I- Forces exercées sur une particule de uide

Dynamique des uides

Les points du cours à connaître

I- Forces exercées sur une particule de uide

1. Forces volumiques

un petit élément de volume d

τ a un poids d

P ~ = µ.~ gd

τ , ⇒ on peut donc associer au poids :

( une force volumique : − →

f

= µ ~ g une force massique : − →

f

= ~ g 1 Force volumique ou massique de pesanteur

si l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, il faut considérer aussi la force de Coriolis à laquelle est soumis d

τ . Celle-ci est d

f ~

= −2.µ.d

τ.~ Ω ∧ ~ v , où ~ Ω

est le vecteur rotation de R par rapport aux référentiels galiléens et ~ v la vitesse locale du uide (dans R ). ⇒

On peut donner pour la force de Coriolis : ( une force volumique : − →

f

= −2 µ ~ Ω

∧ ~ v une force massique : − →

f

= −2 Ω ~

∧ ~ v 2 Force volumique ou massique de Coriolis :

2. Pression

un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de surface de la part de son environnement. Sur l'élément innitésimal d

Σ s'exerce −−→

d

F qui a une composante normale, liée à la pression P , et une composante tangentielle, la force de viscosité.

Forces surfaciques

la résultante des forces de surface exercées sur un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ est

ZZ

−P. − − → d

Σ = {

−P d

Σ = y −−→

grad(−P ) d

τ

3 Force volumique ou massique de pression

on associe aux forces de surfaces pour un uide parfait (sans viscosité) : ( une force volumique : − →

f

= − −−→

grad(P ) une force massique : − →

f

= −

−−→grad(P) µ

Si l'on réussit à trouver une relation µ = f (P ) , on parlera d'écoulement barotrope. Dans ce cas, on pourra écrire :

−−→ grad(P )

µ = −−→

grad (ϕ(P )) Ecoulements barotropes

3. Viscosité

si l'on jette de l'eau sur une table, celle-ci glisse puis s'arrête. Ainsi, il existe des forces tangentielles (dites forces de viscosité ou de cisaillement) exercées par les couches de uides les unes sur les autres. De même, si l'on réitère l'expérience avec de l'huile, ou mieux encore avec du miel, la distance parcourue par le uide sur la table est plus courte : ces forces de viscosité dépendent de la nature du uide.

Plus généralement, toutes les expériences montrent que :

• la vitesse d'écoulement d'un uide est une fonction continue du temps mais aussi de l'espace,

• la vitesse relative du uide au contact d'un solide est toujours nulle, ce qui n'était pas vrai dans le cas du uide parfait.

Il nous faut donc prendre en compte la viscosité du uide pour s'approcher du compor- tement réel d'un uide.

Constatations expérimentales de la viscosité

La gure 1 représente un écoulement unidimensionnel.

Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimen- sionnel

on peut écrire que la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y

) sur la surface S de cote y

qui la sépare de la veine rapide (pour y > y

) est

F

= −η S ∂v

∂y

où η est par dénition, le coecient de viscosité dynamique du uide.

Expression des forces de viscosité pour un écoulement unidimensionnel

Figure 1 Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimensionnel

la force de viscosité tend à accélérer les veines lentes et à ralentir les veines rapides. On parle aussi de force de cisaillement. Elles tendent à homogénéiser la vitesse.

NB : les forces de viscosité sont donc nulles pour un uide au repos. La viscosité ne joue donc aucun rôle dans l'état d'équilibre d'un uide, contrairement à la pression.

Interprétation

on se restreindra aux uides newtoniens, pour lesquels la viscosité ne dépend pas du champ des vitesses (seulement de la nature du uide et de sa température).

Fluide newtonien

la viscosité dite dynamique se note η . Elle est positive et s'exprime dans le système international en poiseuille

1 Pl = 1 Pa · s

La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volu- mique :

ν = η

µ s'exprime en m

· s

ν a la dimension d'un coecient de diusion.

Viscosités dynamique et cinématique

uide air eau glycérine graisse η enPl 18×10⁻⁶ 1,0×10⁻³ 0,870 10³ ν enm²·s⁻¹ 15×10⁻⁶ 1,0×10⁻⁶ 635×10⁻⁶ 1

Table 1 Quelques viscosités dynamiquesη et cinématiquesν à 20^◦C et P= 1atm

Le tableau 2 présente la variation de la viscosité avec la température.

La viscosité dépend de la température

température 10^◦C 20^◦C 30^◦C 40^◦C 50^◦C 60^◦C 70^◦C

huile de ricin 2420 986 451 231 125 74 43

huile d'olive 138 84 52 36 24,5 17 12,4

Table 2 Quelques viscosités dynamiquesη (enmP l) en fonction de la température

La gure 2 représente le système est un parallélépipède rectangle d'épaisseur dy suivant Oy et de surface S pour les plans de cote y

et y

+ dy .

Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel

Figure 2 Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel

globalement, la force de cisaillement est : F ~

= η.S.

∂v

(y

+ dy)

∂y − ∂v

(y

)

∂y

.~ u

= η.S ∂

v

∂y

dy~ u

= η.S.dy∆v

~ u

4 Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien

volume élémentaire d

τ = S dy est

F ~

= η S dy ∆v

~ u

On généralise ⇒

L'équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien en écoulement incompressible est :

F ~

= f ~

d

τ avec : f ~

= η ∆~ v

4. Équation de Navier Stokes

en écrivant le théorème de la résultante cinétique appliqué à un petit élément de volume d

τ , on trouve :

µ D~ v

Dt = Σ f ~

Dans le cas de l'étude dans un référentiel galiléen, seuls le poids et les forces de contact (pression et viscosité) interviennent a priori. On peut donc transformer la précédente expression en ⇒

µ D~ v

Dt = µ ~ g − −−→

grad(P ) + η ∆~ v NB :

D~v Dt

=

=

∂−→v

∂t

+ − → v · −−→

grad − → v

∂−→v

∂t

+ −−→

grad

v² 2

+ − →

rot ( − → v ) ∧ − → v

5 Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen

si l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, avec ~ Ω

le vecteur rotation de R par rapport aux référentiels galiléens, il faut ajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force de Coriolis. Soit :

µ. D~ v

Dt = µ.~ g − −−→

grad(P ) + η.∆~ v − 2.µ.~ Ω

∧ ~ v

Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel non galiléen

on reconnaît

•

: le terme d'inertie dit instationnaire dû à la variation temporelle du champ des vitesses ;

• − → v . −−→

grad

. − → v : le terme d'inertie de convection dû au transport de quantité de mouve-

ment par l'écoulement (terme qui confère à l'équation de Navier - Stokes un caractère

Interprétation des diérents termes dans l'équation de Navier Stokes

• ν.∆~ v : le terme dû à la viscosité, rendant compte de la diusion de la quantité de mouvement.

on trouve l'équation d'Euler à partir de l'équation de Navier Stokes si on considère le uide comme parfait, c'est à dire sans viscosité.

