Modèles et calcul d'interfaces Une approche eulérienne du couplage uide/structure M2R Mathématiques Appliquées, UJF, Grenoble

Modèles et calcul d'interfaces

Une approche eulérienne du couplage uide/structure

M2R Mathématiques Appliquées, UJF, Grenoble Emmanuel Maitre^∗

16 avril 2008

Fig. 1 Surface d'iso-vorticité lors de la relaxation d'une membrane élastique immergée

∗Emmanuel.Maitre@imag.fr, http://www-lmc.imag.fr/lmc-edp/Emmanuel.Maitre/

Table des matières

1 Introduction 4

2 Outils mathématiques 5

2.1 Notations pour le calcul diérentiel . . . 5

2.2 Courbes caractéristiques . . . 5

2.3 Formules de Reynolds . . . 7

2.4 Equation de transport . . . 8

3 Milieu continu multiphysique 9 3.1 Cadre général . . . 9

3.2 Exemple d'une cellule sans noyau . . . 10

3.3 Conservation du volume : incompressibilité . . . 10

3.4 Conservation de la masse . . . 11

3.5 Conservation de la quantité de mouvement de la courbe élastique . . . 11

3.6 Conservation de la quantité de mouvement du milieu continu . . . 12

3.7 Lois de comportement . . . 12

3.7.1 Milieu uide . . . 12

3.7.2 Courbe élastique . . . 13

3.8 Modèle frontière immergée . . . 13

4 Formulation level set 13 4.1 Régularité des ensembles de niveau . . . 14

4.2 Expression des grandeurs géométriques de Γ_t . . . 14

4.3 Expression de l'étirement de la courbe élastique en fonction de φ . . . 15

4.4 Expression de la force élastique en level set . . . 18

4.5 Approximation des mesures surfaciques . . . 19

4.6 Modèle nal pour une courbe élastique immergée . . . 20

5 Généralisations 20 5.1 Extension à la dimension trois . . . 20

5.2 Autres expressions de la force élastique . . . 22

5.3 Cas des forces de courbure . . . 23

5.4 Courbe ou surface élastique non fermée . . . 24

6 Elasticité eulérienne d'un solide 24 6.1 Introduction . . . 24

6.2 Formulation in the isotropic case . . . 25

7 Modèle complet pour la cellule avec noyau 27 8 Résultat d'existence pour un problème simplié 29 9 Mise en oeuvre numérique 30 9.1 Réinitialisation ou renormalisation de φ? . . . 30

9.1.1 Problématique . . . 30

9.1.2 Validation numérique . . . 32

9.2 Adimensionalisation des équations . . . 32

9.3 Schémas numériques pour Navier-Stokes . . . 33

9.3.1 Méthode de projection explicite . . . 34

9.3.2 Méthode de projection implicite . . . 35

9.4 Schémas WENO pour l'équation de transport . . . 37 9.5 Déplacement implicite de l'interface . . . 40

10 Exemples de simulations numériques 41

10.1 Elasticité eulérienne . . . 41 10.2 Membrane élastique dans un uide . . . 41

11 Conclusion et perspectives 42

12 Problème 1 : courbe élastique en dimension 3 45

13 Problème 2 : Level-set / champ de phase 46

14 Problème 3 : déplacement d'une courbe sur une surface xe et optimisation 48 NOTE : ce document reprend les résultats obtenus avec Georges-Henri Cottet [13, 14] et les fruits de discussions menées avec mes collègues du LMC Eric Bonnetier et Annie Raoult à propos des vésicules phospholipidiques, notamment lors des réunions avec nos collègues physiciens du LSP dont Julien Beaucourt, Chaouqi Misbah et Philippe Peyla. La formulation eulérienne du couplage d'un uide et d'un solide élastique est un travail mené en collaboration avec Georges-Henri Cottet et Denis Caillerie du laboratoire 3S.

1 Introduction

L'interaction d'un solide élastique avec un milieu uide est à la base de nombreux phénomènes physiques. Pour ne citer que quelques exemples, l'aéronautique où l'écoulement de l'air est couplé avec le mouvement élastique de la structure, et dans un contexte grenoblois, le développement récent des bio-mathématiques et bio-physique qui mènent à l'étude de structures biologiques de type élastique plongées dans leur milieu naturel ou expérimental, de type uide (vésicules phospholipidiques (LSP), membranes biologiques, cardiomyocyte isolé (TIMC)).

La complexité du couplage provient en particulier de la nature diérente des modèles entrant en jeu : le milieu uide est naturellement décrit en variables eulériennes, la structure élastique voit sa défor- mation s'exprimer plus traditionnellement en variables lagrangiennes. Des outils pour la modélisation et la simulation numérique des problèmes de couplage uide-structure existent depuis de nombreuses années notamment du fait de leur impact aéronautique. En particulier, ces dernières années, la méthode ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian, [27, 23]) a rencontré un vif succés et a fait ses preuves. Dans cette méthode, le maillage eulérien du uide est déplacé en accord avec le mouvement de la structure élastique, ce qui peut conduire à des dicultés lors de grands déplacements et/ou de changements de topologie de l'interface.

Justement, dans le cadre biophysique, les structures immergées que nous avons à l'esprit peuvent parfois changer de topologie, notamment lors d'une mitose ou méiose. D'autre part, les déplacements sont souvent importants comme dans le cas de l'écoulement d'une vésicule dans un uide. Enn, nous voudrions pouvoir considérer éventuellement un réseau de structures élastiques sans augmenter de manière inconsidérée la complexité du calcul, de manière à modéliser un tissu de cellules, par exemple.

Dans cet esprit, la méthode de frontière immergée de Peskin [34, 35] apporte une première réponse au problème en considérant l'ensemble uide-structure comme un milieu continu unique, les conditions de couplage étant représentées par des forces surfaciques dans l'équation uide. Cette méthode a été appliquée avec succés dans nombre de situations [35].

La méthode de Peskin a cependant quelques inconvénients qui proviennent du fait qu'elle demeure en partie lagrangienne : la force surfacique rendant compte du couplage uide-structure en second membre des équations uide est évaluée en utilisant des marqueurs lagrangiens qui sont déplacés par l'écoulement. Ces marqueurs n'étant pas alignés avec le maillage, les erreurs inévitables d'interpolation sont sources d'imprécision, notamment de perte de volume des structures fermées. D'autre part un traitement spécique est nécessaire pour les grands déplacements, où des marqueurs doivent être insérés ou supprimés.

Une alternative possible est d'abandonner le suivi d'interface au prot d'une méthode de capture d'interface. La méthode des level-set que nous utiliserons ici est maintenant classique pour capturer une interface [33]. Elle réside dans l'idée de représenter l'interface par la ligne de niveau zéro d'une fonction et de récupérer les informations géométriques comme la normale et la courbure à partir de cette fonction auxiliaire. La nouveauté ici est d'exprimer certaines propriétés mécaniques comme l'étirement d'une courbe à partir de cette fonction level-set, et ainsi plonger l'ensemble du problème de couplage uide-structure dans le domaine eulérien, dans le cas d'une structure de codimension une.

