Méthode de projection implicite

Inversement lorsque le Reynolds est petit, et c'est presque toujours le cas dans les applications biologiques, un schéma implicite enu^∗ s'impose, et une intégration en temps d'Euler ou un schéma de Crank-Nicholson conviennent. On trouvera des renseignements détaillés sur des schémas implicites plus ou moins sophistiqués en consultant la thèse de Long Lee (et l'article avec Leveque [26]) disponible à l'adresse http ://www.amath.unc.edu/Faculty/longlee/.

Méthode d'ordre un : Un premier schéma implicite d'ordre un en temps est le suivant : ρ(u^∗−uⁿ

∆t +uⁿ· ∇uⁿ)−div(µD(u^∗)) =f (38) div∇pⁿ⁺¹

ρ = divu^∗

∆t (39)

uⁿ⁺¹ =u^∗−∆t

ρ ∇pⁿ⁺¹ (40)

Un diérence fondamentale avec un schéma explicite est qu'une condition au bord suru^∗est nécessaire pour résoudre (38), alors qu'elle était inutile dans le schéma explicite (u^∗était alors calculé uniquement à l'intérieur). Ici on peut prendreu^∗=uⁿ⁺¹=u_bau bord. On obtient alors une condition de Neumann sur la pression. Lorsqu'on utilise la dernière équation pour éliminer u^∗ de la première, on obtient

ρ(uⁿ⁺¹−uⁿ

∆t +uⁿ· ∇uⁿ) +∇pⁿ⁺¹−div(µD(uⁿ⁺¹))−∆tdiv(µD(1

ρ∇pⁿ⁺¹)) =f

et on voit apparaître un terme d'ordre un en∆tsupplémentaire (sauf siµetρsont constantes, auquel cas ce terme est un gradient et entre dans la pression). Mais au moins la condition de stabilité de la diusion est elle levée.

Méthodes d'ordre deux pour écoulements à densité et viscosité constantes : Dans le cas d'une densité et d'une viscosité constantes, on dispose de schémas d'ordre deux assez simples : par exemple le schéma implicite de Kim et Moin [25], qui est une version implicite du schéma de projection de Chorin. On calcule d'abord une vitesse intermédiaire sans utiliser le gradient de pression, grâce à un schéma de Crank-Nicholson :

u^∗−uⁿ

∆t +uⁿ⁺¹² · ∇uⁿ⁺¹² −ν

2[∆u^∗+ ∆uⁿ] =fⁿ⁺¹² (41) où le terme de convection est approché par une formule d'Adams-Bashforth explicite

uⁿ⁺¹² · ∇uⁿ⁺¹² ≈ 3

2uⁿ· ∇uⁿ−1

2uⁿ⁻¹∇uⁿ⁻¹ (42)

et le second membre, qui dépend deφ, est évalué en ¹₂(φⁿ+φⁿ⁺¹)après calcul deφⁿ⁺¹ par intégration explicite de l'équation de tranport en φ(cf schémas WENO ci-dessous).

Le choix de la condition aux limites pouru^∗ dans (41) est cette fois crucial pour l'ordre du schéma.

Si l'on prend u^∗ = ub sur le bord, on perd l'ordre deux du schéma : Kim et Moin ont montré [25]

qu'une bonne condition était donnée par

u^∗=u_b+ ∆t∇qⁿ (43)

oùu_b est la condition de Dirichlet en vitesse (0dans notre cas) etq est une pression modiée. Elle est calculée en résolvant l'équation de Poisson

∆qⁿ⁺¹= divu^∗

∆t (44)

Enn la mise à jour de la vitesse est faite comme en explicite : uⁿ⁺¹−u^∗

∆t =−∇qⁿ⁺¹ (45)

Kim et Moin, ainsi que [6] ont montré que le schéma ainsi obtenu est d'ordre deux en temps et en espace, à condition de discrétiser comme dans le schéma explicite les termes d'espace. La fonction q n'est pas exactement la pression. En eet en sommant (45) et (41) et en éliminantu^∗ dans les termes diusifs au moyen de (45), on trouve

uⁿ⁺¹−uⁿ

∆t +uⁿ⁺¹² · ∇uⁿ⁺¹² −ν 2

∆uⁿ⁺¹+ ∆uⁿ

+∇(qⁿ⁺¹−∆tν

2∆qⁿ⁺¹) =fⁿ⁺¹² (46) La pression, si on en a besoin, est donc obtenue à partir deq par

pⁿ⁺¹² =qⁿ⁺¹−∆tν 2∆qⁿ⁺¹

A noter que la condition aux limites pour l'équation de Poisson (44) est obtenue en prenant la com-posante normale de (43) qui s'écrit∆t^∂q_∂nⁿ =u^∗·n−u_b·n. Commeuⁿ⁺¹·n=u_b·n sur le bord, on a

∂qⁿ

∂n = ^u∗·n−u_∆t^n+1·n et en utilisant (45) on obtient ^∂q_∂nⁿ⁺¹ = ^∂q_∂nⁿ. Par conséquent si on prendq⁰ à dérivée normale nulle sur le bord, on aura à chaque pas de temps la condition de Neumann homogène

∂qⁿ⁺¹

∂n = 0

Des résultats de convergence existent pour ce type de schémas temporels [22]. La convergence en vitesse en norme L² est d'ordre ∆t². La convergence en pression en norme L² et en vitesse en norme H¹ est d'ordre∆t³². Dans cette même référence on trouve des schémas où la dérivée en temps est discrétisée par une formule à trois points faisant interveniruⁿ etuⁿ⁻¹.