Comparaison entre les équations d'Euler et de Navier Stokes

l'équation de Navier Stokes est une équation diérentielle vectorielle (c'est à dire qu'elle donne trois équations diérentielles scalaires). De plus, cette équation est non linéaire (à cause du terme en v

apporté par − → v . −−→

grad

. − → v ).

On pourra souvent, lors de l'étude de petites perturbations (ondes...), négliger ces termes non linéaires.

Caractéristiques de l'équation de Navier Stokes

II- Fluides parfaits

1. Équation d'Euler

Un uide parfait est un uide sans viscosité.

L'évolution des particules de uide est alors isentropique.

L'équation de Navier Stokes sans viscosité s'appelle alors équation d'Euler.

Fluide parfait

si l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, avec ~ Ω

le vecteur rotation de R par rapport aux référentiels galiléens, il faut ajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force de Coriolis. Soit :

D~ v

Dt = ~ g −

−−→ grad(P )

µ − 2 Ω ~

∧ ~ v

Equation d'Euler dans le cas d'un référentiel non galiléen

si ~ v = ~ 0 , l'équation d'Euler redonne la relation fondamentale de l'hydrostatique :

~ 0 = ~ g −

−−→ grad(P )

µ

Equation d'Euler dans le cas statique

On peut négliger la force de Coriolis devant le terme convectif − → v . −−→

grad

. − → v . ⇒ dans le cas où la taille de l'écoulement est faible (moins d'un kilomètre), même si le référentiel terrestre est non galiléen, l'équation d'Euler s'écrira :

D~ v

Dt = ~ g −

−−→ grad(P ) µ

6 Equation d'Euler dans le cas d'un "petit" écoulement

Dans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçant dans un plan horizontal), et où l'écoulement est permanent et de grande envergure (un océan), l'équation d'Euler donne une relation d'équilibre géostrophique :

~ 0 = −

−−→ grad(P )

µ − 2.~ Ω

∧ ~ v

où le gradient de pression est suivant la force d'inertie de Coriolis horizontale, donc orthogonal à la vitesse. ⇒

Dans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçant dans un plan horizontal), et où l'écoulement est permanent et de grande envergure (un océan), les lignes de courant et les courbes isobares sont confondues.

Le uide tourne dans le sens trigonométrique autour des dépressions dans l'hémisphère nord, dans le sens horaire autour des anticyclones.

7 Equilibre géostrophique

La gure 3 représente les lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dans l'hé- misphère nord : les deux sont confondues dans le cas de l'équilibre géostrophique et le uide tourne dans le sens trigonométrique autour des dépressions dans l'hémisphère nord, dans le sens horaire autour des anticyclones.

Lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dans l'hémisphère nord.

schéma

2. Relation de Bernoulli

⇒

On se souviendra que dans le cas de l'écoulement parfait, stationnaire, incompressible homogène,

v

2 + P

µ + g z = cste le long d'une ligne de courant Si, en plus, l'écoulement est irrotationnel,

8 Relation de Bernoulli

Figure 3 Lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dans l'hémisphère nord.

On peut comprendre la relation de Bernoulli comme une loi de conservation énergétique.

Les termes présents dans la formule sont autant de types d'énergie :

• Energie cinétique massique :

.

• Energie potentielle massique de pesanteur : g.z .

• Travail massique des forces de pression : ∆

µ

.

Interprétation des termes présents dans la formule de Bernoulli

3. Applications de la relation de Bernoulli

La gure 4 représente l'écoulement d'un uide incompressible depuis un récipient.

Vidange d'un récipient

L'écoulement entre A à la surface libre du uide et B à l'orice peut être considéré comme stationnaire. On peut appliquer la formule de Bernouilli le long de la ligne de courant entre A et B :

+ g.z

+

=

+ g.z

+

.

Or P

= P

= P

et z

− z

= h . On a v

≈ 0 , et v

= v .

9 Loi de Torricelli

Figure 4 Vidange d'un récipient

Aussi, g.h =

, d'où :

v = p 2.g.h

⇒

Un récipient de hauteur h rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice très petit devant la section du récipient situé dans le fond de celui-ci a pour vitesse d'écoulement v = √

2.g.h .

On peut vérier expérimentalement la formule de Torricelli qui donne la vitesse de chute libre depuis une hauteur h : v

≈ √

2.g.h

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Vérication de la loi de Torricelli

la vitesse du uide augmente à cause de la conservation du débit. Cette augmentation de la vitesse se double, d'après la relation de Bernoulli appliquée le long d'une ligne de courant A − B par une dépression dans la zone d'étranglement : ⇒

l'écoulement d'un uide dans une conduite (mais ce peut être tout tube de courant) qui se resserre voit la vitesse du uide augmenter. Cette augmentation de la vitesse se double par une dépression dans la zone d'étranglement :

S

< S

⇒ v

> v

⇒ P

< P

10 Principe de l'eet Venturi

Principe de l'eet Venturi.

Figure 5 Principe de l'eet Venturi.

La forte vitesse de l'air au voisinage des objets se caractérise par une faible pression qui tend à "aspirer" ceux-ci.

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

L'eet venturi

La gure 6 représente le principe d'un tube Venturi. Le tube de venturi (horizontal) permet de mesurer un débit connaissant la diérence de pression entre A et B .

Mesure des débits avec un tube de Venturi

Figure 6 Mesure des débits avec un tube de Venturi

La gure 7 représente un tube de Pitot. Le tube de Pitot (Henri Pitot, ingénieur français, 1695 1771) est utilisé en aérodynamique pour mesurer la vitesse v d'un écoulement d'air uniforme et stationnaire. C'est un double tube très n que l'on place parallèlement aux lignes de courant du uide en écoulement.