Des généralisations à des structures volumiques ou de codimension deux seront aussi introduites.

Mais avant d'atteindre ces objectifs, nous allons refaire ensemble le chemin du début, en nous ar- rétant parfois sur telle ou telle notion mathématique qui mérite, dans notre contexte, une attention particulière. Nous prendrons comme objet d'application la modélisation et la simulation d'un prototype de cellule : une membrane élastique délimitant un volume occupé par un uide incompressible et un corps élastique, le tout entouré d'un autre uide. Un premier paragraphe sera consacré à la mise en place d'une formulation multi-physique du problème de couplage de membrane élastique seule avec les uides intérieur et extérieur, et se concluera par la méthode de frontière immergée au sens de Peskin ; un deuxième présentera la méthode de level-set et son utilisation conjointement à la méthode précé- dente. Diverses extensions seront ensuite abordées : l'aspect tri-dimensionnel, le cas des courbes et

surfaces non fermées, la prise en compte de forces de courbure. Puis nous ajouterons le noyau élastique en introduisant une formulation eulérienne de l'élasticité de celui-ci, couplée avec les objets précédents.

Enn nous aborderons des aspects numériques de l'implémentation de ces méthodes, et illustrerons ceci par des exemples de simulations.

Ces notes sont un cours de "modélisation mathématique", le lecteur ne trouvera pas ici une étude, intéressante par ailleurs, sur les hypothèses minimales de régularité sur les objets mathématiques pour assurer toute la rigueur du chemin à parcourir pour aboutir aux modèles présentés.

2 Outils mathématiques

Soit Ω un ouvert borné de R^d, et T >0. On considère un champ de vecteurs u : Ω×[0, T]→R^d tel que

(H) u∈ C¹(Ω×[0, T])etu= 0 sur∂Ω×[0, T] 2.1 Notations pour le calcul diérentiel

Les dérivées partielles seront notées parfois en indice : φt := ^∂φ_∂t. Si la quantité dérivée comporte un indice, on sépare l'indice de la variable de dérivation par une virgule : f_i,xj. On note pour une fonction f de R^d dans R, Df sa diérentielle et ∇f son gradient. On a donc pour tout h ∈ R^d, Df(x)(h) = ∇f(x)·h. Pour un champ de vecteurs v : R^d → R^d, [Dv] est la diérentielle de v, c'est à dire l'application linéaire de matrice ∇v ou vx, la matrice carrée de taille d dont l'élément ligne i colonnej vaut v_i,xj. Avec ces notations, pour φ:R^d→R,v:R^d→R^d etX :R^d×]0, T[→R^don a les formules de dérivations composées suivantes :

(φ(X))_t=∇φ(X)·X_t, D[φ(X)] =Dφ(X)[DX], D[v(X)] = [Dv](X)[DX]

où l'on a noté multiplicativement la composition des applications.

2.2 Courbes caractéristiques

Pour ξ ∈Ω et s∈]0, T], On note τ → X(τ;ξ, s) la solution du système diérentiel Xτ =u(X, τ) muni de la condition initialeX(s) = ξ. La solution de ce système existe et est unique dans le cadre classique par exemple sous l'hypothèse que le champ de vitesse est lipschitzien enx, uniformément en t. Des solutions plus générales, dénies presque partout, ont été introduites par Lions et DiPerna [18].

Nous nous sommes placés dans le cadre d'un champ de vitesse régulier (hypothèse (H), qui est plus forte queuuniformément lipschitzien carΩest borné), de sorte que nous considérons ici des solutions classiques.

L'interprétation physique deX(τ;ξ, s)est la position à l'instantτ d'une particule du milieu continu située à l'instantsà la position ξ. Intuitivement, le lemme suivant est évident :

Lemme 1 Sous l'hypothèse (H) on a

∀(t₁, t₂)∈[0, T]², ∀x∈Ω, X(t₁;X(t₂;x, t₁), t₂) =x

Démonstration. Soit ξ = X(t₂;x, t₁). Alors X(τ;ξ, t₂) est solution du système diérentiel X_τ = u(X, τ) muni de la condition X(t₂) = ξ. Mais X(τ;x, t₁) est solution du même système et vérie X(t2;x, t1) = ξ. D'après (H) la solution de ce système est unique donc X(τ;x, t1) = X(τ;ξ, t2). En particulier nous avons l'identité annoncée enτ =t1, puisqueX(t1;x, t1) =x. La propriété ci-dessus nous indique que la transformation x→X(t₁;x, t₂) est inversible, d'inverse X(t2;·, t₁). En fait nous avons plus :

Proposition 1 L'application x → X(t1;x, t2) est un C¹-diéomorphisme de Ω dans lui-même. Son jacobienJ(t₁;x, t₂), continu enx, est strictement positif, est tel quet→J(t;x, t₂) est de classe C¹ en tet vérie

Jt(t1;x, t2) = (divu)(X(t1;x, t2), t1)J(t1;x, t2)

Démonstration. L'inversibilité dex→X(t1;x, t2) provient du lemme ci-dessus. La régularitéC¹ de X est classique sous les hypothèses faites suru; cela correspond en eet à un résultat de régularité de la solution d'un système diérentiel par rapport à des paramètres. Pour voir ceci, posonsZ(τ;x, t) = X(τ+t;x, t)−x. Le système diérentiel enXest équivalent au système diérentielZτ =u(Z+x, τ+t) avec la condition initiale Z(0) = 0. Comme u a été supposé de classe C¹ en (x, t), on en déduit que X est de classeC¹ par rapport à(τ, x, t), en appliquant, par exemple, le théorème page 286 de [16] ou le théorème 3.6.1 page 151 de [8]. On pourra aussi consulter [17], pages 182 à 192. En diérentiant la relation du lemme 1 par rapport àx, on a

[DX](t1;X(t2;ξ, t1), t2)[DX](t2;x, t1) =Id

oùIdreprésente la matrice identité de M_d(R). Soit en prenant le déterminant J(t2;x, t1)J(t1;X(t2;ξ, t1), t2) = 1

qui prouve queJ ne s'annule pas. A(x, t) xé, commeτ →Xx(τ;x, t) vérie Yτ =ux(X(τ;x, t), τ)Y et Y(t) = Id, et que τ → ux(X(τ;x, t), τ) est continu, τ → Xx(τ;x, t) et donc τ → J(τ;x, t) sont de classe C¹. CommeJ(t;x, t) = 1, et que J ne s'annule pas, il est donc toujours strictement positif.