Méthode d'ordre deux pour écoulements à densité et viscosité variables : Dans le cas où la viscosité et/ou la masse volumique varient, la situation est plus compliquée. En eet si on adapte la même procédure on se rend compte que le terme résiduel qui permettait de dénir la pression à partir deq n'est plus un gradient. Il vaut dans le casρ constant :

∆t

D(∇qⁿ⁺¹)−∆qⁿ⁺¹I

∇µ

et est bien sûr porté par la zone interfaciale dans le cas oùµest constant de chaque côté. Il est donc a priori d'ordre un en∆t. Cela vient du fait qu'on a résolu l'équation enu^∗ en négligeant complétement le gradient de pression, ce qui au nal donne une erreur "proportionnelle" à cette pression. Si au contraire on utilisait∇qⁿ⁻¹² dans cette équation au lieu de0, on obtiendrait un terme correctif de∆t². L'algorithme pour le casρ etµnon constants, mais supposés connus à tout temps (cf paragraphe 9.5 pour le couplage avec les équations de transport) est alors le suivant : on calculeu^∗ par un schéma de Crank-Nicholson, en approchant le terme de convection de manière explicite par Adams-Bashforth :

ρⁿ⁺¹²

u^∗−uⁿ

∆t +uⁿ⁺¹² · ∇uⁿ⁺¹²

− 1

2div(µⁿ⁺¹D(u^∗) +µⁿD(uⁿ)) +∇qⁿ⁻¹² =fⁿ⁺¹² (47) On calculeqⁿ⁺¹² en résolvant l'équation elliptique

div 1

ρⁿ⁺¹²

∇qⁿ⁺¹²

!

= div u^∗

∆t+ 1 ρⁿ⁺¹²

∇qⁿ⁻¹²

!

(48)

Puis on met à jour la vitesse par

uⁿ⁺¹−u^∗

∆t = 1

ρⁿ⁺¹²

∇qⁿ⁻¹² − ∇qⁿ⁺¹²

(49) En regroupant les termes on constate que l'équation que l'on résout est en réalité

ρⁿ⁺¹²

uⁿ⁺¹−uⁿ

∆t +uⁿ⁺¹² · ∇uⁿ⁺¹²

− 1

2div(µⁿ⁺¹D(uⁿ⁺¹) +µⁿD(uⁿ)) +∇qⁿ⁺¹²

−∆tdivµⁿ⁺¹D 1 ρⁿ⁺¹²

∇[qⁿ⁺¹² −qⁿ⁻¹²]

!

=fⁿ⁺¹² Pour une solutions régulières, le terme supplémentaire est donc d'ordre∆t². Cet algorithme (introduit dans [2] dans le cas homogène, étudié aussi par [6], et [37] dans le cas non homogène) présente donc, au niveau de l'équation, pour des solution régulières, une erreur de consistance d'ordre deux en temps et espace. Mais bien sûr cela ne signie pas que la solution converge à l'ordre deux vers la solution du problème continu, et à ma connaissance il n'y a pas de tels résultats de convergence pour le cas oùρet µne sont pas constants. Il faut se méer, comme le souligne très récemment [22] de ce que l'on entend par une méthode d'ordre deux : au delà de la consistance qui est nécessaire, quelle norme utilise-t-on pour mesurer la convergence ?

9.4 Schémas WENO pour l'équation de transport

Le coeur de la méthode présentée ici réside dans une équation de transport d'une fonction (vec-torielle) niveau qui va enregistrer les déformations du milieu lors de son déplacement par un champ de vitesse calculé par ailleurs. Il est donc important de résoudre numériquement cette équation de manière précise. De nombreux schémas numériques existent pour l'équation de transport : le schéma amont est le plus classique, mais est assez diusif. Le schéma de Lax-Wendro est d'une part com-pliqué à écrire en dimension deux et d'autre part se comporte assez mal pour une solution irrégu-lière. La méthode des caractéristiques soure du même défaut du fait de l'interpolation qui l'accom-pagne. Au milieu des années 80 des schémas non linéaires généralisant le schéma amont ont été in-troduits par Harten, Engquist, Osher et Chakravarthy. Ces schémas prennent en compte la régularité locale de la solution numérique pour déterminer sur quels points les diérences nies doivent être calculées : il s'agit des schémas ENO (Essentially Non Oscillatory). Plus récemment, les schémas WENO (Weighted Essentially Non Oscillatory), qui consistent à prendre une combinaison optimale des stencils de discrétisation (un polycopié de Shu complet sur ces schémas se trouve à l'adresse http ://citeseer.ist.psu.edu/shu97essentially.html).