Le tube de Pitot

Figure 7 Le tube de Pitot

l'écoulement du uide crée une diérence de pression entre les deux entrées du tube.

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Le tube de Pitot

La gure 8 représente une trompe à eau, très utilisée en chimie pour créer une aspiration car ecace et bon marché (photographie et principe).

Principe de la trompe à eau

Figure 8 Principe de la trompe à eau

La gure 9 représente le principe et une photographie d'un vaporisateur.

Principe des vaporisateurs

Figure 9 Principe des vaporisateurs

III- Ecoulements

1. Nombre de Reynolds

L'équation de Navier Stokes si la pression suit la loi de l'hydrostatique ( −−→

gradP = µ ~ g ) est :

∂ − → v

∂t +

− → v · −−→

grad

− → v = ν ∆~ v

L'évolution de la vitesse peut être due à

• la diusion (à cause de la viscosité) :

∂ − → v

∂t ≈ ν ∆~ v

• la convection (si la viscosité est négligeable) :

∂ − → v

∂t ≈ − − → v · −−→

grad − → v

Diusion et convection

si la dimension caractéristique du problème est L , la vitesse vaut approximativement V , la viscosité cinématique ν , on peut dénir le nombre de Reynolds sans dimension :

Re = convection

diusion ≈ V L ν Il compare les eets inertiels aux eets de viscosité.

Nombre de Reynolds

Le tableau 3 présente quelques exemples de nombres de Reynolds dans quelques cas.

Exemples de nombres de Reynolds

exemple Re gros poisson dans l'eau 10⁸

oiseau dans l'air 10⁶ nageur dans l'eau 10⁵ bille dans du miel 10⁻² spermatozoïde dans liquide séminal 10⁻³ bactérie dans l'eau 10⁻⁵ glacier 10⁻¹¹ manteau terrestre 10⁻²⁰ Table 3 Quelques exemples de nombre de Reynolds

On peut distinguer deux grands types d'écoulements, diérenciés par la valeur de leur nombre de Reynolds :

• si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ;

• si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus long que par convection).

Notons qu'un uide parfait correspond à Re = ∞ . Interprétation du nombre de Reynolds

La gure 10 représente l'écoulement autour d'une sphère immobile. On voit que celui-ci dépend fortement du nombre de Reynolds associé.

Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère im- mobile

2. Ecoulements laminaires et turbulents

Figure 10 Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile

Ecoulements à bas nombre de Reynolds, où le terme diusif prédomine : Re < 2000

Écoulement laminaire

La gure 11 représente un exemple d'écoulement laminaire. Il s'agit d'un écoulement stable : les lignes de courants sont bien dessinées et évoluent lentement au cours du temps.

Il peut être permanent ou non permanent, il peut présenter un caractère tourbillonnaire (un vortex dans un évier est un écoulement laminaire).

un écoulement laminaire.

Figure 11 un écoulement laminaire.

Lorsque le nombre de Reynolds augmente, l'écoulement peut présenter un caractère tour- billonnaire, il reste cependant laminaire. Il peut se développer des structures tourbillon- naires cohérentes comme une allée de tourbillons dite allée de von Karman.

NB : la valeur critique de Re à partir de laquelle le caractère laminaire disparait dépend fortement du prol de l'obstacle.

remarque

écoulement à fort nombre de Reynolds où la convection est prédominante Re > 2000

Écoulement turbulent

La gure 12 représente un exemple d'écoulement turbulent. Les écoulements turbulents présentent un caractère chaotique où le champ de vitesse possède une grande variabilité spatiale et temporelle. Les lignes de courant s'entremêlent : l'écoulement est instable. Le caractère tourbillonnaire de ce type d'écoulement est très prononcé.

Ecoulement turbulent

Figure 12 Ecoulement turbulent

Ces écoulements sont gouvernés par la convection et les termes non linéaires de l'ac- célération dominent. Ce type correspond également à un mélange important et à une dissipation d'énergie à diérentes échelles (la viscosité jouant à nouveau un rôle dans les petites échelles).

Caractéristiques des écoulements turbulents

Cette transition entre écoulement laminaire et turbulent peut intervenir spatialement : un écoulement peut être initialement laminaire (et tourbillonnaire) puis devenir turbulent, s'il s'agit par exemple d'un jet accéléré, le nombre de Reynolds augmentant le long de l'écoulement ce qui permet de comprendre ce passage d'un caractère laminaire à turbulent.

On peut voir sur une photographie d'Humphrey Bogart (prise par Karsh) la transition entre un écoulement laminaire (proche de la cigarette) et un écoulement turbulent (loin de la cigarette).

Transition entre écoulement laminaire et turbulent dans l'espace

3. Couche limite

l'écoulement à grand nombre de Reynolds autour d'un obstacle présente deux parties aux caractéristiques très diérentes.

Près de l'obstacle, une couche limite apparaît où les phénomènes de viscosité dominent.

Dans cette couche limite, l'écoulement prend un caractère tourbillonnaire marqué.

La vorticité ainsi créée peut être entraînée par convection dans le sillage de l'obstacle.

La couche limite ne possède pas la même taille caractéristique que l'obstacle et présente donc un nombre de Reynolds Re

diérente de celui de l'écoulement principal. On peut ainsi observer des couches limites laminaires ou turbulentes.

En dehors de cette couche limite, l'écoulement présente un caractère plus régulier et plus laminaire.

Notion de couche limite

Considérons le cas d'une plaque plane de très faible épaisseur et de longueur L placée dans un écoulement uniforme parallèle à la plaque. Supposons que l'écoulement uniforme soit brusquement accéléré de 0 à la vitesse constante U .

Estimer le temps moyen mis par un élément de uide pour parcourir la totalité de la plaque.

Estimer la distance sur laquelle la viscosité permet à la quantité de mouvement de diuser pendant ce temps.

Estimer l'épaisseur de la couche limite autour d'une voiture.

11 Epaisseur de la couche limite

Le temps moyen mis par un élément de uide pour parcourir la totalité de la plaque est τ =

.