D'autre part en dérivantJ par ligne, on a en dimension deux, Jt= d

dt

X1,x₁ X1,x₂

X2,x₁ X2,x₂

=

∂

∂tX1,x₁ ∂

∂tX1,x₂

X_2,x1 X_2,x2

+

X_1,x1 X_1,x2

∂

∂tX_2,x1 ^∂_∂tX_2,x2

=

u_1,x1(X)X_1,x1 +u_1,x2(X)X_2,x1 u_1,x1(X)X_1,x2 +u_1,x2(X)X_2,x2

X2,x1 X2,x₂

+

X_1,x1 X_1,x2

u_2,x1(X)X_1,x1 +u_2,x2(X)X_2,x1 u_2,x1(X)X_1,x2 +u_2,x2(X)X_2,x2

=u1,x₁(X)

X1,x₁ X1,x₂

X_2,x1 X_2,x2

+u1,x₂(X)

X2,x₁ X2,x₂

X_2,x1 X_2,x2

+u2,x₁(X)

X1,x₁ X1,x₂

X_1,x1 X_1,x2

+u2,x₂(X)

X1,x₁ X1,x₂

X_2,x1 X_2,x2

=u_1,x1(X)×J+u_1,x2(X)×0 +u_2,x1(X)×0 +u_2,x2(X)×J = (divu)(X)J

La démonstration se généralise sans diculté à la dimensiond.

Remarque 1 On peut se demander que ce l'on obtient en dérivant la fonction t→ X(τ;x, t), à τ, x xés. Pour cela on dérivons l'identité démontrée au lemme 1 : X(τ;X(t;x, τ), t) =x par rapport à t ce qui donne

X_t(τ;X(t;x, τ), t) + [DX](τ;X(t;x, τ), t)X_τ(t;x, τ) = 0

D'autre part X_τ(τ;x, t) = u(X(τ;x, t), τ) et on note [DX]u sous la forme u· ∇X. En renommant X(τ;x, t) enx, on a donc

Xt(τ;x, t) +u(x, t)· ∇X(τ;x, t) = 0

Donc la fonction(x, t)→X(τ;x, t) vérie l'équation de transportXt+u· ∇X= 0 accompagnée de la condition initiale ent=τ : X(τ;x, τ) =x.

Avec ces notations, on appelle variables lagrangiennes (ξ, t), et variables eulériennes(x, t) où x = X(t;ξ,0). A noter que de manière symétrique, on a d'après le lemme ci-dessus ξ = X(0;x, t). La régularité du changement de variables eulérien-lagrangien dans notre cadre nous permet donc de passer d'une représentation à l'autre très simplement.

2.3 Formules de Reynolds

Soitf(·, t) une fonction intégrable surΩetω⊂Ω. Soitω(t) =X(t;ω,0)qui représente la position à l'instantt des particules situées initialement dans ω. Alors d'après la proposition 1, le changement de variablesx=X(t;ξ,0), de jacobien strictement positif, donne

Z

ω(t)

f(x, t)dx= Z

ω

f(X(t;ξ,0), t)J(t, ξ,0)dξ

Cette formule de changement de variables nous permet de démontrer le théorème de dérivation de Reynolds.

Proposition 2 Soit un ouvert ω⊂Ω, et soit ω(t) =X(t;ω,0). Soitf ∈ C¹(Ω×[0, T]), alors d

dt Z

ω(t)

f(x, t)dx= Z

ω(t)

∂f

∂t + div(f u)dx (1)

Démonstration. En eet, d

dt Z

ω(t)

f(x, t)dx= d dt

Z

ω

f(X(t;ξ,0), t)J(t, ξ,0)dξ

= Z

ω

∂X

∂t (t;ξ,0)· ∇f(X(t;ξ,0), t) +∂f

∂t(X(t;ξ,0), t)

J(t, ξ,0) +f(X(t;ξ,0), t)∂J

∂t(t, ξ,0)dξ D'après la proposition 1 nous avons donc

d dt

Z

ω(t)

f(x, t)dx= Z

ω

u(X(t;ξ,0), t)· ∇f(X(t;ξ,0), t) +∂f

∂t(X(t;ξ,0), t)

J(t, ξ,0)

+f(X(t;ξ,0), t)(divu)(X(t;ξ,0), t)J(t, ξ,0)dξ

= Z

ω

∂f

∂t + div(f u)

(X(t;ξ,0), t)J(t, ξ,0)dξ= Z

ω(t)

∂f

∂t + div(f u)dx On dispose d'un résultat analogue pour une surface se déplaçant avec le milieu continu :

Proposition 3 SoitS une hypersurface régulière incluse dansΩetS(t) =X(t;S,0). Soit f ∈ C¹(Ω× [0, T]), alors

d dt

Z

S(t)

f(x, t)dσ= Z

S(t)

∂f

∂t + div(f u)−f(∇u n)·ndσ (2) où nest un champ de vecteurs unitaires normal à S(t).

Démonstration. On se place, par exemple, dansR³. Quitte à localiser on suppose que S admet un paramétrageγ : [0,1]² →Ωet on note, pour s∈[0,1]²,x(s, t) =X(t;γ(s),0). On a

Z

S(t)

f(x)dσ= Z

[0,1]²

f(x(s, t), t)|x_,s1∧x_,s2|ds= Z

[0,1]²

f(x(s, t), t)|X_xγ_,s1∧X_xγ_,s2|ds Or pour un vecteurv quelconque,

(X_xγ_,s1∧X_xγ_,s2)·X_xv= det(X_xγ_,s1, X_xγ_,s2, X_xv) = det(X_x[γ_,s1, γ_,s2, v]) ou encore

X_x^t(Xxγ,s1 ∧Xxγ,s2)·v=Jdet(γ,s1, γ,s2, v) =J(γ,s1∧γ,s2)·v

pour tout vecteurv. Donc

X_xγ_,s1∧X_xγ_,s2 =J X_x^−t(γ_,s1∧γ_,s2) En notant

n(t) = x_,s2 ∧x_,s1

|x_,s2 ∧x_,s1| N = γ_,s2 ∧γ_,s1

|γ_,s2 ∧γ_,s1| (N est indépendant de t) on a donc les relations

|X_xγ_,s1 ∧X_xγ_,s2|n=J|γ_,s2 ∧γ_,s1|X_x^−tN n= X_x^−tN

|X_x^−tN| N = X_x^tn

|X_x^tn|

Reprenons l'intégrale de surface Z

S(t)

f(x, t)dσ= Z

[0,1]²

f(X(t;γ,0), t)J|X_x^−tN||γ_,s1 ∧γ_,s2|ds et dérivons la par rapport àtpour obtenir

d dt

Z

S(t)

f(x, t)dσ= Z

[0,1]²

((f_t+u· ∇f)J+J_tf)|X_x^−tN|+f J|X_x^−tN|_t

|γ_,s1 ∧γ_,s2|ds avecJt=Jdivu. Or

|X_x^−tN|_t= X_xt^−tN·X_x^−tN

|X_x^−tN| =X_xt^−tN ·n

et en dérivant X_xX_x⁻¹ = I, on a X_xtX_x⁻¹+X_xX_xt⁻¹ = 0 avec X_xt =u_xX_x. Donc X_xt⁻¹ =−X_x⁻¹u_x et X_xt^−t=−u^t_xX_x^−t. Finalement nous avons donc

|X_x^−tN|_t=−u^t_xX_x^−tN ·n=−u^t_xn·n|X_x^−tN|=−u_xn·n|X_x^−tN|

ce qui démontre la formule.

