Chapitre 3 Suites de Référence

Chapitre 3

Suites de R´ ef´ erence

Sommaire

I. Les Suites Arithm´etiques . . . 2 II. Les Suites G´eom´etriques . . . 3 III. Sommes des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique ou g´eom´etrique . . . 4 IV. Suites arithm´etico-g´eom´etriques . . . 5

Leonardo FIBONACCI (1180 `a 1250) de son vrai nom Leonado DA PISA est un math´ematicien qui a parcouru plusieurs pays m´edit´eran´eens (Sicile, Gr`ece, Syrie et Egypte). Il apprend les math´emtiques grecques et arabes. Il est notamment convaincu par la sup´eriorit´e du syst`eme d’´ecriture des nombres avec les chiffres arabes. Son oeuvre est fondamentale puisqu’il permit d’´etablir un lien entre les math´ematiques arabes et celles de La Renaissance. Il a notamment permis l’in- troduction des nombres arabes en Occident.

La suite de FIBONACCI r´epond au probl`eme suivant :

Partant d’un couple de lapins, combien en obtiendra-t-on apr`es un nombre donn´e de mois, sachant que chaque couple se produit chaque mois un nouveau couple, qui lui mˆeme deviendra productif apr`es deux mois ?

I. Les Suites Arithm´ etiques

Une suite (u_n)_n∈I est dite arithm´etique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la mˆeme constanter.

u₀ −−−−−−^{+ r} →u₁ −−−−−−^{+ r} →u₂ .... u_n−−−−−−^{+ r}→u_n+1 r est appel´e la raison arithm´etique de la suite (u_n)_n∈I.

Une telle suite v´erifie alors la relation de r´ecurrence suivante : u_n+1 =u_n+r D´efinition 3.1 : Suite arithm´etique

La suite (u_n)_n∈

N de terme g´en´eral u_n+1 =u_n+ 2 et u₀ = 0 est une suite arithm´etique de raison r = 2 : il s’agit alors de la suite des nombres pairs.

Exemple 3.2 :

La relation de r´ecurrence n’est pas adapt´ee au calcul d’un terme dont l’indice est grand. C’est pourquoi nous allons donner une autre expression, qui sera le terme g´en´eral, pour les suites arithm´etiques.

Remarque 3.3 :

On consid`ere la suite (u_n)_n∈

N arithm´etique de raison r. Pour tout entier n, on a : u_n =u₀ +nr

Propri´et´e 3.4 :

Soit la suite (u_n)_n∈

N arithm´etique de raisonr =−4 avec u₀ = 100.

Calculer u10,u27 etu1 000. Exemple 3.5 :

On consid`ere la suite (un)_n∈

N arithm´etique de raison r. Pour tous entiers n et p, on a : u_n =u_p+ (n−p)r

Propri´et´e 3.6 :

Soit la suite (u_n)_n∈

N arithm´etique de raisonr = 0,4 avec u₇ = 1,16.

Calculer u₁₀,u₂₇ etu_{1 000} Exemple 3.7 :

Le sens de variation d’une suite arithm´etique de raison r d´epend du signe de la raison r : 1. Si r >0, la suite est alors croissante.

2. Si r <0, la suite est alors d´ecroissante.

3. Si r = 0, la suite est alors stationnaire.

Propri´et´e 3.8 :

Donner le sens de variation de la suite (u_n)_n∈

N d´efinie par u_n+1 =u_n−15 et u₀ = 250.

Exemple 3.9 :

Les points repr´esentant une suite arithm´etique sont align´es.

Propri´et´e 3.10 :

II. Les Suites G´ eom´ etriques

Une suite (un)_n∈I est dite g´eom´etrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la mˆeme constante q.

u₀ −−−−−→^×q u₁ −−−−−→^×q u₂ .... u_n−−−−−→^×q u_n+1 q est appel´e la raison g´eom´etrique de la suite (u_n)_n∈I.

Une telle suite v´erifie alors la relation de r´ecurrence suivante : u_n+1 =u_n×q D´efinition 3.11 : Suite G´eom´etrique

La suite (z_n)_n∈

N est une suite g´eom´etrique de raison q = 69 et de premier terme z₀ = 12.

Calculer z₁, z₂ et z₃. Exemple 3.12 :

On consid`ere la suite (u_n)_n∈

N g´eom´etrique de raison q. Pour tout entier n, on a : u_n =u₀×qⁿ

Propri´et´e 3.13 :

Soit la suite (un)_n∈

N g´eom´etrique de raison q = 1,5 avec u0 = 100.

Calculer u₅, u₁₀ et u₁₂. Exemple 3.14 :

On consid`ere la suite (u_n)_n∈

N g´eom´etrique de raison q. Pour tous entiers n et p, on a : u_n =u_p×q^n−p

Propri´et´e 3.15 :

Soit la suite (un)_n∈

N g´eom´etrique de raison q = 1,69 avec u4 = 10.