Pendant ce temps, la viscosité permet à la quantité de mouvement de diuser sur une distance δ telle que

1 τ = ν

δ

⇒ δ = √ ν τ =

r ν L

U = L

√ Re

Pour une voiture : L = 4 m , U = 20 m/s , le nombre de Reynolds vaut Re = 5 × 10

et la couche limite a une taille δ =

Re

= 0, 5 mm . Ainsi, les forces de viscosité sont prépondérantes dans une ne couche autour de la voiture et sont négligeables dans le reste de l'écoulement compte tenu de la valeur du nombre de Reynolds. On peut alors modéliser l'écoulement par un écoulement parfait.

on peut observer un décollement de la couche limite lorsque celle-ci atteint une taille de l'ordre de celle de l'obstacle.

Les deux zones couche limite - sillage / écoulement hors couche limite sont alors bien délimitées et présentent des trajectoires très diérentes.

Pour certains prols (ou inclinaison) d'obstacle, on peut observer un décollement de la couche limite. On observe un décollement de la couche limite avec l'inclinaison de l'obstacle dans laquelle se développe un écoulement qui devient rapidement instable.

Le point de décollement de la couche limite peut évoluer avec le nombre de Reynolds, la couche limite décollant plus rapidement de l'obstacle lorsqu'elle est laminaire par exemple.

Décollement de la couche limite

Ecoulement d'air autour d'une balle de base-ball avec Re=3400(LM. Pallis et R.D. Mchta).

Décollement de la couche limite

4. Conditions aux limites

La gure 13 représente Le uide est limité par l'interface y = 0 : la normale est y et l'écoulement tangentiel se fait selon x .

Limite d'un écoulement uide

Figure 13 Limite d'un écoulement uide

Le uide ne sort ni ne rentre dans l'interface. ⇒

la vitesse normale d'un uide (visqueux ou parfait) à une interface est nulle : (v

)

= 0

12 Condition aux limites cinématique pour un uide

la viscosité impose l'adhérence du uide à l'interface. ⇒

la vitesse tangentielle d'un uide visqueux à une interface est continue : (v

)

= (v

)

13 Condition aux limites cinématique pour un uide visqueux

La force qu'exerce le uide au dessous de l'interface ( y < 0 ) sur le uide au dessus de l'interface ( y > 0 ) est

F ~

= −η

S ∂v

∂y

y=0⁻

~ u

De même, la force qu'exerce le uide au dessus de l'interface ( y > 0 ) sur le uide au dessous de l'interface ( y < 0 ) est

F ~

= +η

S ∂v

∂y

y=0⁺

~ u

Comme F ~

= − F ~

,

η

∂v

∂y

y=0⁻

= η

∂v

∂y

y=0⁺

⇒

la force tangentielle est continue à une interface :

η

∂v

∂y

y=0⁻

= η

∂v

∂y

y=0⁺

14 Condition aux limites dynamique pour un uide visqueux

Le tableau 4 présente quelques exemples de conditions aux limites.

Récapitulatif pour les conditions aux limites

5. Quelques écoulements visqueux

y >0→ uide visqueux uide parfait y <0↓ (viscosité η) (viscosité nulle) solide xe (~v)_y=0+=~0 (vy)_y=0+= 0

η

∂vx

∂y

y=0⁺=τ

uide (v_y)_y=0+ = 0 (v_y)_y=0+= 0

non visqueux η

∂vx

∂y

y=0⁺ = 0

uide visqueux (~v)_y=0+= (~v)_y=0− (v_y)_y=0+= 0 (viscositéη⁰) η

∂vx

∂y

y=0⁺ =η⁰

∂vx

∂y

y=0⁻

Table 4 Quelques cas de conditions aux limites

Figure 14 Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre un solide et un uide parfait

La gure 15 représente On s'intéresse à une couche mince de uide incompressible visqueux entre deux solides parallèles, l'un xe, l'autre en translation.

Ecoulement de Couette entre deux plans solides

Figure 15 Ecoulement de Couette entre deux plans solides

La gure 16 représente On s'intéresse à une couche mince de uide incompressible visqueux qui coule le long d'un plan incliné, dont la ligne de plus grande pente fait un angle α avec l'horizontale.

Ecoulement de Couette entre un plan solide et l'atmosphère

Figure 16 Ecoulement de Couette entre un plan solide et l'atmosphère

on s'intéresse à un uide visqueux, en écoulement stationnaire dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches.

Exemple de l'écoulement de Poiseuille

Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement.

La gure 17 représente l'écoulement d'un uide visqueux dans un tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches.

Ecoulement de Poiseuille

Figure 17 Ecoulement de Poiseuille

Exercice traité en n de cours

exo 13.1) Modélisation de l'écoulement de Poiseuille cylindrique

Un uide visqueux de coecient de viscosité dynamiqueη est compris dans un cylindre d'axeOz, de rayon R. On se place dans les coordonnées cylindriques(r, θ, z).

On suppose que le problème est à symétrie de révolution : _∂θ^∂ = 0.

On notePAla pression enz=zA etr= 0. De même,PB=P(r= 0, z=L). On suppose l'écoulement stationnaire : _∂t^∂ = 0.

On suppose l'écoulement incompressible (c'est un liquide) :div~v= 0. On suppose l'écoulement unidimensionnel :~v=vz(r, z).

On néglige la pesanteur.

1) Montrer que la vitesse ne dépend pas de z.

2) En déduire que l'accélération d'une particule de uide est nulle.

3) Déterminer le champ de pression dans le uide.

4) Déterminer le champ des vitesses.

1) L'écoulement est incompressible, doncdiv~v= 0 = ^∂v_∂z^z, doncv(r)uniquement.

L'accélération d'une particule de uide est D~v

Dt = ∂~v

∂t +

~v.−→ O

~v=

vz(r). ∂

∂z

vz(r)~uz= 0

2) L'équation de Navier Stokes est donc

~0 =−−−→

gradP +µ ~g+η∆~v=−−−→

gradP +η∆~v qui donne suivant~ur

0 =−∂P(r, z)

∂r DoncP(z)uniquement.