2.4 Equation de transport

L'équation de transport par un champ de vitesse de classe C¹ nul au bord d'un domaine Ω d'une fonction φ0 s'écrit

(φt+u· ∇φ= 0 surΩ×R⁺ φ=φ₀ surΩ× {0}

Passons en revue quelques propriétés de ces équations linéaires :

Proposition 4 Supposons φ0 de classe C¹, le problème ci-dessus admet une solution unique de classe C¹ donnée par

φ(x, t) =φ₀(X(0;x, t)) Démonstration. Calculons

∂

∂τφ(X(τ;x, t), τ) =φ_t(X(τ;x, t), τ) +X_τ(τ;x, t)· ∇φ(X(τ;x, t), τ) = 0

en remarquant que Xτ(τ;x, t) = u(X(τ;x, t), τ), et en utilisant l'équation. Donc φ(X(τ;x, t), τ) ne dépend pas deτ, si bien qu'en prenant τ =t etτ = 0on obtientφ(X(t;x, t), t) =φ(X(0;x, t),0)soit

φ(x, t) =φ0(X(0;x, t)).

Remarque 2 On retrouve ainsi le résultat de la remarque 1 coordonnée par coordonnée : en eet dans le cas du choix φ0(x) =xi, on obtient φ(x, t) =Xi(0;x, t) qui vérie bien l'équation de transport.

Le corollaire ci-dessous est intéressant pour construire une fonction solution d'une équation de transport à partir de solutions correspondant à des conditions initiales élémentaires.

Corollaire 1 Supposons que la condition initialeφ0 soit de la formeφ0(x) =F(φ¹₀(x), . . . , φ^N₀ (x)) où F est une fonction régulière de R^N dans R et les φ^k₀ sont C¹. Alors

φ(x, t) =F(φ¹(x, t), . . . , φ^N(x, t)) où φ^k est la solution de l'équation de transport de condition initiale φ^k₀.

Démonstration. Cela découle trivialement de l'expression de la solution donnée dans la proposition

précédente.

Pour pouvoir transporter la densité du milieu continu qui est une mesure, il nous faut un résultat donnant la solution de l'équation de transport pour ce type de condition initiale. Rappelons que l'on noteM(Ω)le dual de l'espaceC_c⁰(Ω)des fonctions continues à support compact surΩ. En particulier les fonctions f ∈L¹_loc(Ω)sont dans cet espace et hf, hi=R

Ωf(x)h(x)dx.

Proposition 5 Soit φ₀ ∈ M(Ω)et u vériant(H). Alors l'équation de transport de condition initiale φ₀ admet une unique solution φ∈ C¹([0, T];M(Ω)), au sens

∀h∈ C_c¹(Ω)hφ_t, hi − hφ,div(uh)i= 0 Elle est dénie par

∀h∈ C_c⁰(Ω), hφ, hi=hφ₀, ξ→h(X(t;ξ,0))J(t;ξ,0)i On la note symboliquementφ₀(X(0;x, t)).

Démonstration. Ces outils sont unes des briques de bases des méthodes particulaires : Voir [12] ou [38, 39]. Formellement on écrit, pourh∈ C_c¹, et en utilisant la proposition 1,

hφ_t, hi= d

dthφ, hi= d

dthφ₀, ξ →h(X)J(t;ξ,0)i

=hφ₀, ξ→X_t(t, ξ,0)· ∇h(X)J(t, ξ,0) +h(X)J_t(t, ξ,0)i

=hφ₀, ξ →u(X, t)· ∇h(X)J(t, ξ,0) +h(X)(divu)(X, t)J(t, ξ,0)i

=hφ₀, ξ →div(uh)(X)J(tξ,0)i=hφ,div(uh)i

3 Milieu continu multiphysique

3.1 Cadre général

Dans ce cours nous appellerons milieu continu contenu dans un ouvert borné Ω de l'espace R^d, d= 2 ou 3, pendant l'intervalle de temps [0, T],T >0, la donnée d'un champ de vecteursu vériant l'hypothèse (H), et d'une fonction ρ de [0, T] dans M(Ω), l'ensemble des mesures sur Ω (dual des fonctions continues à support compact dans Ω). On suppose la mesure ρ bornée. La quantité ρ(t) représentant la densité à l'instantt, et le fait de prendre une mesure permet de traiter le cas de courbe ou surface élastiques immergées dans un uide. Ce milieu continu va donc représenter à la fois du uide et des solides élastiques dont les mouvements seront couplés. L'hypothèse faite implicitement en considérant un champ de vitesse global régulier est que le contact entre les solides élastiques et les uides est collant, c'est à dire qu'il n'y a pas de glissement de uide sur les solides, ni de transfert de matière d'un milieu à l'autre. Ceci se traduirait en eet par une discontinuité de la composante tangentielle du

champ de vitesse lors de la traversée de l'interface, et mènerait à d'autres développements. On appelle masse et quantité de mouvement d'un ouvertω⊂Ω :

m(ω, t) = Z

ω

ρ(t) q(ω, t) = Z

ω

u(x, t)ρ(t)

ou plus rigoureusement m(ω, t) = ρ(t)(ω) et q(ω, t) = hρ(t), u1_ωi. A noter que dans le cas où les structures élastiques immergées ont la même dimension que le uide,ρ est une fonction intégrable et les quantité ci-dessus ont leur expression usuelle. Pour l'instant nous supposons que ce milieu continu vérie les deux principes suivants que nous expliciterons ci-dessous :

(a) La masse est conservée.

(b) La variation de la quantité de mouvement d'une portion de milieu égale les forces appliquées sur celle-ci.

3.2 Exemple d'une cellule sans noyau

Comme exemple applicatif nous choisissons une cellule baignant dans un uide, dont le cytosol est délimité par une membrane élastique fermée (une courbe ou une surface selon la dimension) et, pour l'instant, sans noyau. Au paragraphe 7, nous ajouterons ce noyau qui sera représenté par un solide élastique. La présentation est faite ci-dessous en dimension deux. Une généralisation à la dimension trois et aux courbes non fermées sera traitée en n de cours.

On considère une courbe élastique fermée régulièreΓe dans une conguration au repos, représentée par un paramétrage régulier θ: [0, M]→ R², M > 0. Sa masse linéïque dans cette conguration est notée λ_θ(s). Cette courbe se déplace entre les instants t = 0 et t = T, et l'on note Γt, sa position au temps t. En particulier Γ₀ est sa position initiale, et Γ₀ 6= eΓ en général, si la courbe n'est pas initialement au repos. Notons s→γ₀(s) ets→ λ₀(s) un paramétrage et une masse linéique pourΓ₀ tels queλ0|γ_0s|=λθ|θ_s|. Soit γ : [0, M]×[0, T]→γ(s, t) le paramétrage régulier deΓt transporté par le champ de vitesse du milieu continu, c'est à direγ(s, t) =X(t;γ₀(s),0)ou de manière équivalente la solution du système diérentiel :

(γt(s, t) =u(γ(s, t), t), s∈[0, M], t∈]0, T]

γ(s,0) =γ₀(s), s∈[0, M]. (3)

La courbeΓt, est entourée de uides newtoniens incompressibles et homogènes : dans le domaineΩ1(t) à l'intérieur de Γ_t le uide 1 est de densitéρ₁ et de viscositéµ₁. A l'extérieur de Γ_t (domaine Ω₂(t)) le uide2 est de densitéρ₂ et de viscosité µ₂.