Pour comprendre comment ils fonctionnent, plaçons nous en dimension une, en considérant l'équa-tion de transport semi-dicrétisée

φⁿ⁺¹−φⁿ

∆t +uⁿφⁿ_x = 0 (50)

Au noeudid'une discrétisation de l'intervalle d'étude, l'équation est donc φⁿ⁺¹_i −φⁿ_i

∆t +uⁿ_i(φx)ⁿ_i = 0 (51)

Le schéma amont consiste simplement à approcher la dérivée enx de φau noeud ien tenant compte du signe deui. On pose (φ⁻_x)i = ^φi−φ_∆xⁱ⁻¹ et(φ⁺_x)i= ^φi+1_∆x^−φi et on écrit (en ommettant len)

(φx)i≈

((φ⁻_x)_i si u_i >0

(φ⁺_x)i si ui <0 (52)

sachant que la valeur choisie pourui= 0 n'a pas d'importance dans (51). Ce schéma est stable sous la condition de Courant-Friedreichs-Lewy (CFL)

∆t < ∆x

max|u| (53)

Le schéma WENO que nous considérons utilise les valeurs{φ_i−3, φi−2, φi−1, φi, φi+1, φi+2}pour déter-miner une approximation de(φ⁻_x)_i (resp. {φ_i−2, φi−1, φ_i, φ_i+1, φ_i+2, φ_i+3} pour(φ⁺_x)_i). Posons

v₁ = φi−2−φi−3

∆x , v₂= φi−1−φi−2

∆x , v₃ = φ_i−φi−1

∆x , v₄ = φ_i+1−φ_i

∆x , v₅ = φ_i+2−φ_i+1

∆x

On montre alors après quelques développements limités (cf polycopié de Shu cité ci-dessus) que les trois quantités

φ¹_x= v1

3 −7v2

6 +11v3

6 , φ²_x=−v2

6 +5v3

6 + v4

3, φ³_x= v3

3 +5v4

6 −v5

6

sont des approximations à l'ordre trois deφ⁻_x. Un schéma ENO d'ordre 3 choisirait la meilleure de ces approximations au moyen d'un critère minimisant les diérences divisées d'ordre trois deφ. Ce faisant, on obtient un schéma d'ordre trois. Il a été remarqué ensuite qu'en prenant plutôt une combinaison convexe optimale des trois quantités ci-dessus pour approcherφ⁻_x, on pouvait atteindre l'ordre5 dans les régions oùφest régulière. On prend donc

(φ⁻_x)_i≈ω₁φ¹_x+ω₂φ²_x+ω₃φ³_x

où 0≤ωk ≤1sont des poids tels quel ω1+ω2+ω3 = 1. Dans les régions où φ est régulière, le choix optimal est ω₁ = 0.1, ω₂ = 0.6 et ω₃ = 0.3, mais ce choix peut s'avèrer catastrophique lorsque φ est moins régulière. Dans ce cas un schéma ENO serait meilleur (i.e. un ω_k égal à 1 et les autres nuls).

Finalement les recherches sur ces schémas ont abouti à déterminer les poidsωk grâce à des indicateurs de régularité de la solution numérique. On pose

S1= 13

12(v1−2v2+v3)²+1

4(v1−4v2+ 3v3)² (54) S₂= 13

12(v₂−2v₃+v₄)²+1

4(v₂−v₄)² (55)

S₃= 13

12(v₃−2v₄+v₅)²+1

4(3v₃−4v₄+v₅)² (56) puis on dénit

α1= 0.1

(S₁+ε)², α2= 0.6

(S₂+ε)², α3 = 0.3 (S₃+ε)² oùε >0est petit (par exemple ε= 10⁻⁶max{v_k²}+ 10⁻⁹⁹), et enn les poids

ω_k= α_k α1+α2+α3

, k= 1,2,3

Ces choix donnent presque les poids optimaux dans les régions oùφ est régulière, et reproduisent un comportement de schéma ENO ailleurs. A titre d'exemple les gures suivantes donnent les résultats de simulation de l'équation de transport monodimensionnelle d'une fonction protoype de fonction distance, par plusieurs schémas. On a prit dans ces exemples 200 points en espace sur l'intervalle [0,10], soit

∆x = 0.05, et une CFL de 0.2. Le choix de cette CFL s'explique par le fait qu'en pratique, le pas de temps n'est pas souvent imposé par l'équation de transport, mais plutôt par la diusion, si on est en explicite, ou la raideur de l'interface. Il est donc important que notre schéma de transport de l'interface ne soit pas trop diusif à basse CFL. Le schéma temporel utilisé dans cet exemple est celui d'Euler, à l'exception du schéma RK3 en temps / centré en espace. Le schéma WENO est clairement meilleur que tous les autres schémas, y compris les schémas sophistiqués de Fromm et Beam-Warming. On remarque en outre que les schémas (W)ENO, au même titre que le schéma amont sur lequel ils sont basés, sont les seuls à ne pas présenter de post ou pré-oscillations.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema Amont