L'équation de Navier Stokes donne suivant ~uz

2

Les conditions aux limites donnent :

K=PB−PA

zB−zA

3) Reprenons l'équation de Navier Stokes projetée : 0 =−∂P(z)

∂z +η r

∂

∂r

r∂v_z(r)

∂r

⇒ d dr

rdv_z(r)

dr

=K η r qu'on intègre une fois :

rdvz(r) dr = K

2ηr²+A⇒ dvz(r) dr = K

2ηr+A r or rpeut être nul, aussi,A= 0. On intègre une autre fois :

vz(r) = K 4ηr²+B

On utilise les conditions aux limites (v_z(r=R) = 0) sur les parois, an de déterminerB 0 = K

4ηR²+B Donc :

vz(r) = K

4η r²−R²

= P_B−P_A zB−zA

r²−R² 4η

Techniques à maîtriser

I- Relation de Bernoulli

Justier la relation de Bernoulli et utiliser cette relation.

Interpréter d'éventuels écarts observés en vériant les conditions de validité.

ce qu'il faut savoir faire

Il faut appliquer le théorème de Bernoulli (bien vérier auparavant les conditions d'application !) entre deux points le long d'une ligne de courant (vérier qu'une ligne de courant existe bien entre ces deux points !).

A) Vidanges et applications de la relation de Bernoulli

13.1.1) Temps de vidange d'un récipient

On s'intéresse à un récipient ayant la forme d'un cylindre d'axe vertical, de hauteurH = 50cmet de rayon R= 10cm, initialement complètement rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice circulaire de rayon r= 0,5cmsitué dans le fond du cylindre.

1) Calculer la vitesse d'écoulement v à l'orice de ce récipient lorsque la hauteur de uide est h. Vérier que l'on retrouve bien la loi de Torricelli dans le cas oùRr.

2) Calculer le temps de vidange T de ce récipient.

1) L'écoulement entreAà la surface libre du uide etBà l'orice peut être considéré comme stationnaire.

On peut appliquer la formule de Bernouilli le long de la ligne de courant entre Aet B : ^v₂^2A+g.z_A+^P_µ^A =

v_B²

2 +g.zB+^P_µ^B.

OrPA=PB =Patmet zA−zB=h.

La conservation du débit entreAet B donne :vA.R²=vB.r², avecvB=v. Aussi, ^v_2.R^2.r4⁴ +g.h= ^v₂², d'où :

v=

s 2.g.h 1− _R^r4 Bien sûr siRr, on retrouve bien la loi de Torricelliv=√

2.g.h. 2) Donc la vitesse enA est :vA= _R^r2r

2.g.h

1−(_R^r)⁴ ≈ _R^r2√

2.g.h=−^dh_dt. En intégrant,−Rh=0

h=H

√dh

h = _R^r2√

2.gRt=T

t=0 dtsoit : 2√

H = _R^r2√

2.gT, d'où :

T = R

r ²s

2.H

g = 128s

13.1.2) Jet d'eau sur le lac de Genève

Le jet d'eau du lac de Genève a un diamètre initial d0 = 107mm et s'élève à une altitude H = 156m au-dessus de la canalisation horizontale qui l'alimente. On néglige les pertes par frottement dans l'air.

1) 1.a) Bernouilli le long d'une ligne de champ dans le tuyau, à la sortie du jet et au sommet du jet :

pt

µ +v_t²

2 = patm

µ +v²

2 = patm

µ +g.H

On peut négliger la vitessevtdans le tuyau. La surpression estp=pt−patm, donc p=µ.g.H = 15bar

1.b) Le débit volumique estDv =v.s=v.π.^d₄²⁰. D'après Bernouilli,v=√

2.g.H, donc Dv =π.d²₀

4

p2.g.H = 0,5m³/s

13.1.3) Tube Venturi

On noteSA etSB les sections d'un tube de Venturi au niveau des pointsA(zone 1) etB (zone 2 d'étrangle- ment :S_B < S_A).

Montrer qu'on peut déduire le débit volumique D_v du uide de masse volumique µ de la dénivellation h entre du liquide manométrique, de masse volumiqueµ₀en fonction deh, S_Aet S_B.

On note SA et SB les sections du tube au niveau des points A (zone 1) et B (zone 2 d'étranglement : SB < SA), vA et vB les vitesses du uide au niveau de ces sections. La conservation du débit impose : SA.vA=SB.vB. De plus, la relation de Bernoulli sur une ligne de uide entreAetB donne :

v²_A 2 +PA

µ =v²_B 2 +PB

µ

De même, la relation de Bernoulli sur une ligne de uide entreCetDfait intervenirh, la dénivellation entre D et C(ouC⁰) du liquide manométrique, de masse volumiqueµ0 :

PD

µ0

+g.h= PC

µ0

Enn, on trouve

Dv =SA.SB. s

2.(µ−µ0).g.h µ.(S_A² −S²_B)

13.1.4) Tube de Pitot

On s'intéresse à un tube de Pitot. Montrer que l'on peut déduire la vitesse de l'écoulement grâce à la mesure (faite généralement à l'aide d'un manomètre diérentiel, comme pour la sonde de Venturi) de la diérence de pression entre deux orices très petits formant :

• une prise de pression axiale enAplacé à l'extrémité du tube où la vitesse est nulle (Aest dit point d'arrêt),

• une prise de pression latérale enB placé latéralement où la vitesse du uide n'est pas modiée.

La viscosité importante dans les prises de pression assure que l'air situé à l'intérieur du tube de Pitot est au repos. On néglige la dénivellation entre AetB. Loin du tube, l'écoulement est unidimensionnel avec une vitessev et une pressionP0 uniforme.

On peut écrire la relation de Bernoulli appliquée sur une même ligne de courant entre les pointsA_∞ et A en négligeant la dénivellation entre ces points. Faire de même entreB_∞ etB.

v²

2 +P(A_∞) µ = P₀

µ

En remarquant que la section du tube de Pitot est très faible devant celle du tuyau, on en déduit quevB≈v.

Finalement, on peut exprimer la vitesse d'écoulementv en fonction deµ,PA et PB. v=

r2

µ(PA−PB)

13.1.5) Déversoir d'un lac

Un lac de profondeurh, se vide dans un déversoir, de largeurL, qui a un seuil susamment large pour que, dans la sectionS de hauteurh⁰ < h, la lame d'eau y coule en lets parallèles horizontaux et que la vitessev y soit considérée comme uniforme. L'eau est assimilé à une uide parfait et incompressible.