Cet exemple correspond à se donner

ρ=ρ11_Ω1(t)+ρ21_Ω2(t)+λδΓt

oùδ_Γ est la mesure portée par la courbe Γ, dénie par

∀h∈ C₀⁰(Ω), hδ_Γ, hi= Z

Γ

h(x)dσ.

3.3 Conservation du volume : incompressibilité

Un milieu est dit incompressible si tout ouvert ω se déforme en un ouvert ω(t) = X(t;ω,0) de même mesure pour tout t. On a donc

d dt

Z

ω(t)

dx= 0

d'où en appliquant la proposition précédente avecf = 1, Z

ω(t)

divudx= 0 et ceci pour toutω(t). D'où la condition d'incompressibilité :

divu= 0

D'après la formule de dérivation deJ on voit que cette condition s'écrit aussi J = 1. 3.4 Conservation de la masse

Considérons un volume élémentaire contenu dans un ouvertω⊂Ω. SoitΓ⁰₁₂la partie éventuellement vide de Γ0 rencontrant ω. Soit J ⊂ [0, M] tel que γ0(J) = Γ¹²₀ . On pose ω(t) = X(t;ω,0) (c'est un ouvert car X est un diéomorphisme) et Γ12(t) = X(t; Γ⁰₁₂,0). On pose ωi(t) = Ωi(t)∩ω(t) pour i= 1,2. La masse dans ω(t) est conservée. On a donc

d dt

Z

ω(t)

ρ= 0 ce qui donne dans notre exemple

d dt

( ₂ X

i=1

ρ_imes(ω(t)∩Ω_i(t)) + Z

J

λ(s, t)|γ_s|ds )

= 0 D'après l'incompressibilité ci-dessus,mes(ω(t)∩Ω_i(t))est constante, donc

Z

J

∂

∂t(λ(s, t)|γ_s|)ds= 0 Comme le domaine est quelconque, J l'est aussi, donc

∂

∂t(λ(s, t)|γ_s|) = 0 (4)

Cette relation intégrée s'écritλ(s, t)|γ_s|=λ(s,0)|γ_s⁰|=λ_θ(s)|θ_s|. La quantité connue, mesurée sur une balance est cette dernière densité linéïque.

NB : la courbe n'est donc pas incompressible en tant que milieu continu monodimensionel.

3.5 Conservation de la quantité de mouvement de la courbe élastique Pour un morceau élémentaire entre sets+ds elle s'écrit

(λ(s, t)γ_t(s, t)|γ_s|ds)_t=T(s+ds)−T(s) +f_e(s, t)|γ_s|ds

oùλ(s, t)est la masse linéïque de la courbe,T(s, t)la tension au points,f_e la densité linéïque de force totale exercée sur la membrane. On a donc en passant à la limite ends→0

(λ(s, t)|γ_s|γ_t(s, t))_t= ∂T

∂s(s, t) +f_e(s, t)|γ_s| (5) ce qui s'écrit aussi, daprès la conservation de la masse de la courbe,

λ(s, t)|γ_s|γ_tt(s, t) = ∂T

∂s(s, t) +fe(s, t)|γ_s| (6)

3.6 Conservation de la quantité de mouvement du milieu continu

La dérivée en temps de la quantité de mouvement de ω(t) est égale par principe à la somme des forces appliquées sur ω(t). Ces forces sont de deux natures : les forces volumiques et les forces surfaciques. Les premières sont de la forme ρf(x, t), densité volumique de force. Les secondes sont d'après l'hypothèse sur les actions de contact et le théorème de Cauchy (cf Duvaut [19] ou Ciarlet [9]) de la formeσnoùσ est le tenseur des contraintes de Cauchy etnla normale sortante à∂ω(t). Notons f_elasⁱ la force exercée par la courbe élastique sur le uide i, et σⁱ le tenseur des contraintes dans le milieu i. Dans ω1(t), la conservation de la quantité de mouvement s'écrit

d dt

Z

ω1(t)

ρ1udx= Z

ω1(t)

ρ1f dx+ Z

∂ω1(t)\Γ12(t)

σ¹ndσ+ Z

Γ12(t)

f_elas¹ dσ d'où en utilisant la formule de Reynolds,

Z

ω1(t)

ρ1(ut+u· ∇u) = Z

ω1(t)

ρ1f dx+ Z

∂ω1(t)\Γ12(t)

σ¹ndσ+ Z

Γ12(t)

f_elas¹ dσ et de même dansω₂(t),

Z

ω1(t)

ρ2(ut+u· ∇u) = Z

ω2(t)

ρ2f dx+ Z

∂ω2(t)\Γ12(t)

σ²ndσ+ Z

Γ12(t)

f_elas² dσ En intégrant surΓ₁₂(t) l'équation (5) on a

Z

Γ12(t)

λ(s, t)γ_tt(s, t)dσ= Z

Γ12(t)

1

|γ_s|

∂T

∂sdσ+ Z

Γ12(t)

(f_{f luide}¹ (s, t) +f_{f luide}² (s, t) +f_ext(s, t))dσ où f_{f luide}ⁱ est la force exercée par le uide i sur la membrane, et fext une densité linéique de force extérieure. Par le principe de l'action et de la réaction, on a

f_{f luide}ⁱ +f_elasⁱ = 0, i= 1,2 D'autre part en dérivant (3) on aγtt =ut+γt· ∇u=ut+u· ∇u. D'où

2

X

i=1

Z

ωi(t)

ρ_i(u_t+u· ∇u)dx+ Z

Γ12(t)

λ(s, t)(u_t+u· ∇u)dσ= Z

ω(t)

ρf dx+ Z

Γ12(t)

f_extdσ

+ Z

∂ω1(t)\Γ₁₂(t)

σ¹ndσ+ Z

∂ω2(t)\Γ₁₂(t)

σ²ndσ+ Z

Γ12(t)

1

|γ_s|

∂T

∂sdσ (7) 3.7 Lois de comportement

Pour fermer le modèle, il faut déterminer l'expression de σ, ce qui correspond à xer une loi de comportement. C'est à ce moment que le type de milieu continu (uide, solide élastique, ...) intervient.

