Optimisation bool´eenne multiobjectif : complexit´e sous contraintes compil´ees et r´esolution via SAT

Optimisation bool´ eenne multiobjectif : complexit´ e sous contraintes compil´ ees et r´ esolution via SAT

Emmanuel Lonca

Universit´e d’Artois, CRIL-CNRS UMR 8188

26 juin 2015

Cadre des travaux

probl`emes de d´ecision

∃?ω

probl`emes d’optimisation

∃?ω|@ω⁰ω

variables bool´eennes

{>,⊥}

vous ˆetes ici

Probl` eme de d´ ecision

Probl`eme ded´ecision: existe-t-il une solution `a mon probl`eme ?

package: a version: 1 conflicts: a installed: true package: a version: 2 conflicts: a, d package: b version: 1 conflicts: b installed: true package: b version: 2 conflicts: b package: b

package: c version: 1 installed: true package: d version: 1 installed: true package: e version: 1 depends: f, h, i conflicts: e package: e version: 2

depends: f, h, a > 1, b > 1 conflicts: e

package: e

package: e version: 4 depends: f, j conflicts: e package: f version: 1 package: g version: 1 conflicts: b, c, d package: h version: 1 package: i version: 1

request: install package e

Probl` eme d’optimisation

Probl`emed’optimisation: existe-t-il une solution `a mon probl`eme ? Si oui, en retourner une qui minimise le nombre de paquets retir´es.

package: a version: 1 conflicts: a installed: true package: a version: 2 conflicts: a, d package: b version: 1 conflicts: b installed: true package: b version: 2 conflicts: b package: b version: 3 conflicts: b, c

package: c version: 1 installed: true package: d version: 1 installed: true package: e version: 1 depends: f, h, i conflicts: e package: e version: 2

depends: f, h, a > 1, b > 1 conflicts: e

package: e version: 3

depends: f, a > 1, b > 2 conflicts: e

package: e version: 4 depends: f, j conflicts: e package: f version: 1 package: g version: 1 conflicts: b, c, d package: h version: 1 package: i version: 1

request: install package e install: e

Probl` eme d’optimisation multicrit` ere

Probl`emed’optimisation multicrit`ere : existe-t-il une solution `a mon probl`eme ? Si oui, en retourner une qui minimise le nombre de paquets retir´es, dont la version a chang´e, et le nombre de paquets install´es.

package: a version: 1 conflicts: a installed: true package: a version: 2 conflicts: a, d package: b version: 1 conflicts: b installed: true package: b version: 2

package: c version: 1 installed: true package: d version: 1 installed: true package: e version: 1 depends: f, h, i conflicts: e package: e version: 2

depends: f, h, a > 1, b > 1

package: e version: 4 depends: f, j conflicts: e package: f version: 1 package: g version: 1 conflicts: b, c, d package: h version: 1 package: i

Plan de l’expos´ e

I But de la th`ese : ´etudier les probl`emes de d´ecision,

d’optimisation monocrit`ere et multicrit`ere dans la cas bool´een (SAT).

I Plan de l’expos´e :

I pr´eliminaires formels ;

I panorama de la complexit´e de l’optimisation sous contraintes compil´ees ;

I am´elioration des performances des prouveurs SAT pour la d´ecision et l’optimisation.

Pr´ eliminaires formels

Pr´eliminaires formels

Logique propositionnelle

I Cadre bool´een : logique propositionnelle.

I Forme normale : formules CNF (conjonction de clauses).

(x1,1∨. . .∨x1,p1)

∧ (x_2,1∨. . .∨x_2,p2) . . .

∧ (xn,1∨. . .∨xn,pn)

I On note Ω l’ensemble des mod`elesω.