1) Déterminer, en fonction deheth⁰, le débit volumiqueD_v, à travers la sectionS. 2) Pour quelle valeur deh⁰ ce débit est-il maximal ?

3) Calculer sa valeur.

1)

patm

µ +g.h= v²

2 +patm

µ +g.h⁰ On en déduit

v=p

2.g.(h−h⁰) puis le débit volumique Dv=S.v:

Dv=L.h⁰p

2.g.(h−h⁰)

2) Ce débit est-il maximal lorsque ^dD_dh^v0 = 0, soit : p2.g.(h−h⁰) +h⁰ −2.g

2p

2.g.(h−h⁰) = 0⇔2.g.(h−h⁰) =g.h⁰⇔h⁰= 2 3h Donc

Dv_max =L.√ g

2 3h

³₂

II- Equation d'Euler

Utiliser les relations −→

dF =−p−→ dS et−→

dF =−−−→

gradp dτ.

Exploiter l'absence de forces de viscosité et le caractère isentropique de l'évolution des particules de uide.

Utiliser l'équation d'Euler

ce qu'il faut savoir faire

On part de l'équation d'Euler. Rappelons que, pour pouvoir écrire l'équation d'Euler, il faut que l'écou- lement soit parfait (c'est à dire que le uide doit être non visqueux). On néglige la force de Coriolis, si les dimensions de l'écoulement ne sont pas trop grandes. Le poids dérive d'une énergie potentielle.

Aussi, on peut écrire

−

→fm=~g=−−−→

grad ep_p

=−−−→

grad(g.z)

où l'énergie potentielle de pesanteur massique est donc , l'axe étant vertical, orienté vers le

B) Démontrer diverses formules de Bernoulli à partir de l'équation d'Euler

méthode

Un cas particulier d'écoulement barotrope (avec ϕ(P) = ^P_µ) est celui de l'écoulement incompressible homogène :µest alors constant dans tout le uide. On peut donc écrire :

−−→grad(P)

µ =−−→

grad P

µ

Un écoulement est irrotationnel (ou non tourbillonnaire) si, partout dans le uide −→

rot(~v) = ~0. Le rotationnel de la vitesse étant nulle, on peut faire dériver celle-ci, via un gradient, d'un potentielφ:

~v=−−→

grad(φ)

L'écoulement est stationnaire si les grandeurs ne dépendent pas explicitement du temps. En particulier :

∂−→v

∂t =~0 et, si on a un écoulement irrotationnel :

∂φ

∂t = 0

Dans le cas des écoulement non potentiels, comme le rotationnel de la vitesse n'est pas nul partout dans le uide, on ne peut plus écrire les termes de l'équation d'Euler sous forme d'un gradient. Cependant, si on se déplace le long d'une ligne de courant, on peut intégrer l'équation d'Euler (en formant un produit scalaire avec−→

d`=~v.dt, qui fait disparaitre le terme en−→

rot(−→v)∧ −→v).

13.2.1) Statique des uides

Retrouver la relation fondamentale de la statique des uides à partir de l'équation d'Euler.

On écrit ^D~_Dt^v =~g−

−−→grad(P)

µ avec~v=~0, soit :~g=

−−→grad(P) µ . 13.2.2) Equilibre géostrophique

On veut étudier le mouvement de l'atmosphère terrestre. Aussi, on se place dans le référentiel terrestre R non galiléen, en rotation par rapport au référentiel géocentriqueR_gavec le vecteur rotation~Ω_R/Rg, au voisinage d'un point de la Terre à la latitudeλ. On s'intéresse à un écoulement plan, horizontal.

1) Exprimer la projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis massique. Quel est son eet ? 2) Réécrire l'équation d'Euler pour les grands écoulements en régime permanent.

3) Comparer les lignes de courant et les isobares. Dans quel sens tourne l'air atmosphérique ?

1) La projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis massique est :

−

→fm= 2.Ω_R/Rg.sinλ.v.~u

avec~u, un vecteur unitaire orthogonal à la vitesse~v, à droite dans le sens du mouvement.

Aussi, la force de Coriolis tend à faire tourner le uide vers la droite dans l'hémisphère nord (λ >0), et vers la gauche dans l'hémisphère sud (λ <0).

2) On peut négliger le terme convectif −→v .−−→

grad

.−→v devant le terme de Coriolis (pour des grandes distances comme dans le cas des masses d'air atmosphériques).

L'équation d'Euler projetée dans le plan horizontal est

−−→grad(P) = 2.µ.Ω_R/Rg.sinλ.v.~u

en régime permanent.

3) Un équilibre (dit géostrophique) s'établit entre les forces de pression et la force de Coriolis, de sorte que les lignes de courant sont des isobares. Le uide tourne dans le sens trigonométrique autour des dépressions

13.2.3) Nombre de Rossby dans l'atmosphère

1) Ecrire l'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen.

On noteU un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement,Lune dimension horizontale caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (notéRo) d'un écoulement le rapport sans dimension entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans la précédente équation.

2) Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10m.s⁻¹ et L = 1000km . Commenter le résultat obtenu.

3) Même chose pour un écoulement d'air dans une pièce : U = 1m.s⁻¹et L= 10m.

1) L'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen est ^D~_Dt^v = ^∂_∂t^−→v +−→v .−−→

grad

.−→v et puisque l'écoulement est stationnaire,ρ−→v .−−→

grad

.−→v =−−−→

grad(p)−2.ρ.~Ω∧~v, ce qui donne en ordre de grandeur le nombre de Rossby :

Ro= ρ^U_L²

2.ρ.Ω.U = U 2.L.Ω

2) Ro≈ _L.Ω^U = 0,14de sorte que dans les trois termes de l'équation dynamique, le terme d'accélération est nettement plus petit que les deux autres, qui s'équilibrent donc à peu près :

−−→grad(p)≈ −2.ρ.~Ω∧~v

3) Ro≈ _L.Ω^U = 1375: les forces de Coriolis sont négligeables.