3.7.1 Milieu uide

On appelle uide un milieu tel queσ est fonction du tenseur vitesses de déformations donné par D(u) = 1

2(∇u+∇u^t)

En particulier le uide est dit newtonien si la fonction est ane. Pour un écoulement incompressible, on a

σ=−pId+ 2µD(u)

oùpest la pression etµla viscosité du uide. Finalement la conservation de la quantité de mouvement pour un uide incompressible newtonien correspond aux équations de Navier-Stokes qui s'écrivent :

ρ(ut+u· ∇u) +∇p−2 div(µD(u)) =ρf, divu= 0

Pour les domaines uides du problème qui nous intéresse, le tenseur des contraintes vaut donc σⁱ =−pI+µⁱD(u)

3.7.2 Courbe élastique

On se donne une loi de comportement élastique pour la courbe. Celle-ci d'après une adaptation au cas 2D de [30] est de la forme

T(s) =E⁰ |γ_s|

|θ_s| γ_s

|γ_s| (8)

oùE⁰ est une fonction vériant E⁰(r) = 0 pourr ≤1.

3.8 Modèle frontière immergée On pose

ρ(x, t) =

2

X

i=1

ρi1_Ωi(t) σ(x, t) =

2

X

i=1

σi1_Ωi(t)

En remarquant que ∂ω(t) = (∂ω₁(t)\Γ₁₂(t))∪(∂ω₂(t)\Γ₁₂(t)), et en appliquant le théorème de la divergence sur ω(t)on a

Z

ω(t)

ρ(ut+u· ∇u)dx+ Z

Γ12(t)

λ(s, t)(ut+u· ∇u)dσ

= Z

ω(t)

ρf dx+ Z

Γ12(t)

f_extdσ+ Z

ω(t)

divσ+ Z

Γ12(t)

1

|γ_s|

∂

∂s

E⁰ |γ_s|

|θ_s| γ_s

|γ_s|

dσ (9) Formellement, on obtient une équation de qui ressemble à Navier-Stokes non homogène avec une force surfacique et une masse volumique comportant une contribution surfacique. On l'écrit sous la forme synthétique suivante











(ρ+λδΓ)(ut+u· ∇u)−divσ= n 1

|γs|

∂

∂s

E⁰

_|γ

s|

|θs|

γs

|γs|

+fext

o

δΓ+ρf surΩ×]0, T[

divu= 0 surΩ×]0, T[

γt=u(γ, t) sur[0, M]×]0, T[

où on a rappelé l'équation (3) régissant le déplacement de la courbe élastique.

4 Formulation level set

On représente Γt par l'intermédiaire d'une fonction auxiliaireφ: Ω×[0, T]→Rde sorte que Γ_t={x∈Ω, φ(x, t) = 0}.

Commeφ(γ(s, t), t) = 0sur [0, M]×[0, T], on a en dérivant par rapport à t φ_t(γ(s, t), t) +u(γ(s, t), t)· ∇φ(γ(s, t), t) = 0

La méthode des level sets [33] consiste alors à se donner une fonction initialeφ0 représentantΓ0 et à chercher une fonctionφ qui vérie l'équation ci-dessus sur tout le domaine :

(φt+u· ∇φ= 0 surΩ×]0, T[

φ=φ0 surΩ× {0}. (10)

On choisit souvent la fonctionφ0 comme la distance signée à l'interface : φ0(x) =

(−dist(x,Γ₀) si x est à l'intérieur deΓ₀ dist(x,Γ₀) si x est à l'extérieur deΓ₀ 4.1 Régularité des ensembles de niveau

Denition 1 On dit qu'une hypersurfaceS⊂R^d est de classe C^k si tout point de S a un voisinage U tel que la portionS∩U peut être représentée par une équationxi=f(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), oùf est de classeC^k.

La proposition suivante donne la régularité de la ligne de niveau0 d'une fonction :

Proposition 6 Soit φ: Ω → R, continue sur Ω, et de classe C^k sur un ouvert U ⊂ Ω. On suppose que |∇φ| >0 sur U, et que S₀ = {x ∈ Ω, φ(x) = 0} est non vide et inclus dans U. Alors S₀ est de classeC^k.

Démonstration. C'est le théorème des fonctions implicites : soit z⁰ ∈ S₀, comme |∇φ|(z⁰) > 0, il existe i tel que φxi(z⁰) 6= 0. La fonction φxi étant continue, il existe un voisinage U0 ⊂ U de z⁰ tel queφ_xi(z)6= 0 pourz∈U₀. D'après le théorème des fonctions implicites (cf par exemple [8], page 61) il existe donc un voisinageV₀ ⊂U₀ de z⁰, un voisinage W₀ de z⁰_i = (z₁⁰, . . . , z_i−1⁰ , z_i+1⁰ , . . . , z⁰_n) et une applicationψde classe C^k surW0 tels que

z∈V0, φ(z) = 0⇐⇒(z1, . . . , zi−1, zi+1, . . . , zn)∈W0, zi =ψ(z1, . . . , zi−1, zi+1, . . . , zn)

ce qui est exactement la dénition ci-dessus.

Denition 2 Soit S ⊂ R^d une hypersurface fermée de classe C², et x⁰ ∈ S. Soit f telle que xi = f(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) soit une équation de S dans un voisinage U de x⁰. Alors les courbures principales de S enx⁰ sont dénies commes les valeurs propres κ₁, . . . κn−1 de la hessienne [D²f] en (x⁰₁, . . . , x⁰_i−1, x⁰_i+1, . . . , x⁰_n). Les courbures moyenne et de Gauss sont dénies respectivement par

κ= 1 n−1

n−1

X

i=1

κ_i et K=

n−1

Y

i=1

κ_i

Proposition 7 Soit S ⊂ R^d une hypersurface fermée de classe C^k, k ≥ 2, et φ la distance signée (négative à l'intérieur, par exemple) àS. Alors φest de classe C^k sur un voisinage deS.

Pour ce type de proposition on pourra consulter les publications de Delfour et Zolésio sur la géométrie intrinsèque des surfaces.

4.2 Expression des grandeurs géométriques de Γ_t

Avec le choix de signe deφ0 fait ci-dessus, la normale extérieure au domaine entouré parΓt, ainsi que sa courbure s'expriment en chacun de ses points en fonction deφcomme suit :

n(x) = ∇φ

|∇φ| κ(x) = div ∇φ

|∇φ|

La démonstration générale peut être trouvée dans le livre [24], pages 354 à 357. Justions la formule de la courbure en dimension deux. Considérons un paramétrage régulier s → γ(s) de Γ_t tel que, en parcourant la courbe dans le sens deγs, on ait l'intérieur (φ <0) sur sa gauche. La courbure s'exprime en fonction du paramétrage par

κ= [γs, γss]

|γ_s|³

En dérivant l'identitéφ(γ(s)) = 0on a γs· ∇φ= 0. En dérivant γs·_|∇φ|^∇φ = 0 on a γ_ss· ∇φ

|∇φ|+γ_s·

D ∇φ

|∇φ|

γ_s

= 0

Commeγ_s⊥ _|∇φ|^∇φ on a compte tenu du choix d'orientation de la courbe,[γ_s,_|∇φ|^∇φ]<0, donc [γs, γss] =|γ_s|γ_s·

D

∇φ

|∇φ|

γs

En dimension deux, si l'on note ∇×φ le vecteur rotationel de φ, obtenu en appliquant une rotation d'angle+^π₂ au vecteur ∇φ, le vecteur tangent correspondant est alors

τ(x) = ∇×φ

|∇φ|

d'où

κ= ∇×φ

|∇φ|

D

∇φ

|∇φ|

∇×φ

|∇φ|

On conclut grâce au lemme élémentaire suivant laissé au soin du lecteur (S¹ est le cercle de rayon 1).