Approchee Exacte

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema de Lax-Wendroff

Approchee Exacte

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema RK3 en temps / Centre en espace

Approchee Exacte

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema Beam-Warming

Approchee Exacte

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema de Fromm

Approchee Exacte

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema ENO 2

Approchee Exacte

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Schema WENO 5

Approchee Exacte

9.5 Déplacement implicite de l'interface

Ci-dessus on a supposé que le second membre, ainsi que la densité et la viscosité des équations de Navier-Stokes était données pour tout temps. Mais dans notre modèle, ces grandeurs sont ob-tenues grâce à la fonction φ, qui est convectée par le champ de vitesse u. Il s'agit là du couplage uide/structure ! Le déplacement explicite de l'interface introduit une condition de stabilité sur le pas de temps, proportionnelle à(∆x)³² et à1/W e[5], qui peut devenir très contraignante lorsque la struc-ture a une raideur importante. Plus exactement, dans le cas de la courbe élastique immergée le pas de temps doit être inférieur à

∆t_c=

rρ₁+ρ₂ 4πλ (∆x)³²

ce qui devient la condition la plus sévère si le schéma est implicite ou à Reynolds assez grand, surtout si la raideurλde l'interface est grande. Pour s'aranchir de cette condition, il faut déplacer l'interface de manière implicite. C'est un problème délicat, car les équations à résoudre sont complétement non linéaire. Dans cette direction, explorée par Lee et Leveque dans [26] plusieurs stratégies sont envisa-geables :

Explicite : On calcule la position φⁿ⁺¹ = 0 de l'interface en transportant φ avec le champ de vitesse à l'instant t_n. Puis on utiliseφⁿ⁺¹ ou ¹₂(φⁿ⁺¹+φⁿ) selon le schéma utilisé, pour calculer la force exercée par la structure sur le uide.

Implicite approchée : Etant donné le champ de vitesse à l'instant tn, on résout de manière implicite l'équation de transport en φ, et pour disposer d'une méthode assez précise en espace on peut faire une itération du type

φ^n+1,k+1=φⁿ−∆tuⁿ· ∇φ^n+1,k

oùφ^n+1,0=φⁿet le terme de convection est traité par un schéma WENO. L'équivalent lagrangien de cette méthode a été utilisé par Peskin (voir les références dans [41]). Bien que faussement implicite, cette méthode semble d'après leurs auteurs limiter les violentes instabilités qui peuvent apparaître en explicite.

Semi-implicite : On eectue une itération sur les résolutions en φ et u jusqu'à convergence, et ceci pour chaque pas de temps : on pose u^n+1,0 =uⁿ etφ^n+1,0 =φⁿ et pour k = 0,1, . . . on résout l'équation de transport avec φ^n+1,k etu^n+1,k pour obtenir φ^n+1,k+1 puis l'équation uide avec φ^n+1,k+1ou ¹₂(φ^n+1,k+1+φⁿ)pour évaluer le second membre. On itère jusqu'à convergence.

Complètement implicite : On résout le système (u, φ) dans sa totalité. En lagrangien et sur le problème de Stokes, Tu et Peskin ont implémenté ce schéma et on montré sa stabilité inconditionnelle. Cependant ils indiquent aussi que la méthode est d'un coût prohibitif, et ce

sera encore plus vrai dans notre cas car le couplage est maintenant entre deux EDP, au lieu d'une EDP et d'une EDO.

La méthode explicite est largement la plus employée. La méthode implicite approchée permet des pas de temps plus importants, mais n'est pas très intéressante car les sous-itérations d'après [41] font perdre le bénéce de l'augmentation du pas de temps. La méthode complètement implicite est inuti-lisable car trop coûteuse. Un bon compromis, qui serait à tester dans notre contexte, est la méthode semi-implicite. Cependant comme indiqué dans [41], bien que cette méthode soit théoriquement incon-ditionnellement stable, en pratique on constate certaines instabilités pour de grands pas de temps. De toute façon pour des pas de temps trop importants la méthode devient peu précise est des pertes de volumes ont été constaté. Ainsi pour un coecientλde10⁴, le rapport des pas de temps de stabilité (à précision comparable) entre le schéma explicite et semi-implicite est de6si l'on utilise une intégration en temps d'Euler dans le schéma explicite, et de1seulement si l'on utilise RK4, pour des temps CPU comparables. En conclusion la mise au point de schéma semi-implicites performants reste à faire.