Calculer u₅, u₁₀ et u₁₂. Exemple 3.16 :

III. Sommes des termes cons´ ecutifs d’une suite arithm´ etique ou g´ eom´ etrique

Soit n∈N alors :

1 + 2 +. . .+n = n(n+ 1) 2 Th´eor`eme 3.17 :

On peut aussi ´ecrire

n

X

i=1

i= n(n+ 1)

2 .

Remarque 3.18 :

Lucie me donne chaque jour 1ede plus que le jour pr´ec´edent. Elle me donne 1ele 1^er septembre 2020.

Combien ai-je accumul´e aujourd’hui (04 novembre 2020) ? Exemple 3.19 :

On consid`ere une suite (un) une suite arithm´etique de raison r. Soit n∈N alors : u₀+u₁+. . .+u_n = (n+ 1)× u₀+u_n

2 Th´eor`eme 3.20 :

On consid`ere la suite (u_n) arithm´etique de raisonr= 2,5 et de premier termeu₀ = 10.

Calculer

20

X

k=0

u_k =u₀+u₁+...+u₂₀. Exemple 3.21 :

On consid`ere la suite (u_n)_n∈

N g´eom´etrique de raison q. Alors :

u0+u1+. . .+un=u0× 1−qⁿ⁺¹ 1−q Propri´et´e 3.22 :

Lire la vid´eoUtiliser le symbole de somme Σ. Compl´ement(s) :

Soit (u_n) une suite g´eom´etrique de raison q = 0,69 et de premier terme u₀ = 666.

Calculer

15

X

k=0

uk =u0+u1+...+u15. Exemple 3.24 :

Lire la vid´eoCalculer la somme des termes d’une suite (Algorithme). Compl´ement(s) :

Que faire si le premier terme de la somme n’est pas d’indice 0 ?

Prenons un exemple, on souhaite calculer la somme u6+u7+...+u20. On remarque alors la chose suivante :

u₆+u₇+...+u₂₀ =u₀+u₁+...+u₅+u₆+...+u₂₀

| {z }

Je sais calculer

−(u₀+u₁+...+u₅)

| {z }

Je sais calculer

Remarque 3.26 :

Soit (u_n) la suite g´eom´etrique de raison q= 0,69 et de premier terme u₀ = 666.

Calculer

21

X

k=16

u_k=u₁₆+...+u₂₁. Exemple 3.27 :

Soit (v_n) la suite arithm´etique de raisonr = 3 et de premier terme v₀ = 10.

Calculer

21

X

k=10

v_k =v₁₀+...+u₂₁. Exemple 3.28 :

IV. Suites arithm´ etico-g´ eom´ etriques

Une suite (u_n) est dite arithm´etico-g´eom´etrique si, pour tout n ∈ N, on d´efinit la suite par la relation de r´ecurrence suivante :

u_n+1 =a u_n+b.

o`ua∈R et b∈R.

D´efinition 3.29 : Suite arithm´etico-g´eom´etrique

• Lorsque a = 1, la relation de r´ecurrence v´erifi´ee par une suite airthm´etico-g´eom´etrique est u_n+1 = u_n+b : il s’agit de la relation de r´ecurrence d’une suite arithm´etique.

• Lorsque b = 0, la relation de r´ecurrence v´erifi´ee par une suite airthm´etico-g´eom´etrique est u_n+1 = a u_n : il s’agit de la relation de r´ecurrence d’une suite g´eom´etrique.

Remarque 3.30 :

Soit (u_n) la suite d´efinie pour tout n∈N par u_n+1 = 2u_n−4 et u₀ = 7.

Calculer les termes d’indice 1 `a 4.

Exemple 3.31 :

Pour retrouver le terme g´en´eral d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique (u_n) d´efinie, pour tout n ∈ N, par un+1=a un+b (a6= 1 et b6= 0), on proc`ede de la mani`ere suivante :

1. on d´etermine la solution, not´eeα, de l’´equationax+b =x;

2. on d´efinit la suitev_n=u_n−α et on d´emontre qu’elle est g´eom´etrique : u_n+1 = a u_n +b

− α = a α +b

u_n+1−α =a(u_n−α) 3. on en d´eduit le terme g´en´eral de la suite (v_n) ;

4. on en d´eduit le terme g´en´eral de la suite (un) .

M´ethodologie 3.32 : Terme g´en´eral d’une suite arithm.-g´eo.

Pour d´eterminer le sens de variations d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique (u_n) d´efinie, pour tout n ∈ N, par u_n+1 =a u_n+b (a6= 1 et b6= 0), on proc`ede de la mani`ere suivante :

1. on ´ecrit le terme g´en´eral de la suite (u_n).

2. on ´etudie ensuite le signe de la diff´erenceun+1−un

M´ethodologie 3.33 : Monotonie d’une suite arithm.-g´eo.