Encodage en logique propositionnelle

I Encodage possible du probl`eme de gestion de d´ependances (d´ecision) en CNF :

¬e1∨(f1∧h1)

∧ ¬e2∨(f1∧h1∧a2∧(b2∨b3))

∧ ¬e3∨(f1∧a2∧b2)

∧ ¬e4∨(f1∧j1)

∧ ¬a1∨ ¬a2

∧ ¬b1∨(¬b2∧ ¬b3∧ ¬g1)

∧ ¬b₂∨(¬b₃∧ ¬g₁)

∧ ¬b3∨(¬c1∧ ¬g1)

∧ ¬c1∨ ¬g1

∧ ¬d1∨(¬a2∧ ¬g1)

∧ ¬e1∨(¬e2∧ ¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e2∨(¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e3∨ ¬e4

I Existe-t’il des solutions meilleures que d’autres ? (crit`ere de choix → probl`eme d’optimisation)

Encodage en logique propositionnelle

I Encodage possible du probl`eme de gestion de d´ependances (d´ecision) en CNF :

¬e1∨(f1∧h1)

∧ ¬e2∨(f1∧h1∧a2∧(b2∨b3))

∧ ¬e3∨(f1∧a2∧b2)

∧ ¬e4∨(f1∧j1)

∧ ¬a1∨ ¬a2

∧ ¬b1∨(¬b2∧ ¬b3∧ ¬g1)

∧ ¬b₂∨(¬b₃∧ ¬g₁)

∧ ¬b3∨(¬c1∧ ¬g1)

∧ ¬c1∨ ¬g1

∧ ¬d1∨(¬a2∧ ¬g1)

∧ ¬e1∨(¬e2∧ ¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e2∨(¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e3∨ ¬e4

I Existe-t’il des solutions meilleures que d’autres ? (crit`ere de choix → probl`eme d’optimisation)

Fonction d’utilit´ e ou de coˆ ut

I Relation de pr´ef´erences : ω1 ω2 (ω1 est pr´ef´er´e `aω2)

I Une fonction d’utilit´e u : Ω7→R mod´elise une relation de pr´ef´erence si et seulement si :

∀ω₁, ω2∈Ω, u(ω1)≥u(ω2)⇔ω1 ω2.

I Une fonction de coˆut (= d´esutilit´e)c : Ω7→Rmod´elise une relation de pr´ef´erence si et seulement si :

∀ω₁, ω2 ∈Ω, c(ω1)≤c(ω2)⇔ω1ω2.

Probl` eme d’optimisation monocrit` ere

I Encodage possible du probl`eme de gestion de d´ependances (optimisation monocrit`ere) :

minc(ω) = (¬a₁¬a₂) + (¬b₁¬b₂¬b₃) + (¬c₁) + (¬d₁) tq.

¬e1∨(f1∧h1)

∧ ¬e2∨(f1∧h1∧a2∧(b2∨b3))

∧ ¬e3∨(f1∧a2∧b2)

∧ ¬e4∨(f1∧j1)

∧ ¬a1∨ ¬a2

∧ ¬b1∨(¬b2∧ ¬b3∧ ¬g1)

∧ ¬b2∨(¬b3∧ ¬g1)

∧ ¬b3∨(¬c1∧ ¬g1)

∧ ¬c1∨ ¬g1

∧ ¬d1∨(¬a2∧ ¬g1)

∧ ¬e1∨(¬e2∧ ¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e2∨(¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e3∨ ¬e4

I Plusieurs crit`eres ? Probl`eme d’optimisation multicrit`ere.

Probl` eme d’optimisation monocrit` ere

I Encodage possible du probl`eme de gestion de d´ependances (optimisation monocrit`ere) :

minc(ω) = (¬a₁¬a₂) + (¬b₁¬b₂¬b₃) + (¬c₁) + (¬d₁) tq.

¬e1∨(f1∧h1)

∧ ¬e2∨(f1∧h1∧a2∧(b2∨b3))

∧ ¬e3∨(f1∧a2∧b2)

∧ ¬e4∨(f1∧j1)

∧ ¬a1∨ ¬a2

∧ ¬b1∨(¬b2∧ ¬b3∧ ¬g1)

∧ ¬b2∨(¬b3∧ ¬g1)

∧ ¬b3∨(¬c1∧ ¬g1)

∧ ¬c1∨ ¬g1

∧ ¬d1∨(¬a2∧ ¬g1)

∧ ¬e1∨(¬e2∧ ¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e2∨(¬e3∧ ¬e4)

∧ ¬e3∨ ¬e4

I Plusieurs crit`eres ? Probl`eme d’optimisation multicrit`ere.