13.2.4) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, irrotation- nel, stationnaire, incompressible homogène

On s'intéresse à un écoulement parfait, irrotationnel, stationnaire, incompressible, homogène.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

dans tout le uide v² 2 +P

µ +g.z=cste

13.2.5) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, irrotation- nel, stationnaire, barotrope

On s'intéresse à un écoulement parfait, irrotationnel, stationnaire, barotrope.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

Dans tout le uide : ^v₂² +ϕ(P) +g.z=cste.

13.2.6) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, irrotation- nel, barotrope

On s'intéresse à un écoulement parfait, irrotationnel, barotrope.

Déterminer la formule de Bernoulli, et son domaine d'application.

Dans tout le uide : ^∂φ_∂t +^v₂² +ϕ(P) +g.z=cste.

13.2.7) Démonstration de la relation de Bernoulli dans le cas de l'écoulement parfait, stationnaire,

Le long d'une ligne de champ ^v₂² +^P_µ +g.z=cste.

13.2.8) Ecoulement barotrope pour un gaz parfait

Un uide considéré comme un gaz parfait est en écoulement isentropique.

1) Montrer que l'écoulement est barotrope.

1) L'équation d'évolution du gaz donnée par la loi de LaplaceP.V^γ =cte(transformation isentropique).

Cette relation devient : P.µ^−γ =cte. On retrouve les propriétés d'un écoulement barotrope :µ=f(P)ne dépend que deP etϕ= _γ−1^{γ P}_µ.

13.2.9) Relation de Bernoulli et premier principe de la thermodynamique

1) Montrer que pour un uide quelconque en écoulement isentropique et stationnaire, l'équation de Bernouilli prend la forme :

v²

2 +ep+h=cte oùhest l'enthalpie massique du uide.

1) On sait que pour un uide quelconque en écoulement irrotationnel et stationnaire, l'équation de Bernouilli prend la forme : ^v₂² +ep+ϕ(P) =ctesi l'écoulement est barotrope : ^grad(P~_µ ⁾=grad~ (ϕ(P)).

Or, en thermodynamique,hl'enthalpie massique du uide suit :dh=_µ¹dP+T.ds=_µ¹dP si l'écoulement est isentropique.

Or, pour un écoulement stationnaire,dh=grad(h).d~l~ et dP =grad(P~ ).d~l. Aussi, ^grad(P)~_µ =grad~ (ϕ(P)), avecϕ(P) =h.

En remplaçant dans l'équation de Bernouilli on trouve : v²

2 +ep+ϕ(P) = v²

2 +ep+h=cte

III- Equation de Navier Stokes et conditions aux limites sur la vitesse

Utiliser la condition aux limites sur la composante normale du champ des vitesses.

Utiliser l'équation de Navier-Stokes dans un uide newtonien en écoulement incompressible.

ce qu'il faut savoir faire

A l'inni, la vitesse est homogène :~v_∞ =v0.~ux et sur un obstacle ou sur une paroi, il ne peut y avoir de composante normale du uide sur la paroi (et la vitesse tangentielle est nulle si le uide est visqueux mais ce n'est pas le cas pour un écoulement parfait).

C) Utilisation des conditions aux limites

Les inconnues dans l'équation de Navier Stokes sont les trois composantes de la vitesse, la masse volu- mique et la pression, soit cinq inconnues scalaires. Si on ajoute à l'équation de Navier Stokes la relation locale de conservation de la masse, on dispose de quatre équations scalaires : il nous manque encore une équation pour déterminer parfaitement les inconnues. Bien souvent, il s'agira de relier la masse volumiqueµà la pressionP, via une relation thermodynamique :µ=f(P). Citons par exemple : pour les liquides (uide incompressible), pour les gaz ^1∂µ (uide compressible).

D) Appliquer l'équation de Navier Stokes

aussi bien spatiales que temporelles : au contact d'un solide, la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle du uide égale à celle du solide, à l'interface entre deux uides, la force de cisaillement est continue, donc la dérivée de la vitesse suivant la normale à l'interface est aussi continue.

En projetant suivant une direction, on peut n'avoir plus qu'une équation en pression, qu'on intègre, grâce aux conditions aux limites. La projection suivant une direction orthogonale permet de trouver la vitesse, encore grâce aux conditions aux limites :~v=~0au contact du solide dans le référentiel du solide.

13.3.1) Ecoulement entre deux cylindres

L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R₁ et R₂, tournant autour de leur axe commun(Oz)aux vitesses angulairesΩ₁ etΩ₂ peut être décrit par le champ des vitesses :

~v(~r, t) =

A.r+B r

.~u_θ

1) Déterminer les constantes AetB en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres enR1

etR2.

2) Que se passe-t-il dans le cas oùΩ1= Ω2= Ω?

1) A.R1+_R^B

1 = Ω1.R1 etA.R2+_R^B

2 = Ω2.R2 entraînent :







A= ^Ω2.R_R²²2^−Ω1.R21 2−R²₁

B= ^(Ω1−Ω_R2^2).R22.R21 2−R²₁

2) SiΩ₁= Ω₂= Ω, on trouve A= Ωet B= 0, soit :

~v(~r, t) = Ω.r.~u_θ

Il y a donc rotation "en bloc" (comme un solide) du uide.

13.3.2) Ecoulement au dessus d'un plan oscillant

L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des vitesses suivant :

~v(~r, t) =A.e^−k.y.cos (ω.t−k.y).~ux

Vérier que les conditions aux limites sont correctes.

On vérie que les conditions aux limites sont correctes :

~v(y= 0) =A.cos (ω.t).~u_x

~v(y→+∞) =~0

13.3.3) Loi de Darcy

Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques horizontaux, de rayonaet de longueur`(a`), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence de pression∆pentre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.

On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est ca- ractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz tel que :

∆p

1) Enr=a, la vitesse s'annulle sur la paroi du tube : v(r=a) = 0 La vitesse est maximale sur l'axe du tube (enr= 0) :

dv(r) dr

r=0

= ∆p

4.η.`(−2.r) = 0 Donc

v(r) =− ∆p

4.η.` a²−r²

13.3.4) Ecoulement de Poiseuille plan

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µet de viscosité dynamique η s'écoule entre deux plans parallèles éloignés de δ suivant l'axe Oz. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :

~

v=v(z).~u_x

où~u_x est parallèle aux plans, orienté dans le sens de l'écoulement. On négligera l'eet de la pesanteur devant celui des forces de pression.