Lemme 2 Soit u, v: Ω⊂R²→S¹, de classeC¹, tels que u·v= 0 sur Ω. Alors [Du]v·v= divu. 4.3 Expression de l'étirement de la courbe élastique en fonction de φ

En partant du paramétrage On introduit un champ d'étirement e: Ω×[0, T]→Rvériant e(γ(s, t), t) = |γ_s|

|θ_s| sur [0, M]×[0, T] En dérivant cette expression par rapport àt,evérie alors

et+u· ∇e= γst·γs

|γ_s||θ_s| =eγst·γs

|γ_s|² En dérivant par rapport àsl'équation (3) on a

γst(s, t) = [Du](γ(s, t), t)γs(s, t) Comme γ_s(s, t)

|γ_s| =±τ(γ(s, t))selon le sens de parcours deΓ_t, on a et+u· ∇e=e[Du]∇×φ· ∇×φ

|∇φ|² pour x=γ(s, t), s∈[0, M], t∈]0, T[

Finalement, étant donnée une fonction initialee₀ on cherche une fonction e: Ω×[0, T]→Rsolution

de 





e_t+u· ∇e=e[Du]∇×φ· ∇×φ

|∇φ|² surΩ×]0, T[

e=e0 surΩ× {0}.

(11)

Dans le cas d'un champ incompressible (divu = 0), on peut montrer que |∇φ| vérie la même équation quee. En eet

|∇φ|_t= ∇φ· ∇φ_t

|∇φ| et∇φ_t=−^t[Du]∇φ−[D²φ]u Donc

∇φ· ∇φ_t=−^t∇φ^t[Du]∇φ−^t∇φ[D²φ]u=−^t∇φ[Du]∇φ−^t∇φ[D²φ]u Or^t∇φ[D²φ] = ¹₂∇|∇φ|² =|∇φ|∇|∇φ|d'où

|∇φ|_t+u· ∇|∇φ|=−|∇φ|

t∇φ[Du]∇φ

|∇φ|² (12)

Le résultat est obtenu en vériant que lorsquedivu= 0,^t∇φ[Du]∇φ=−^t∇×φ[Du]∇×φ.

Si l'on peut déterminer φ₀ vériant |∇φ₀|=e₀ alorse=|∇φ|. Cette construction est possible par exemple lorsque e₀ est constant dans Ω: dans ce cas il sut de prendre pour φ₀ la fonction distance signée à Γ0 multipliée pare0. Il n'est donc pas nécessaire, théoriquement, de résoudre l'équation en e dans ce cas car toute l'information est contenue dansφ.

De manière plus intrinsèque

Lemme 3 Soit φ : R^d → R lipschitzienne sur R^d et telle que inf ess|∇φ| > 0. Soit g : R^d → R intégrable. Alors pourη >0,

Z

|φ(x)|<η

g(x)dx= Z η

−η

Z

φ(x)=ν

g(x)|∇φ|⁻¹dσdν

Démonstration. Dans [21], proposition 3 page 118, il est montré sous ces hypothèses que d

ds Z

φ>s

g(x)dx

=− Z

φ=s

g|∇φ|⁻¹dσ p.p. s

Le résultat ci-dessus s'en déduit facilement en posants=−tet en prenantφet−φdans cette formule puis en ajoutant les deux nouvelles identités. On les intègre alors de−η àη.

Une démonstration plus intuitive est de décomposer au voisinage de x le volumedx sous la forme dx=dσ×dh, oùdh est compté suivant la normale _|∇φ|^∇φ et on remarque que

ν±dν :=φ(x±dh ∇φ

|∇φ|) =φ(x)±dh|∇φ|+O(dh²)

d'oùdx=|∇φ|⁻¹dσdν.

En faisant l'hypothèse de régularité suivante sur les lignes de niveau de φ, (H_φ) ∀t∈[0, T],∀f ∈ C_c(Rⁿ), s→

Z

{|φ(x,t)|<s}

f(x)dxestC¹ au voisinage des= 0 nous avons le résultat suivant :

Proposition 8 Soitu:R^d×[0, T]→R^dde classeC¹avecdivu= 0etφsolutionC¹ deφt+u·∇φ= 0, φ=φ₀ avec |∇φ| ≥α >0 et vériant (H_φ) Alors pour toute fonction f continue à support compact,

Z

{φ₀(ξ)=0}

f(ξ)|∇φ₀|⁻¹(ξ)dσ(ξ) = Z

{φ(x,t)=0}

f(X(0;x, t))|∇φ|⁻¹(x, t)dσ(x) (13) ce qui signie que |∇φ|/|∇φ₀| représente la variation de mesure surfacique de Γt par rapport à Γ0.

Démonstration. L'hypothèse (H_φ) entraîne d'après le lemme précédent que l'application s→

Z

{φ₀=s}

f(ξ)|∇φ₀|⁻¹(ξ)dσ(ξ) est continue. Donc d'après le lemme 3,

Z

{φ₀(ξ)=0}

f(ξ)|∇φ₀|⁻¹(ξ)dσ(ξ) = lim

η→0

1 η

Z ^η

2

−^η

2

Z

φ0=ν

f(ξ)|∇φ₀|⁻¹(ξ)dσ(ξ)dν = lim

η→0

1 η

Z

|φ⁰|<^η

2

f(ξ)dξ On eectue le changement de variablesξ =X(0;x, t) dont le jacobienJ(0;x, t) vaut 1 cardivu = 0. Commeφ vérie l'équation de transport on aφ⁰(X(0;x, t)) =φ(x, t) et donc

Z

{φ0(ξ)=0}

f(ξ)dσ(ξ) = lim

η→0

1 η

Z

|φ(x,t)|<^η₂

f(X(0;x, t))dx

ce qui donne le résultat annoncé d'après le lemme 3.