Difficult´ es de l’optimisation multicrit` ere

Difficult´es du cas multicrit`ere :

I commensurabilit´e des crit`eres ;

I crit`eres g´en´eralement conjointement contradictoires ;

I comment comparer (entre elles) les solutions ?

solution removed versionChanged installed {a1,b1,c1,d1,e1,f1,h1,i1} 0 0 4

{a2,b2,d1,e2,f1,h1} 1 2 3 {a2,b3,e3,f1} 2 2 2 {a2,e4,f1,g1} 3 0 3 I m´ethode AC (agr´eger et comparer) : d´egager un coˆut global

pour chaque solution

Difficult´ es de l’optimisation multicrit` ere

Difficult´es du cas multicrit`ere :

I commensurabilit´e des crit`eres ;

I crit`eres g´en´eralement conjointement contradictoires ;

I comment comparer (entre elles) les solutions ?

solution removed versionChanged installed {a1,b1,c1,d1,e1,f1,h1,i1} 0 0 4

{a2,b2,d1,e2,f1,h1} 1 2 3 {a2,b3,e3,f1} 2 2 2 {a2,e4,f1,g1} 3 0 3

I m´ethode AC (agr´eger et comparer) : d´egager un coˆut global pour chaque solution

Difficult´ es de l’optimisation multicrit` ere

Difficult´es du cas multicrit`ere :

I commensurabilit´e des crit`eres ;

I crit`eres g´en´eralement conjointement contradictoires ;

I comment comparer (entre elles) les solutions ?

solution removed versionChanged installed {a1,b1,c1,d1,e1,f1,h1,i1} 0 0 4

{a2,b2,d1,e2,f1,h1} 1 2 3 {a2,b3,e3,f1} 2 2 2 {a2,e4,f1,g1} 3 0 3 I m´ethode AC (agr´eger et comparer) : d´egager un coˆut global

pour chaque solution

Quelques fonctions d’agr´ egation

Op´erateurs d’agr´egation consid´er´es dans l’´etude th´eorique :

I Somme pond´er´eeS(ω) =Pn

i=1ci(ω) :

I ne tient pas compte de l’´equilibre des solutions : (0,1)(0.5 +,0.5 +),→0⁺.

I Leximax, minimiser s´equentiellement les statistiques d’ordre n, . . . ,1 :

I ne tient pas compte du coˆut global des solutions : (1−,1−)(0,1),→0⁺.

I Op´erateurOWA_W(ω) =Pn

i=1w_ic_hii(ω)

I permet un compromis entre la somme et le leximax

I optimisation g´en´eralement complexe

Complexit´ e de l’optimisation sous contraintes compil´ ees

Complexit´e de l’optimisation

sous contraintes compil´ees

Compilation de connaissances et optimisation

I Dans l’exemple de gestion de d´ependances, les contraintes sont les mˆemes pour tout le monde, mais les requˆetes et crit`eres d´ependent des utilisateurs.

I Compilation de connaissances :

I traduction coˆuteuse d’une formule vers un sous-langage de la logique propositionnelle ;

I but : permettre de r´epondre en temps polynomial `a des requˆetes normalement difficiles (ex : CO).

I Nouvelle requˆete : OPT(plus difficile que CO) ; ´etude de sa complexit´e.

Compilation de connaissances et optimisation

I Dans l’exemple de gestion de d´ependances, les contraintes sont les mˆemes pour tout le monde, mais les requˆetes et crit`eres d´ependent des utilisateurs.

I Compilation de connaissances :

I traduction coˆuteuse d’une formule vers un sous-langage de la logique propositionnelle ;

I but : permettre de r´epondre en temps polynomial `a des requˆetes normalement difficiles (ex : CO).

I Nouvelle requˆete : OPT(plus difficile que CO) ; ´etude de sa complexit´e.

Compilation de connaissances et optimisation

I Dans l’exemple de gestion de d´ependances, les contraintes sont les mˆemes pour tout le monde, mais les requˆetes et crit`eres d´ependent des utilisateurs.

I Compilation de connaissances :

I traduction coˆuteuse d’une formule vers un sous-langage de la logique propositionnelle ;

I but : permettre de r´epondre en temps polynomial `a des requˆetes normalement difficiles (ex : CO).

I Nouvelle requˆete : OPT(plus difficile que CO) ; ´etude de sa complexit´e.

