . On pose alors u n (β ) = 0 et on a i β = 1, µ β = ν n,i

= ν n,1 ; u n (β) est ainsi un développement de Puiseux partiel de u n .

Supposons u n (β ) construit pour un certain β ∈ Γ + tel que β > ν(u n ) et définissons le coefficient a n,β de p ^β de u n (p). On suppose également, par hypothèse de récurrence, que β = ε n,i

ou que β ∈ Γ β .

Si β / ∈ Γ β , comme β = ε n,i

, alors β n,i

∈ / Γ β et donc i β = max Λ n . Dans ce cas on a ν = ν n,i

= µ β et on pose alors :

u n (p) = u n (β) + p ^β .

Si β ∈ Γ β alors ν β (Q n,i

) = min

q∈N {ν(∂ n,p

Q n,i

) + p ^q β} ∈ Γ β et donc :

∃ d ∈ K n−1 , l 1 , ..., l t ∈ Λ n , λ ∈ N, λ 1 , ..., λ t ∈ Z tels que :

λν β (Q n,i

) =

t

X

j=1

λ j β n,l

+ ν (d).

On pose alors :

z =



 

 

 

 

Q ^λ _n,i

d

t

Q

j=1 Q ^λ _n,l

mod m ν ∈ k ν si β = ε n,i

0 si β < ε n,i

Notons W r+1 , ..., W n−1 , W n les supports respectifs de u r+1 (p), ..., u n−1 (p), u n (β), on note alors u j (p) = P

γ∈W

a j,γ p ^γ pour j ∈ {r + 1, ..., n − 1} et u n (β) = P

γ∈W

a n,γ p ^γ . Posons, pour j ∈ {r+1, ..., n}, a _j = {a j,γ |γ ∈ W j } ⊂ W , a _j = {a j,γ | γ ∈ W j } ⊂ k ν son image modulo p, a = ( a _r+1 , ..., a _n ) et a = ( a _r+1 , ..., a _n ). Soit X une variable indépendante, si on remplace T par Xp ^β dans in ν

(ι β,T (Q n,i

)), on obtient un résultat de la forme :

f p ^ν

^(Q

⁾ , f ∈ K 0 [ a , X ] .

On note alors f ∈ k ν [ a , X] ⊂ k ν [X ] l’image de f modulo p.

De plus, pour j ∈ {1, ..., t}, in ν

(ι β (Q n,l

)) est de la forme : c j p ^β

, c j ∈ W

et in ν

(ι β (d)) est de la forme :

δp ^ν(d) , δ ∈ W .

Notons c j et δ dans k ν les images respectives de c j et de δ modulo p.

Ainsi, f ^λ δ

t

Q

j=1 c j λ

= z induit une équation algébrique en X sur k ν , on note

alors α n,β ∈ k ν une de ses racines et a n,β ∈ W un relevé. Deux cas se présentent :

(1) a n,β est transcendant sur K 0 [ a ]. On pose alors u n (p) = u n (β) + a n,β p ^β , on a ν = ν n,i

et on arrête l’algorithme.

(2) a n,β est algébrique sur K 0 [ a ]. On note alors

β ˜ = v(Q n,i

(u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (β) + a n,β p ^β )),

˜ ε = max

b∈N

( β ˜ − ν(∂ _n,p

Q n,i

) p ^b

)

et

β + =

min{ ε, ε ˜ n,i

} si β < ε n,i

min{˜ ε, ε n,i

+1 } si β = ε n,i

Enfin, on pose :

u n (β + ) = u n (β) + a n,β p ^β ,

ceci nous définit alors un nouveau développement de Puiseux partiel sur lequel on peut continuer la récurrence. En effet, remarquons que

˜

ε > β car si β < ε n,i

, alors, par définition de ν β , ˜ β > ν β (Q n,i

) = min q∈N

ν ∂ n,p

Q n,i

+ p ^q β et donc ˜ ε > β par définition de ˜ ε ; si β = ε n,i

, par le (3) du Lemme 4.5, ˜ β = β n,i

et donc, toujours par définition ˜ ε > β. Ainsi, le (1) de la Définition 4.4 est toujours vérifié lorsque β < ε n,i

; si β = ε n,i

, c’est également vrai vu que, dans ce cas, ˜ β = β n,i

. Quant au (2), on vient de voir que ˜ β >

ν β (Q n,i

) pour β < ε n,i

; si β = ε n,i

, comme la suite (β n,i ) i∈Λ

est croissante, on a, lorsque β + = ˜ ε : v(ι β

(Q n,i

+1 )) > β ˜ = β n,i

. On en déduit que v(ι β

(Q n,i

+1 )) > min

q∈N

ν ∂ n,p

Q n,i

+1

+ p ^q β + . Si β + = ε n,i

+1 , alors :

v(ι β

(Q n,i

+1 )) = min

q∈N

ν ∂ n,p

Q n,i

+1 + p ^q β +

par le (3) du Lemme 4.5.