Déterminerv(z).

NB : L'écoulement est incompressible, doncdiv~v= 0 = ^∂v_∂x^x, doncv(z)uniquement.

L'équation de Navier Stokes est µ

~ v.−−→

grad

~

v=−−−→

gradP+η.∆~v

soit

µ

v(z). ∂

∂x

v(z)~u_x= 0 =−−−→

gradP+η.∂²v(z)

∂z² ~u_x qui donne suivant~uz

0 =−∂P(x, z)

∂z Cette dernière équation donne

P(x, z) =f(x) L'équation de Navier Stokes projetée suivant~u_x donne

0 =−∂P(x)

∂x +η.∂²v(z)

∂z²

soit ∂²v(z)

∂z² = 1 η

∆P

∆x qu'on intègre une fois :

∂v(z)

∂z = 1 η

∆P

∆x.z+A et une seconde fois :

v(z) = 1 2η

∆P

∆xz²+A.z+B

Les conditions aux limites donnent :v(z= 0) = 0 =B et v(z=δ) = 0 = ₂¹_η^∆P_∆xδ²+A.δ. On trouve donc

~ v= −1

2η

∆P

∆x (δ−z).z.~ux

13.3.5) Ecoulement de Poiseuille cylindrique

On considère l'écoulement permanent d'un uide de viscosité η (écoulement de Poiseuille) dans un tube cylindrique d'axeOz, de section circulaire et de rayonR.

On admet que la vitesse est ~v(r, z, θ) =vz(r)~uz; que la pression ne dépend que de z et que et la variation de la pression est constante le long de l'axez. On négligera la pesanteur.

Déterminer la vitesse du uide.

On applique la loi de Navier-stokes :

∂−→v

∂t +−−→

grad v²

2

+−→

rot(−→v)∧ −→v =~g−

−−→grad(P)

µ +ν.∆~v

or ^∂_∂t^−→v =~0(stationnaire),−−→

grad

v² 2

=vz∂vz

∂r~ur,−→

rot(−→v) =−^∂v_∂r^z~uθ, donc−→

rot(−→v)∧ −→v =−vz∂vz

∂r~ur. Donc le membre de gauche est nul.

Enn,~g négligé,−−→

grad(P) =^dP_dz~u_z et∆v_z= ¹_{r ∂r}^∂ r^∂v_∂r^z

. Donc l'équation de Navier-Stokes devient : 1

r ∂

∂r

r∂vz

∂r

=1 η

dP dz qu'on intègre une fois :

r∂v_z

∂r = r² 2.η

dP dz +A qu'on intègre encore une fois :

vz= r² 4.η

dP

dz +A.ln r

r₀

+B

En r= 0, la vitesse ne serait pas dénie siAétait non nulle. Compte tenu de la condition de non-glissement (v(R) = 0), on trouve :

v(r) =−R² 4η

dp dz

1− r²

R²

La vitesse est plus importante au centre du conduit : vmax= R²

4η dp dz

malgré le signe négatif, étant donné que la vitesse est orientée à l'encontre du gradient de pression. Écoulement dans le sens positif pour un gradient négatif...

13.3.6) Champ des vitesses dans un ruissellement laminaire

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µet de viscosité dynamiqueη s'écoule sur un plan incliné d'un angleαsur l'horizontale sur une hauteurδconstante. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :

~v=v(x, z).~ux

où~u_x est parallèle au plan incliné, orienté dans le sens de l'écoulement et~u_z est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.

1) Montrer qu'alorsv(z)uniquement.

2) Déterminer le champ de pressionP(x, z)dans le uide.

3) Déterminerv(z).

1) L'écoulement est incompressible, doncdiv~v= 0 = ^∂v_∂x^x, doncv(z)uniquement.

2) L'équation de Navier Stokes est

qui donne suivant~u_z

0 =−∂P(x, z)

∂z −µ.g.cosα Cette dernière équation donne

P(x, z) =−µ.g.cosα.z+f(x) Or P(x, z=δ) =Patmà la surface du uide, donc :

P(x, z) =−µ.g.cosα.(z−δ) +Patm

qui ne dépend que dez.

3) L'équation de Navier Stokes projetée suivant~uxdonne 0 =−∂P(x, z)

∂x +µ.g.sinα+η.∂²v(z)

∂z²

soit ∂²v(z)

∂z² =−µ.g.sinα η qu'on intègre une fois :

∂v(z)

∂z =−µ.g.sinα η .z+A et une seconde fois :

v(z) =−µ.g.sinα

2.η z²+A.z+B

Les conditions aux limites donnent : v(z= 0) = 0 =B et la continuité de la contrainte tangentielle (nulle à la surface avec l'air) : _dv(z)

dz

z=δ= 0 or_dv(z)

dz

=−^µ.g.sin_η ^αz+A, doncA= ^µ.g.sin_η ^αδ. On trouve donc

~v=µ.g.sinα

2.η (2.δ−z).z.~ux

13.3.7) Champ des vitesses dans un amortisseur hydraulique

On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un piston de longueur ` et de rayon R⁰ = R−a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de masse volumiqueµ et de viscosité dynamiqueη, qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitessevz(r)du uide entre le piston et la paroi est assimilable à un champvz(x)puisque aR.

1) Exprimer l'équation diérentielle suivie par vz(x).

2) Trouver vz(x)dans le référentiel du cylindre (le piston se déplace avec la vitessevp).

1) Equation de Navier Stokes :~0 =−−−→

gradp+η∆~v. La pression ne dépend que dez, aussi, ηd²v_z

dx² =dp dz = ∆p

` = −F

`.π.R²

si l'opérateur appuie de bas en haut (la vitesse du piston sera alorsv_z= +v_p).

2) On intègre une fois :

dvz

dx = −F

η.`.π.R².x+A et une deuxième fois :

vz= −F

2η.`.π.R².x²+A.x+B

Les conditions aux limites sont : v_z(x= 0) = 0(le long de la paroi du cylindre) et v_z(x=a) =v_p (le long de la paroi du piston). Donc : B= 0et _2η.`.π.R^−F 2.a²+A.a=v_p, ainsi

−F v