Langages de la logique propositionnelle

Logique propositionnelle

NNF

d-NNF

BDD

FBDD

OBDD

OBDD<

s-NNF

MODS

DNNF

DNF

IP d-DNNF

d-SDNNF

d-DNNF_T

f-NNF

CNF

PI SDNNF

DNNFT

Exemples de formules compil´ ees

I DNNF : nœuds ∧d´ecomposables.

a b c d

∨ ∨

∧ a

∨

Exemples de formules compil´ ees

I DNNF : nœuds∧ d´ecomposables.

a b a d

∨ ∨

∧ a

∨

Exemples de formules compil´ ees

I OBDD : diagramme de d´ecision binaire ordonn´e.

a

b

c

b

c

1 0

Exemples de formules compil´ ees

I OBDD : DNNF particuli`ere.

∨

∧ ∧

¬a a

∨

∧ ∧

¬b b

⊥ ∨

∧ ∧

¬c > c

⊥

∨

∧

∧

¬b ∨ b ⊥

∧

∧

¬c > c ⊥

Exemples de formules compil´ ees

I OBDD : diagramme de d´ecision binaire ordonn´e.

a

b

c

c

b

1 0

Contribution : r´ esultats th´ eoriques pour l’optimisation

I Panorama de l’optimisation sous contraintes compil´ees (langages satisfaisant CO) [LLM14]

I Fonctions consid´er´ees :

I fonctions lin´eairesL(a1x1+. . .+apxp),

I fonctions quadratiquesQ(qi ≤2) et polynomialesP (a1·x1,1·x1,q₁+. . .+ap·xp,1·xp,q_p),

I fonctions pseudo-bool´eennes g´en´eralesG (a1φ1+. . .+apφp, φi∈NNF),

I fonctions sous-modulairesS

(f(x1∧x2) +f(x1∨x2)≤f(x1) +f(x2)) :

I fonctions de budget additives,

I entropie,

I ...

Contribution : r´ esultats th´ eoriques pour l’optimisation

OPT {>} DNF DNNF, OBDD

fonctions lin´eaires dans P dans P dans P fonctions sous-modulaires dans P dans P NP-difficile

fonctions OWA NP-difficile NP-difficile NP-difficile fonctions quadratiques NP-difficile^1,2 NP-difficile^1,2 NP-difficile² fonctions polynomiales NP-difficile^1,2 NP-difficile^1,2 NP-difficile²

1: dans P si, dans la fonction, les poids sont tous du mˆeme signe et si les litt´eraux n’apparaissent que sous une unique polarit´e

2: dans P si le nombre de cubes de la fonction est born´e

Compilation et optimisation : bilan

I Optimisation possible pour un certain nombre de cas int´eressants.

I Des probl`emes subsistent :

I pour des fonctions expressives, optimisation difficile mˆeme sous OBDD ;

I compilation difficile pour beaucoup de probl`emes (pigeons).

I N´ecessit´e d’am´eliorer l’optimisation pour les cas difficiles (compilation ou optimisation).

I Deux contributions pour cela : am´elioration pour les probl`emes de d´ecision et d’optimisation.

Compilation et optimisation : bilan

I Optimisation possible pour un certain nombre de cas int´eressants.

I Des probl`emes subsistent :

I pour des fonctions expressives, optimisation difficile mˆeme sous OBDD ;

I compilation difficile pour beaucoup de probl`emes (pigeons).

I N´ecessit´e d’am´eliorer l’optimisation pour les cas difficiles (compilation ou optimisation).

I Deux contributions pour cela : am´elioration pour les probl`emes de d´ecision et d’optimisation.

Compilation et optimisation : bilan

I Optimisation possible pour un certain nombre de cas int´eressants.

I Des probl`emes subsistent :

I pour des fonctions expressives, optimisation difficile mˆeme sous OBDD ;

I compilation difficile pour beaucoup de probl`emes (pigeons).

I N´ecessit´e d’am´eliorer l’optimisation pour les cas difficiles (compilation ou optimisation).

I Deux contributions pour cela : am´elioration pour les probl`emes de d´ecision et d’optimisation.

Compilation et optimisation : bilan

I Optimisation possible pour un certain nombre de cas int´eressants.