Pour achever notre récurrence transfinie, il nous faut considérer le cas limite. Soient W un sous-ensemble bien ordonné de Γ 1 n’ayant pas d’élé- ment maximal et {a n,γ | γ ∈ W} tels que ∀ β ∈ W, u n (β) = P

γ∈W

γ<β

a n,γ p ^γ soit un développement de Puiseux partiel de u n . Notons u n (W) = P

γ∈W

a n,γ p ^γ . Supposons d’abord que :

∀ i ∈ Λ n , ∃ β ∈ W, ε n,i < β.

Alors, pour tout i ∈ Λ n , i < i β et donc l’ensemble {Q n,i } _i∈Λ

n

forme un système complet de polynômes-clés pour l’extension K n−1 ֒ → K n−1 (u n ).

Ainsi :

∀ f ∈ K n−1 [u n ], ∃ i ∈ Λ n , ν(f ) = ν n,i (f ).

On en déduit donc, à l’aide de la définition du développement de Puiseux partiel, que :

∀ f ∈ K n−1 [u n ], ν(f ) = v(f (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))).

Or tout f ∈ R tel que ν(f ) ∈ Γ 1 s’écrit f = f ^′ + f ^′′ , avec f ^′ ∈ K n−1 [u n ] et

ν 0 (f ^′′ ) > ν(f ).

On a alors :

v(f ^′′ (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))) > ν (f ) = ν(f ^′ )

= v(f ^′ (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W)))

= v(f (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))).

D’où, pour tout f ∈ R tel que ν(f ) ∈ Γ 1 , on a :

ν(f ) = v(f (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))).

Enfin, le même résultat est vrai pour tout f ∈ R ⊗ R

K n−1 tel que ν(f ) ∈ Γ 1 .

S’il existe un f ∈ R tel que ν (f ) ∈ / Γ 1 , alors l’ensemble Λ n contient un élé- ment maximal λ et donc il existe un β ∈ W tel que ε n,λ < β. Alors f s’écrit de manière unique sous la forme f = Q ^a _n,λ f ˜ , où a ∈ N, ˜ f ∈ R ⊗ R

K n−1 tel que ν( ˜ f ) ∈ Γ 1 . Par le cas précédent, ν( ˜ f ) = v( ˜ f (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))) et donc ν(f ) = v(f (u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))).

On définit alors u n (p) = u n (W) et la construction du développement de Puiseux s’arrête.

Supposons, pour terminer, que :

∃ i ∈ Λ n , ∀ β ∈ W, ε n,i > β.

On note alors

i W = min{i ∈ Λ n | ∀ β ∈ W, ε n,i > β}, β ˜ = v(Q n,i

(u 1 (p), ..., u n−1 (p), u n (W))),

˜ ε = max

b∈N

( β ˜ − ν(∂ n,p

Q n,i

) p ^b

)

et

β + = min{˜ ε, ε n,i

}.

Enfin, on pose u n (β + ) = u n (W), ceci nous définit alors un nouveau déve- loppement de Puiseux partiel sur lequel on peut continuer la récurrence.

5. Des résultats de dépendance intégrale

Les résultats de cette section sont donnés dans le cas mixte, en rempla-

çant W par k, W par k ν , p par t et n par n + 1, on obtient les mêmes

résultats dans le cas équicaractéristique.

Proposition 5.1. — Soient i ∈ Λ n , β = ε n,i (c’est-à-dire i = i β ), et h ∈ R. Alors :

ν n,i (h) = min

α∈N {ν(∂ n,α h) + αβ} = min

α∈N {ν n,i (∂ n,α h) + αβ} . Preuve : Soient h ∈ R et α ∈ N , par la Proposition 3.10, on a :

ν n,i (h) − ν n,i (∂ n,α h) 6 αβ.

On obtient alors : ν n,i (h) 6 min

α∈N {ν n,i (∂ n,α h) + αβ} 6 min

α∈N {ν(∂ n,α h) + αβ} .

Montrons que ces inégalités sont des égalités. Par la Remarque 4.5 (3), on a :

ν n,i (h) = µ β (h) = ν β (ι β,T (h)).

Soit h =

s

P

j=0 d n,j,i Q ^j _n,i le développement (n, i)-standard de h, on pose : S = {j ∈ {0, ..., s n,i } | jβ + ν(d n,j,i ) = ν n,i (h)}.