10 Exemples de simulations numériques

10.1 Elasticité eulérienne

Nous avons implémenté les modèles compressibles et incompressibles du paragraphe 6 dans le cas d'une loi linéaire liant σ et b. Il faut préciser qu'une autre loi pourait être employée (par exemple Saint-Venant Kirchho), sans diculté numérique supplémentaire. Comme cas test nous présentons ci-dessous la simulation de la déformation du rectangle en étirement et cisaillement, dans les cas compressibles et incompressibles. Pour imposer une force surfacique sur un coté du rectangle, on utilise la même technique d'approximation des masses de dirac par fonction cut-o que dans les méthodes de frontières immergées.

Le premier test (gure 3) consiste à appliquer deux forces de traction horizontales, constantes et opposées sur les deux cotés verticaux d'un rectangle (ici]0.25,0.75[²). La force est telle que la partie du solide correspondant à ce rectangle, dans le cas classique (non incompressible) de l'élasticité voit son volume augmenter de 30% lorsque sa déformation est maximale (il oscille sous l'action de cette force).

Le solide élastique incompressible demeure au contraire de volume constant, et oscille lui aussi. Les deux premières gures représentent les déformations du solide dans les cas classique et incompressible, au temps où elles sont maximales. Le second test (gure 4 est d'appliquer une force verticale enx= 0.75, encore une fois dans les cas classique et incompressible, pour reproduire un cisaillement.

10.2 Membrane élastique dans un uide

Dans [14], nous comparons la méthode présentée ci-dessus à la méthode de frontière immergée classique de Peskin et à l'amélioration qui a été developeé par Lee et Leveque [26]. Le cas tes principal consiste à simuler la relaxation d'une membrane élastique étirée initialement sous la forme d'une ellipse, et qui retourne à sa position d'équilibre asymptotiquement. Les paramètres sont : boite de taille 1, rayon au repos de membrane0.5, ellipse initiale de grand et petit axes a= 0.75 etb= 0.5 Re= 100, ce qui correspond à un étirement initial proche de1.262. Le rayon à l'équilibre est proche de0.61237. Nous utilisons un schéma explicite ou une schéma de Crank-Nicholson, et le déplacement de l'interface est explicite. Sur la gure 5 nous traçons la variations des axes de la membranes élastique. L'erreur relative sur la conservation du volume du uide intérieur à la membrane (qui devrait rester constant) est comparé pour les trois méthodes sur la gure 6. La courbe supérieure est la méthode originelle de Peskin ; la courbe intermédiaire est son amélioration par Lee et Leveque ; notre méthode correspond à la courbe inférieure. Nous constatons que l'amélioration de [26] a augmenté l'ordre de la méthode, en utilisant un solveur adapté pour l'équation en pression. Notre méthode est du même ordre que la méthode de Peskin, mais pour les tailles de grilles réalistes est intrinsèquement plus précise que ces

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.005

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.995

Elasticité classique

x

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.005

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.995

Elasticité incompressible

x

y

Fig. 3 Rectangle en traction

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.005

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.995

Elasticité classique

x

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.005

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.995

Elasticité classique

x

y

Fig. 4 Rectangle en cisaillement deux méthodes.

11 Conclusion et perspectives

Les tests ci-dessus, et d'autres disponibles sur le site du LMC mettent en évidence l'intérêt de cette méthode eulérienne, d'implémentation relativement simple, dans la modélisation et la simulation de problèmes de couplage uide-structure. Pour autant, de nombreuses questions demeurent et des comparaisons précises avec des méthodes éprouvées comme ALE restent à faire.

En particulier, Claire Bost étudie un moyen intrinsèque pour décrire complétement l'élasticité d'une surface dansR³ avec cette méthode (autrement qu'en transportant les trois coordonnées). En eet en dimension deux une fonction sut pour décrire l'élasticité d'une courbe, et il semble naturel qu'en

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Radii in horizontal or vertical directions

Time

Fig. 5 Relaxation d'une ellipse pressurisée vers un cercle

0.0001 0.001 0.01 0.1

0.01

Relative error in volume

Grid size h = 2/64, 2/128 and 2/256

Fig. 6 Erreur sur la conservation du volume pour trois tailles de grilles

dimension trois deux grandeurs eulériennes susent.

D'un point de vue théorique, l'étude de l'existence de la solution d'un problème de couplage uide-structure sous l'angle de cette formulation pourrait lever certains verrous qui ont été constatés par de nombreux auteurs (Grandmont, Maday, Esteban, Desjardins), puisque la condition de couplage est en quelque sorte "adoucie".

Un autre point important serait d'étudier des schémas plus performants pour déplacer l'interface de manière semi-implicite, car il s'agit d'un point faible de la méthode numérique actuelle au niveau de sa stabilité. Une étude ne des conditions aux limites convenables à imposer sur les fonctions niveaux dans le cas d'un problème à données au bord non homogènes serait la bienvenue.