I Des probl`emes subsistent :

I pour des fonctions expressives, optimisation difficile mˆeme sous OBDD ;

I compilation difficile pour beaucoup de probl`emes (pigeons).

I N´ecessit´e d’am´eliorer l’optimisation pour les cas difficiles (compilation ou optimisation).

I Deux contributions pour cela : am´elioration pour les probl`emes de d´ecision et d’optimisation.

Prouveurs CDCL et syst` emes de preuves

Prouveurs CDCL et syst`emes

de preuves

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨ ¬x2) α2= (¬x2∨ ¬x3∨ ¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨ ¬x3∨ ¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨ ¬x3∨ ¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1 α₁

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨ ¬x3∨ ¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1 α₁

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨ ¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

α₁

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α₁ α₂

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α₁ α₂

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨ ¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨ ¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨ ¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α₁ α₂

x11

¬x12 α₉

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α₁ α₂

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10 α4

α₉

α3

α5 α6

α8

α7

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α₁ α₂

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α4

α₉

α3

α5 α6

α8

α7

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α1 α2

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α4

α9

α₃

α5 α6

α8

α7

R`egle de r´esolution [Rob65] :

(a∨b1∨. . .∨bp)∧(¬a∨c1∨. . .∨cq)|=

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α1 α2

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α₄

α9

α3

α5 α6

α8

α7

σ₁=η[x₁₀, α₇, α₈] = ¬x₇∨x₈∨ ¬x₉

σ2 =η[x9, σ1, α4] = ¬x₄∨ ¬x₆∨ ¬x₇∨x8

σ₃ =η[x₇, σ₂, α₅] = ¬x₄∨ ¬x₆∨x₈ σ₄ =η[x₈, σ₃, α₆] = ¬x₄∨ ¬x₆.

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α1 α2

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α₄

α9

α3

α5 α6

α8

α7

σ₁=η[x₁₀, α₇, α₈] = ¬x₇∨x₈∨ ¬x₉ σ2 =η[x9, σ1, α4] = ¬x₄∨ ¬x₆∨ ¬x₇∨x8

σ₃ =η[x₇, σ₂, α₅] = ¬x₄∨ ¬x₆∨x₈ σ₄ =η[x₈, σ₃, α₆] = ¬x₄∨ ¬x₆.

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α1 α2

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α₄

α9

α3

α5 α6

α8

α7

σ₁=η[x₁₀, α₇, α₈] = ¬x₇∨x₈∨ ¬x₉ σ2 =η[x9, σ1, α4] = ¬x₄∨ ¬x₆∨ ¬x₇∨x8

σ₃ =η[x₇, σ₂, α₅] = ¬x₄∨ ¬x₆∨x₈

σ₄ =η[x₈, σ₃, α₆] = ¬x₄∨ ¬x₆.

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α1 α2

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α₄

α9

α3

α5 α6

α8

α7

σ₁=η[x₁₀, α₇, α₈] = ¬x₇∨x₈∨ ¬x₉ σ2 =η[x9, σ1, α4] = ¬x₄∨ ¬x₆∨ ¬x₇∨x8

σ₃ =η[x₇, σ₂, α₅] = ¬x₄∨ ¬x₆∨x₈

Algorithme CDCL : apprentissage de clauses

α1= (x1∨¬x2) α2= (¬x2∨¬x3∨¬x4) α3= (x3∨x5∨x6) α4= (¬x4∨¬x6∨x9) α5= (¬x6∨x7) α6= (¬x6∨¬x8) α7= (¬x7∨x8∨x10) α8= (¬x9∨¬x10) α9= (¬x11∨x12)

β1= (¬x4∨¬x6)

x2

x1

x4

¬x3 α1 α2

x11

¬x12

¬x5

x6

x9

¬x8

x7

¬x10

x10

⊥ α₄

α9

α3

α5 α6

α8

α7

σ₁=η[x₁₀, α₇, α₈] = ¬x₇∨x₈∨ ¬x₉ σ2 =η[x9, σ1, α4] = ¬x₄∨ ¬x₆∨ ¬x₇∨x8

σ₃ =η[x₇, σ₂, α₅] = ¬x₄∨ ¬x₆∨x₈ σ₄ =η[x₈, σ₃, α₆] = ¬x₄∨ ¬x₆.

I x6 unique variable du dernier niveau de d´ecision : arrˆet