Remarque 3 Une autre démonstration de la proposition précédente est possible en utilisant la re- marque 1 et la formule de dérivation de Reynolds pour les surfaces. En eet d'après (2), pour une fonctiong de classe C¹, et divu= 0

d dt

Z

{φ(x,t)=0}

g(x, t)dσ= Z

{φ(x,t)=0}

gt+u· ∇g−g[∇u]n·ndσ et sur la surface{φ= 0} on a d'après (12)

[∇u]n·n= [∇u] ∇φ

|∇φ|· ∇φ

|∇φ| =− 1

|∇φ|(|∇φ|_t+u· ∇|∇φ|) En regroupant les termes on a donc

d dt

Z

{φ(x,t)=0}

g(x, t)dσ= Z

{φ(x,t)=0}

((g|∇φ|)_t+u· ∇(g|∇φ|)) 1

|∇φ|dσ On applique alors cette formule avec g(x, t) =f(X(0;x, t))|∇φ|⁻¹(x, t), en calculant

(g|∇φ|)_t+ div(ug|∇φ|) = (g|∇φ|)_t+u· ∇(g|∇φ|) =Xt· ∇f+u· ∇f∇X= 0 d'après la remarque 1. On a donc

d dt

Z

{φ(x,t)=0}

f(X(0;x, t))|∇φ|⁻¹(x, t)dσ= 0 ce qui revient après intégration entre 0 ett à la formule (13).

Corollaire 2 En 2D, rappellons qu'on s'est donné un paramétrages∈[0, M]→γ(s,0)∈R² deΓ(0) et qu'il se transporte en un paramétrages→γ(s, t) de Γ(t). Après expression de la mesure surfacique en fonction du paramétrage on a du fait de X(0;γ(s, t), t) =γ(s,0):

Z M 0

f(γ(s,0))|∇φ₀|⁻¹(γ(s,0))|γ_s|(s,0)ds= Z M

0

f(γ(s,0))|∇φ|⁻¹(γ(s, t), t)|γ_s|(s, t)ds pour toute fonctionf continue et à support compact. D'où

|∇φ|(γ(s, t), t)

|∇φ₀|(γ(s,0)) = |γ_s(s, t)|

|γ_s(s,0)|

En 3D, si s= (s1, s2) ∈ω→ γ(s1, s2, t) ∈R³ est un (morceau de) paramétrage de Σ(t), alors comme là encore X(0;γ(s, t), t) =γ(s,0) on a

Z

ω

f(γ(s,0))|∇φ₀|⁻¹(γ(s,0))|γ_s1 ∧γ_s2|(s,0)ds= Z

ω

f(γ(s,0))|∇φ|⁻¹(γ(s, t), t)|γ_s1 ∧γ_s2|(s, t)ds

d'où |∇φ|(γ(s, t), t)

|∇φ₀|(γ(s,0)) = |γ_s1∧γ_s2|(s, t)

|γ_s1∧γs2|(s,0)

En pratique, on construitφ0 d'une part de sorte que sa ligne de niveau zéro représenteΓ0, et d'autre part de manière à ce que

|∇φ₀|(γ(s,0)) = |γ_s1∧γs2(s,0)|

|θ_s1∧θ_s2(s)|

ce qui correspond à la variation d'aire entre la conguration initiale et la conguration au repos. On a alors

|∇φ|(γ(s, t), t) = |γ_s1∧γs2(s, t)|

|θ_s1 ∧θ_s2(s)|

Si la variation d'aire initiale ne dépend pas des, par exemple, il sut d'initialiserφ0 à cet étirement fois la distance signée à la courbe.

4.4 Expression de la force élastique en level set

Exprimons, sur la courbe Γt, la force dérivée en(9)en fonction deφ: F(s) =¯ 1

|γ_s|

∂

∂s

E⁰(|∇φ|(γ(s, t), t)) γ_s

|γ_s|

soit en dérivant F¯(s) = 1

|γ_s|

∇_x(E⁰(|∇φ|))·γs

γs

|γ_s|+E⁰(|∇φ|) ∂

∂sT(s)

=∇_x(E⁰(|γ_s|))· γs

|γ_s| γs

|γ_s|+ 1

|γ_s|

E⁰(|γ_s|) ∂

∂sT(s)

Or d'après les formules de Frénet, si la courbe est parcourue dans le sens trigonométrique par son paramétrage,

∂T

∂s = ∂σ

∂s

∂T

∂σ =|γ_s|κN(s) =−|γ_s|div ∇φ

|∇φ|

∇φ

|∇φ|

On peut donc dénir une force élastique prolongée sur tout le domaine en posant F(x, t) =

∇(E⁰(|∇φ|))·∇×φ

|∇φ|

∇×φ

|∇φ| −E⁰(|∇φ|)κ ∇φ

|∇φ| (14)

Finalement le modèle frontière immergée formulé en level set consiste à résoudre sur Ω×]0, T[











(ρ+λδ_Γ)(u_t+u· ∇u)−divσ =n

∇(E⁰(|∇φ|))·_|∇φ|^∇×φ_∇×

φ

|∇φ|−E⁰(|∇φ|)κ_|∇φ|^∇φ +f_exto

δ_Γ+ρf divu= 0

φt+u· ∇φ= 0

4.5 Approximation des mesures surfaciques

Comme de coutume dans la méthode de frontière immergée, la force élastique qui est concentrée sur la membrane doit être transforméee en une force volumique dont le support est localisé sur un voisinage de l'interface. Dans notre approche eulérienne, la proposition ci-dessous permet de déterminer une approximation volumique d'une mesure de Dirac portée par une courbe :

hδ_Γ, fi= Z

Γ

f dσ, f ∈ C_c(R^d)

Proposition 9 Soit r →ζ(r) une fonction C^∞ à support dans [−1,1], telle que r → ¹_εζ(^r_ε) converge vers δ0 au sens des distributions. Alors sous l'hypothèse (H_φ), lorsque ε→0,

1 εζ

φ ε

|∇φ|* δ_{φ=0} dans M(R^d) Démonstration. Pour une fonction continue g(r), on a par hypothèse

ε→0lim Z

R

1 εζ

r ε

g(r)dr=g(0).

Appliquons ceci, pour une fonctionf ∈ C_c(R^d), à g(r) =

Z

{φ=r}

f dσ On a donc

ε→0lim Z

R

1 εζ

r ε

Z

{φ=r}

f dσdr = Z

{φ=0}

f dσ soit

ε→0lim Z

R

Z

{φ=r}

1 εζ

φ ε

f dσdr= Z

{φ=0}

f dσ Or d'après le support deφ, et le lemme 1,

Z

R

Z

{φ=r}

1 εζ

φ ε

f dσdr = Z ε

−ε

Z

{φ=r}

1 εζ

φ ε

f dσdr= Z

|φ(x)|<ε

1 εζ

φ ε

f|∇φ|dx

= Z

R^d

1 εζ

φ ε

f|∇φ|dx

on a donc nalement pour tout f ∈ C_c(R^d),

ε→0lim Z

R^d

1 εζ

φ ε

|∇φ|f(x)dx= Z

{φ=0}

f(x)dσ.

On voit donc qu'une approximation volumique raisonnable deδ{φ=0} est donnée par

|∇φ|1 εζ

φ ε

On se reportera néanmoins au paragraphe sur l'implémentation numérique de ces méthodes pour veiller à employer cette convergence mathématique de telle sorte qu'elle ait un sens numériquement.

En particulier il faudra veiller à ce que la largeur d'interface reste constante au cours du calcul.