Etudier la stabilité et l'instabilité du problème d'interaction membrane-uide lors de perturbations périodiques des coecients élastiques, en dimension deux et trois. Cette étude a été menée en dimension deux dans [11] pour le modèle lagrangien. Elle aurait des applications notamment dans l'étude des oscillations auto-entretenues de membranes biologiques, observées expérimentalement pour certaines cellules (broblastes, cf les travaux de P. Tracqui du laboratoire TIMC).

Les rapports avec la méthode du champ de phase seraient à expliciter. Il semble que chacune des méthodes pourrait apporter à l'autre des techniques qui semblent propres actuellement à chaque communauté.

12 Problème 1 : courbe élastique en dimension 3

Le but du problème est d'établir une formulation frontière immergée / level-set du mouvement d'une courbe élastique monodimensionnelle dans un uide tri-dimensionnel. On considère donc un ouvertΩ deR³, un intervalle de temps[0, T]avecT >0, et un champ de vitesseu: ¯Ω×[0, T]→R³ à divergence nulle, supposé régulier dans le cadre de cette modélisation. Ce champ sera obtenu en pratique comme la solution des équations de Navier-Stokes munies de conditions de Dirichlet homogènes et d'un second membre rendant compte de l'eort élastique de la courbe sur le uide.

Pour décrire en level-set une courbe Γ_t se déplaçant dans Ω⊂R³, on la considère comme l'inter-section de deux surfaces, décrites chacune par une fonction niveau : on se donne donc φ⁰ : Ω→R et ψ⁰ : Ω→Rtelles que

Γ0={x∈Ω, φ⁰(x) = 0etψ⁰(x) = 0}={φ⁰= 0} ∩ {ψ⁰= 0}

avec∇φ⁰(x)∧ ∇ψ⁰(x)6= 0 au voisinage deΓ₀.

1. Expliquez à quoi correspond l'hypothèse∇φ⁰∧ ∇ψ⁰ 6= 0.

Le déplacement de la courbe se fait alors en résolvant les équations de transport avec conditions initiales :

φ_t+u· ∇φ= 0 sur Ω×]0, T[, φ=φ⁰ surΩ× {0}. (57) ψ_t+u· ∇ψ= 0 sur Ω×]0, T[, ψ=ψ⁰ surΩ× {0}. (58) et en écrivantΓt={φ= 0} ∩ {ψ= 0}. On suppose pour la suite du problème que l'on s'est placé sur un intervalle de temps tel que|∇φ∧ ∇ψ| ≥α >0 au voisinage deΓ_t, pourt∈[0, T].

2. Montrer que le vecteurT(x) = _{|∇φ∧∇ψ|}^{∇φ∧∇ψ} (x) est unitaire et tangent à la courbe en x.

On peut exprimer facilement les grandeurs géométriques (normale, courbure, binormale et torsion ) de la courbe en fonction deφetψ. On propose dans ce problème de décrire aussi l'allongement de cette courbe grâce àφ etψ. On commence par montrer une formule de Reynolds pour les courbes du type de la proposition 3 du cours.

3. Soit Γ₀ ⊂ Ω une courbe régulière de R³, et Γ_t = X(t; Γ₀,0) sa position à l'instant t, où X représente les lignes caractéristiques du champ de vecteur u, cf cours. Montrer que pour une fonction régulièref : Ω×]0, T[→Ron a

d dt

Z

Γt

f dσ= Z

Γt

f_t+u· ∇f +f([∇u]T ·T)dσ

où T dénote un champ de vecteurs tangent à Γt. On pourra en s'inspirant de la démonstration de la proposition 3, introduire un paramétrageγ : [0,1]→Ωde Γ₀.

4. Montrer que si φest solution de (60) alors

|∇φ|²_t +u· ∇|∇φ|²=−2[∇u]∇φ· ∇φ 5. En raisonnant de même pourψ, montrer que

|∇φ|²|∇ψ|²

t+u· ∇ |∇φ|²|∇ψ|²

=−2(|∇ψ|²[∇u]∇φ· ∇φ+|∇φ|²[∇u]∇ψ· ∇ψ) 6. Montrer que

(∇φ· ∇ψ)_t+u· ∇(∇φ· ∇ψ) =−([∇u]∇φ· ∇ψ+ [∇u]∇ψ· ∇φ)

7. En utilisant l'identité, que vous justirez,|∇φ∧ ∇ψ|²+ (∇φ· ∇ψ)² =|∇φ|²|∇ψ|², montrer que

|∇φ∧ ∇ψ|²_t +u· ∇|∇φ∧ ∇ψ|²

=−2 |∇ψ|²[∇u]∇φ· ∇φ+|∇φ|²[∇u]∇ψ· ∇ψ−(∇φ· ∇ψ)([∇u]∇φ· ∇ψ+ [∇u]∇ψ· ∇φ) 8. On admet le résultat d'algèbre suivant³ : pour une matrice symétriqueS∈M₃(R)de trace nulle

et deux vecteursaetbdeR³, on aSa∧b+a∧Sb=−S(a∧b). En déduire que pour une matrice de trace nulle quelconqueA∈M3(R),

A(a∧b)·(a∧b) =− |b|²Aa·a+|a|²Ab·b−(a·b)(Ab·a+Aa·b) On rappelle la formule du double produit vectoriel :

u∧(v∧w) = (u·w)v−(u·v)w, ou (u∧v)∧w= (u·w)v−(v·w)u.