Tout élément j ∈ S s’écrit de la forme j = p ^e u où p ne divise pas u. Prenons un j ∈ S tel que p ^e+1 divise j ^′ , pour tout j ^′ ∈ S tel que j ^′ < j. On pose alors α = p ^b

j et à l’aide de la Proposition 3.11 on en déduit que :

ν n,i (h) − ν(∂ n,α h) = ν n,i (h) − ν n,i (∂ n,α h) = αβ.

Notons A le sous-anneau de W hh

p ^Γ

ii

engendré par ι(p), ι(u 1 ), ..., ι(u n ) et toutes leurs troncatures. Pour tout j ∈ {r, ..., n} et β ∈ Γ ∪ {∞}, on note A j,β le sous-anneau de A engendré par toutes les troncatures ouvertes de la forme u j

(β ^′ ), où (j ^′ , β ^′ ) < lex (j, β) pour l’ordre lexicographique.

Proposition 5.2. — Soient j ∈ {r, ..., n}, β ∈ Γ∪{∞}, g, h ∈ A j,β [u j (β)]

et λ ∈ Γ 1 . On suppose que v(gh) < λ.

Il existe alors l ∈ N, λ 0 < ... < λ l et δ 1 > ... > δ l éléments de Γ 1 tels que : (gh)(λ) =

l

X

i=1

g[λ i−1 , λ i [ h(δ i ).

De plus, on peut choisir les suites (λ i ) 06i6l et (δ i ) 16i6l de telle sorte que

λ l 6 λ − v(h) et δ 1 6 λ − v(g).

Preuve : Notons supp(g) (resp. supp(h)) l’ensemble de tous les ε ∈ Γ 1 tels que le coefficient devant p ^ε de g (resp. de h) soit non-nul. On va construire les deux suites cherchées par récurrence.

On pose λ 0 = v(g) et δ 1 = λ − λ 0 , par hypothèses on a bien λ 0 6 λ − v(h).

Supposons maintenant que, pour tout q > 1, on ait construit λ 0 < ... < λ q

et δ 1 > ... > δ q avec λ q 6 λ − v(h) et δ i = λ − λ i−1 , pour 1 6 i 6 q. Posons alors :

B q = {ε ∈ supp(g) | ∃ θ ∈ supp(h), θ + λ q < λ 6 θ + ǫ}.

Si B q = ∅, on pose l = q et la récurrence s’arrête (remarquons que ceci arrive lorsque λ q > λ − v(h)). De plus, par construction, on a l’égalité :

(gh)(λ) =

l

X

i=1

g[λ i−1 , λ i [ h(δ i ).

Si B q 6= ∅, on pose λ q+1 = min{λ − v(h), min B q } et δ q+1 = λ − λ q . Par définition de λ q+1 et de δ q+1 et par hypothèse de récurrence on a bien que λ q < λ q+1 et δ q > δ q+1 . De plus, on remarque que :

{λ − λ q+1 , λ − λ q } ∩ supp(h) 6= ∅.

On obtient alors une suite strictement décroissante d’ensembles : supp (h(λ − λ 1 )) % ... % supp (h(λ − λ q+1 )) ,

où supp (h(λ − λ q+1 )) est un segment initial de supp (h(λ − λ q )). Le pro- cessus s’arrête donc au bout d’un nombre fini d’itérations, ceci entraînant la finitude des suites (λ i ) i et (δ i ) i .

Corollaire 5.3. — Soient j ∈ {r, ..., n}, β ∈ Γ ∪ {∞}, g 1 , ..., g s ∈ A j,β [u j (β)] et λ ∈ Γ 1 . On suppose que v(g 1 ...g s ) < λ. Alors :

(g 1 ...g s )(λ) = X

(i

,...,i

)∈N s

Y

j=1

g j (λ ^(j) _i

),

où N ⊂ (N ^∗ ) ^s est un ensemble fini et λ ^(j) _i

∈ Γ 1 + sont tels que λ ^(j) _i

6 λ avec inégalité stricte s’il existe j ^′ ∈ {1, ..., s}\{j} tel que v(g j

) > 0.

Preuve : Par récurence sur s en appliquant la Proposition 5.2.

Corollaire 5.4. — Soient j ∈ {r, ..., n}, β ∈ Γ ∪ {∞}, g 1 , ..., g s ∈ A j,β [u j (β)] et λ ∈ Γ 1 . On suppose que v(g 1 ...g s ) < λ. Alors :

(g 1 ...g s )(λ) ∈ A j,β [u j (β)].