OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES

Mathématiques 2 1

Séance 4 : Exercices

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES

Programme du cours

Le théorème de Lagrange, mais la démonstration générale du théorème de Lagrange n’est pas au programme. Les propriétés et interprétations des multiplicateurs (§ 4.2), les applications (§

4.3) et la dualité (§ 4.4) sont intégralement au programme.

Question 1

Application élémentaire Soit

C=

x∈R³/ x²₁+x²₂+x²₃ = 1 x₁+x₂+x₃ = 1

(1) Nous cherchons la solution du problème

min J(x) = 2x₁−x₂−x₃

x∈ C (2)

Un raisonnement élémentaire montre l’existence et l’unicité du minimum.

•Quel est le Lagrangien de ce problème ?

•Écrire les conditions nécessaires d’optimalité de Lagrange.

•Déterminer la solution de (2).

Question 2

Calcul de la projection orthogonale sur un sous-espace

SoitV =Rⁿ,Bune matrice de dimension(p, n), p < n, de rang maximalp,c ∈R^p etE ⊂V = {x∈V tel que Bx=c}.

•Poser le problème de la détermination de la projection d’un pointx∈V surEcomme un problème d’optimisation sous contraintes d’égalité, en déduire une expression de l’opérateur de projection.

Question 3

ECP 2006-2007 Optimisation

Mathématiques 2 2

Optimisation en dimension infinie

SoitV l’espace des fonctions deC¹([0,1])nulles en0et1. On considère le problème











C={x(t)∈V telle que Z 1

0

x(t)dt= 1}

miny∈V F(x) = Z 1

0

1

2(x⁰(t)²+x²(t))dt

(3)

• Introduire un multiplicateur λ pour l’unique contrainte et définir le Lagrangien. En déduire les conditions d’optimalité (cf. séance 1)







−x⁰⁰(t) +x(t) +λ = 0 Z 1

0

x(t)dt = 1 (4)

auxquelles il faut ajouterx(0) =x(1) = 0.

(x2,y2) (x1,y1) (x0,y0)

(x3,y3)

(xn,yn)

(xn+1,yn+1))

FIG. 1 – Système denbarres articulées Question 4

Étude d’une chaîne pesante

On considère comme dans la séance précédente l’étude d’une“chaîne pesante”, i.e. un système de n+ 1barres articulées, de même longueurLet de même masse (pour simplifier l’écriture...), reliées sans frottement par des rotules¹. C’est une étude préliminaire à un problème proche mais plus com- plexe : l’étude de l’équilibre des toiles pesantes et tendues.

La barre 1et la barre n+ 1sont fixées à leur extrémité (Fig. (1)). On suppose que le système est soumis seulement à son poids et on veut déterminer la position d’équilibre. On paramètre la posi- tion du système par la position des noeuds ((x_i, y_i), i = 1, . . . , n) et on suppose fixées(x₀, y₀)et (xn+1, yn+1).

On pose

U∈R²ⁿ= (x₁, y₁. . . , x_i, y_i, . . . , x_,y_n,)

1i.e. elle tourne librement autour de leur point d’articulation

ECP 2006-2007 Optimisation

Mathématiques 2 3

Les barres sont indéformables ; l’ensembleEdespositions admissiblesest donc défini par E ={U∈R²ⁿ/(x_i−xi−1)²+ (y_i−yi−1)²=L², i= 1, . . . , n+ 1}

D’après leprincipe du minimum de l’énergie, la position d’équilibre des noeuds est, parmi toutes les positions admissibles, celle pour laquelle le centre de gravité du système est le plus bas possible.

• Écrire ce problème comme un problème d’optimisation d’une fonction linéairehP,Ui sous des contraintes quadratiques d’égalitéhB_iU,Ui = 1, i = 1, . . . , n+ 1, où le vecteurPet les matrices B_i sont à préciser.

•Écrire le Lagrangien et les conditions d’optimalité en appliquant le théorème de Lagrange.

•Comment calcule-t-on la solution du problème primal, i.e. le minimum du Lagrangien par rapport àU?

•Appliquer l’algorithme d’Uzawa à ce problème.

ECP 2006-2007 Optimisation

Mathématiques 2 4

ECP 2006-2007 Optimisation