9. En utilisantdivu= 0 et les deux résultats précédents, montrer que

|∇φ∧ ∇ψ|_t+u· ∇|∇φ∧ ∇ψ|=|∇φ∧ ∇ψ|

[∇u] ∇φ∧ ∇ψ

|∇φ∧ ∇ψ|

· ∇φ∧ ∇ψ

|∇φ∧ ∇ψ|

10. En utilisant la formule de Reynolds donnée à la question 3, et en raisonnant comme dans la remarque 2 page 17 du cours, montrer que pour une fonctionf : Ω →R régulière, et pour φet ψrégulières telles que |∇φ∧ ∇ψ| ≥α >0 on a

d dt

Z

{φ(x,t)=0}∩{ψ(x,t)=0}

f(X(0;x, t))|∇φ∧ ∇ψ|⁻¹(x, t)dσ= 0 ce qui revient à montrer que l'étirement de la courbe est enregistré par|∇φ∧ ∇ψ|.

13 Problème 2 : Level-set / champ de phase

Le but du problème est de faire le lien entre nos méthodes et une formulation champ de phase du problème d'une courbe élastique immergée dans un uide, qui a été développée⁴ par des physiciens du LSP (Laboratoire de Spectrométrie Physique, Grenoble). Dans leur formulation, on considère encore un domaineΩdeR² (cela marche aussi dansR³), avec un champ de vitesseunul au bord. La position de la membrane est repérée aussi par une fonction auxiliaireΦ, mais un peu diéremment : le domaine uide à intérieur de la membrane est caractérisé par l'ensemble des points tels que Φ = −1, et le domaine uide extérieur par Φ = 1. Pour avoir une fonction de phaseΦ régulière, on considère queΦ passe régulièrement de −1 à 1 à la traversée de l'interface, sur une largeur de l'ordre d'un paramètre εpetit. On note donc que le gradient deΦ est par dénition nul loin de l'interface. On fera dans tout ce qui suit l'hypothèse qu'il s'annule sur∂Ω. Les physiciens, qui aiment beaucoup les énergies, font le raisonnement suivant pour déterminer quelle allure prendre pour la fonction reliant les états−1 et 1. Ils commencent par introduire l'énergie intrinsèque

E_i[Φ] = Z

Ω

1

4(1−Φ²)²+ε² 2|∇Φ|²

dx

dont la minimisation correspond à trouver un compromis entre le fait que Φ doit valoir −1 ou 1 (et donc annuler1−Φ²) et d'autre part le fait que le gradient deΦne doit pas être trop grand (sinon le minimiseur serait discontinu).

3Que vous pourrez démontrer chez vous en vous plaçant dans une base orthonormée de vecteur propres deS dans laquelle vous exprimerezaetb, et en utilisant le fait que la somme des valeurs propres est nulle

4J. Beaucourt, F. Rioual, T. Séon, T. Biben and C. Misbah,Steady to unsteady dynamics of a vesicle in a ow, Phys.

Rev. E 69 (2004)

1. Calculer formellement la diérentielle de l'énergie ci-dessus appliquée à une fonction régulière δ: Ω→R, et l'écrire sous la forme

dEi[Φ](δ) = Z

Ω

H(Φ)δdx oùH(Φ)est à déterminer.

2. En déduire l'équation aux dérivées partielles que doit formellement vérier un minimiseur Φ¯ de Ei.

3. On suppose que l'interface est droite, c'est à dire (dans R² par exemple) queΦ(x¯ 1, x2) =ψ(x2), quitte à choisir un repère convenablement. Déterminer l'équation diérentielle vériée parψ. 4. Montrer que la fonction x₂ → tanh( ^x2

ε√

2) est solution de cette équation diérentielle. Voilà la forme choisie initialement pour la transition entre les états −1 et 1, x₂ étant remplacé par la distance à l'interface.

5. L'énergie élastique de la courbe est dénie parE_m = Z

ξ|∇φ|

2 dxoùξ est une fonction deΩ→R qui joue le rôle d'un multiplicateur de Lagrange (on n'utilisera pas cette notion dans le sujet) et qui vériera une équation précisée plus loin dans le sujet. Par une méthode de dérivation d'énergie qui leur est propre, nos collègues physiciens obtiennent la force suivante, dansR² :

F =

−ξdiv ∇Φ

|∇Φ|

∇Φ

|∇Φ|+

∇×Φ

|∇Φ| · ∇ξ

∇×Φ

|∇Φ|

|∇Φ|

2

Pour l'identier avec notre force élastique, nous allons la mettre sous la forme divergentielle, plus intrinsèque. A cette n on rappelle les formules suivantes (qui ne sont pas nécessairement toutes à utiliser) :

(i) Pour deux vecteursaetb,a⊗best la matrice de coecients a_ib_j sur la ligne i, colonne j. (ii) Cette matrice vérie (a⊗b)c= (b·c)a; donc n⊗n est le projecteur surn.

