ECP Math´ematiques 2 2e Ann´ee 2005-2006
S´ eance 4 : Exercices
OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES
Programme du cours
Le th´eor`eme de Lagrange, mais la d´emonstration g´en´erale du th´eor`eme de Lagrange n’est pas au programme. Les propri´et´es et interpr´etations des multiplicateurs (§4.2), les applications (§4.3) et la dualit´e (§4.4) sont int´egralement au programme.
Question 1
Application ´el´ementaire Soit
C=
½
x∈R3/ x21+x22+x23 = 1 x1+x2+x3 = 1
¾
(1) Nous cherchons la solution du probl`eme
½ min J(x) = 2x1−x2−x3
x∈ C (2)
Un raisonnement ´el´ementaire montre l’existence et l’unicit´e du minimum.
• Quel est le Lagrangien de ce probl`eme ?
• Ecrire les conditions n´ecessaires d’optimalit´e de Lagrange.´
• D´eterminer la solution de (2).
Question 2
Calcul de la projection orthogonale sur un sous-espace
Soit V = Rn, B une matrice de dimension (p, n), p < n, de rang maximal p, c ∈ Rp et E ⊂V ={x∈V tel que Bx=c}.
• Poser le probl`eme de la d´etermination de la projection d’un pointx∈V surE comme un probl`eme d’optimisation sous contraintes d’´egalit´e, en d´eduire une expression de l’op´erateur de projection.
Question 3
2 Math´ematiques 2
Optimisation en dimension infinie
Soit V l’espace des fonctions de C1([0,1]) nulles en 0 et 1. On consid`ere le probl`eme
C={x(t)∈V telle que Z 1
0
x(t)dt= 1}
miny∈V F(x) = Z 1
0
1
2(x0(t)2+x2(t))dt
(3)
•Introduire un multiplicateurλpour l’unique contrainte et d´efinir le Lagrangien. En d´eduire les conditions d’optimalit´e (cf. s´eance 1)
−x00(t) +x(t) +λ = 0 Z 1
0
x(t)dt = 1 (4)
auxquelles il faut ajouter x(0) =x(1) = 0.
(x2,y2) (x1,y1)
(x0,y0)
(x3,y3)
(xn,yn)
(xn+1,yn+1))
Figure 1: Syst`eme de nbarres articul´ees Question 4
Etude d’une chaˆıne pesante´
On consid`ere comme dans la s´eance pr´ec´edente l’´etude d’une“chaˆıne pesante”, i.e. un syst`eme den+1 barres articul´ees, de mˆeme longueurLet de mˆeme masse (pour simplifier l’´ecriture...), reli´ees sans frottement par des rotules1. C’est une ´etude pr´eliminaire `a un probl`eme proche mais plus complexe : l’´etude de l’´equilibre des toiles pesantes et tendues.
La barre 1 et la barren+ 1 sont fix´ees `a leur extr´emit´e (Fig. (1)). On suppose que le syst`eme est soumis seulement `a son poids et on veut d´eterminer la position d’´equilibre. On param`etre la position du syst`eme par la position des noeuds ((xi, yi), i= 1, . . . , n) et on suppose fix´ees
1i.e. elle tourne librement autour de leur point d’articulation
S´eance 4 3
(x0, y0) et (xn+1, yn+1).
On pose
U∈R2n= (x1, y1. . . , xi, yi, . . . , x,yn,)
Les barres sont ind´eformables ; l’ensembleE despositions admissibles est donc d´efini par E ={U∈R2n/(xi−xi−1)2+ (yi−yi−1)2=L2, i= 1, . . . , n+ 1}
D’apr`es le principe du minimum de l’´energie, la position d’´equilibre des noeuds est, parmi toutes les positions admissibles, celle pour laquelle le centre de gravit´e du syst`eme est le plus bas possible.
• Ecrire ce probl`eme comme un probl`eme d’optimisation d’une fonction lin´eaire´ hP,Uisous des contraintes quadratiques d’´egalit´ehBiU,Ui= 1, i= 1, . . . , n+ 1, o`u le vecteur Pet les matrices Bi sont `a pr´eciser.
•Ecrire le Lagrangien et les conditions d’optimalit´e en appliquant le th´eor`eme de Lagrange.´
• Comment calcule-t-on la solution du probl`eme primal, i.e. le minimum du Lagrangien par rapport `aU ?
• Appliquer l’algorithme d’Uzawa `a ce probl`eme.
S.L