(iii) Pour deux champs de vecteursaetb,div(a⊗b) = (∇a)b+ (divb)a. (iv) Pour une fonctionf et un champ de vecteursa,∇(f a) =a⊗ ∇f+f∇a.

(v) Attentiona⊗b6=b⊗aen général, sauf si ces matrices sont symétriques (ce qui est le cas si aetbsont colinéaires).

Montrer que F = 1

2∇(ξ|∇Φ|)−1 2div

ξ∇Φ⊗ ∇Φ

|∇Φ|

= 1 2div

ξ|∇Φ|(I−∇Φ⊗ ∇Φ

|∇Φ|² )

6. Rappelons que nous avions obtenu dans notre formulation level-set la force suivante : F_LS = div

E⁰(|∇ϕ|)|∇ϕ|(I−∇ϕ⊗ ∇ϕ

|∇ϕ|² )1 εζ(ϕ

ε)

Pour comparer ces deux expressions, on introduit la fonction Z(r) = 2Rr

−∞ζ(s)ds −1. On rappelle que ζ est indéniment dérivable, positive, à support compact sur [−1,1] et ζ(0) = 1. Tracer l'allure du graphe de la fonctionZ.

7. On pose Ψ =Z(^ϕ_ε). Quelles valeurs prendΨ surΩ? Montrer que la force en level-set s'exprime alors par

FLS = 1 2div

E⁰(|∇ϕ|)|∇Ψ|(I−∇Ψ⊗ ∇Ψ

|∇Ψ|² )

8. Tout revient donc à comparerξ etE⁰(|∇ϕ|). L'équation utilisée par les physiciens pour calculer ξ a été postulée à partir de "considérations phénoménologiques". Il s'agit de

ξt+u· ∇ξ =−T·( ∇Φ

|∇Φ|· ∇u) ∇Φ

|∇Φ|

oùT est une constante, alors que

|∇ϕ|_t+u· ∇|∇ϕ|=−|∇ϕ| ·( ∇ϕ

|∇ϕ|· ∇u) ∇ϕ

|∇ϕ|

En déduire queTln|∇ϕ|vérie une équation du même type queξ. Montrer alors que pour que le modèle level-set soit cohérent avec ce modèle champ de phase, il convient de choisir une loi de comportement de la forme

E(r) =T r(lnr−1)

14 Problème 3 : déplacement d'une courbe sur une surface xe et optimisation

Le but du problème est de proposer une modélisation level-set pour le déplacement d'une courbe fermée sur une surface xe, sous des containtes géométriques précisées ci-dessous. Tous les objets géométriques introduits ci-dessous, ainsi que les fonctions les représentant, sont supposés réguliers.

Pour représenter la surface xeS ⊂R³, on considère une paramétrisation : soit J un intervalle deR, etγ :J² →R³ telle que

S={x∈R³|x=γ(r, s), (r, s)∈J²}.

En composantes nous avonsγ = (γ1, γ2, γ3)^T. On introduit les notations (les indices, set, rdésignent les dérivées partielles par rapport à ces variables)

∇γ=





γ_1,r γ_1,s γ_2,r γ_2,s γ3,r γ3,s



, ∇γ^T =

γ_1,r γ_2,r γ_3,r γ1,s γ2,s γ3,s

,

∇ ×γ=





−γ_1,s γ_1,r

−γ_2,s γ_2,r

−γ_3,s γ3,r



, ∇ ×γ^T =

−γ_1,s −γ_2,s −γ_3,s γ1,r γ2,r γ3,r

.

Pour représenter une courbe ferméeΓ⁰ tracée sur la surface, on la considère comme l'image parγ d'une courbe dans J² qu'on représente par level-set. On introduit donc une fonction ϕ⁰ : J² → R dont la ligne de niveau zéro dansJ² est une courbe régulière, et telle que

Γ⁰ ={x|x=γ(r, s), ϕ⁰(r, s) = 0},

la partie de S entourée par Γ⁰ correspondant à ϕ⁰ <0. On va ensuite déplacer cette courbe de sorte qu'elle minimise une certaine énergie. Par commodité on indice par un pseudo-tempst∈]0, T[,T >0, la courbe ainsi déplacée, et on suppose qu'elle peut être représentée sous la même forme : on cherchera donc une fonctionϕ:J²×[0, T[→Rtelle que la courbe à l'instant t, soit donnée par (voir gure)

Γ(t) ={x|x=γ(r, s), ϕ(r, s, t) = 0}.

Dans le document Modèles et calcul d'interfaces Une approche eulérienne du couplage uide/structure M2R Mathématiques Appliquées, UJF, Grenoble (Page 35-52)