R´ eduction des endomorphismes

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚16 Changement de base

R´ eduction des endomorphismes

Exercice 217 : On note B= (e1, e2) la base canonique deR². Soiente⁰₁= 3

2

et e⁰₂= 1

−1

. 1. Montrer que la famille B⁰= (e⁰₁, e⁰₂) est une base deR².

2. Donner la matrice de passage de la baseB`a la baseB⁰ et la matrice de passage de la baseB⁰ `a la baseB.

3. Soient uet vles vecteurs deR² d´efinis par :

u=−5e1+ 2e2 ; v=e⁰₁−3e⁰₂.

Donner les coordonn´ees deudans la baseB⁰ et les coordonn´ees devdans la baseB.

Exercice 218 : On noteB= (1, X, X²) la base canonique deR2[X]. Soient P, Qet R les polynˆomes d´efinis par :

P= (X+ 1)² ; Q= (X−1)² ; R= (X−√

2)(X+√ 2).

1. Montrer que la famille B⁰= (P, Q, R) est une base deR2[X].

2. Donner la matrice de passage de la baseB`a la baseB⁰ et la matrice de passage de la baseB⁰ `a la baseB.

3. Soient S etT les polynˆomes d´efinis par :

S= 3X² ; T =P−2Q+R.

Donner les coordonn´ees deS dans la baseB⁰ et les coordonn´ees deT dans la baseB.

Exercice 219 : Soitf l’application d´efinie par :

f:R1[X]→R1[X] ; P7→P+P⁰+P(0).

On noteB= (1, X) la base canonique deR1[X].

1. CalculerA= Mat(f,B).

2. Soient P et Qles polynˆomes d´efinis par :

P = 2 ; Q=X−1.

(a) Montrer que la familleB⁰= (P, Q) est une base deR1[X].

(b) CalculerD= Mat(f,B⁰).

3. Donner une matrice M ∈ M2(R) inversible telle que : A=M DM⁻¹. 4. CalculerM⁻¹.

5. Exprimer Aⁿ en fonction deM,M⁻¹,D etn, pour toutn∈N^∗. 6. Donner les coefficients de la matriceAⁿ, pour toutn∈N^∗.

7. Soient a, b∈Ret soitn∈N^∗. En déduire les coefficients du polynômefⁿ(aX+b), où la puissance réfère

`

a la composition.

1

(2)

Exercice 220 : SoitAla matrice d´efinie par :

A=





1 1 1 1 1 1 1 1 1



.

On notef l’endomorphisme de R³ canoniquement associé à A, i.e. tel que Mat(f,B) =A, où B= (e1, e2, e2) désigne la base canonique deR³. Soiente⁰₁, e⁰₂, e⁰₃∈R³définis par :

e⁰₁=



 1 0

−1



 ; e⁰₂=



 0 1

−1



 ; e⁰₃=



 1 1 1



.

1. Montrer que la famille (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) est une base deR³. 2. CalculerD= Mat(f,B⁰).

3. Donner une matrice P∈ M3(R) inversible telle que : A=P DP⁻¹. 4. En d´eduire les coefficients de la matriceAⁿ, pour toutn∈N^∗.

5. Retrouver le résultat de la question 4 à l’aide d’un raisonnement par récurrence, en utilisant uniquement la définition de la matriceA.

Exercice 221 : Soient Ala matrice d´efinie par :

A=





1 1 1 0 1 1 0 0 1



.

1. Montrer queA admet une unique valeur propre et donner une base de l’espace propre associ´e.

2. La matriceAest-elle diagonalisable ?

3. SoitB=A−I₃. CalculerB²,B³, puisBⁿ pour toutn∈N^∗. 4. Calculer alorsAⁿ pour toutn∈N^∗.

Indication : On pourra utiliser l’identit´e :A=B+I₃.

Exercice 222 : SoitAla matrice d´efinie par : A=

1 −1

1 0

. 1. (a) La matriceAadmet-elle des valeurs propres r´eelles ?

(b) La matriceAest-elle diagonalisable dans M2(R) ? 2. (a) D´eterminer les valeurs propres complexes deA.

(b) La matriceAest-elle diagonalisable dans M2(C) ?

1 2 1 1

. 1. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.

2. En d´eduire que la matriceA est diagonalisable.

3. Donner une base deR²form´ee de vecteurs propres de la matriceA.

2

(3)





1 1 1 0 1 1 0 0 2



.

1. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.

2. La matriceAest-elle diagonalisable ?





0 1 0 1 0 1 0 1 0



.

1. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.

2. En d´eduire que la matriceA est diagonalisable.

3. Donner une base deR³form´ee de vecteurs propres de la matriceA.

Exercice 226 : Soitf l’application d´efinie par :

f:R2[X]→R2[X] ; P 7→2P+P⁰. 1. Montrer quef est un endomorphisme deR2[X].

2. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def. 3. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

Exercice 227 : On place un couple de lapins dans un lieu isolé. On suppose que les lapins se reproduisent suivant la règle suivante : chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence. On notex_n le nombre de couples de lapins au début du moisn. On a donc :

x1= 1 ; x2= 1 ; x3= 2 ; x4= 3 ; x5= 5 et de fa¸con g´en´erale :

∀n∈N^∗ x_n+2= x_n+1

| {z }

nombre de couples de lapins au moisn+ 1

+ x_n

|{z}

nombre de couples de lapins en ˆage de se reproduire au moisn+ 2

.

On se propose d’exprimerxn en fonction denpour toutn∈N^∗. On introduit la matriceA=

1 1 1 0

et on poseXn= xn+1

xn

pour toutn∈N^∗. 1. V´erifier queX1=

1 1

et reconnaˆıtreAXn, pour toutn∈N^∗. 2. En d´eduire que pour tout n∈N^∗:

X_n =Aⁿ⁻¹X₁.

3. (a) D´emontrer queA admet une valeur propre strictement positiveϕet une valeur propre strictement n´egativeϕ⁰.

(b) D´eterminer une base des espaces propresEϕ etEϕ⁰ deA.

(c) En d´eduire queAest diagonalisable.

4. (a) D´eterminer l’unique vecteure_ϕ deE_ϕdont la premi`ere composante est 1.

(b) D´eterminer l’unique vecteureϕ⁰ deEϕ⁰ dont la premi`ere composante est 1.

(c) Montrer queC= (e_ϕ, e_ϕ⁰) est une base deR².

5. En d´eduire une matriceP ∈ M2(R) inversible et une matriceD diagonale telle que : A=P DP⁻¹.

6. En d´eduire les coefficients de la matriceAⁿ, pour toutn∈N. 7. Exprimer X_n en fonction den, pour toutn∈N^∗. Conclure.

3

(4)

F Exercice 228

1. Soit (u_n)_n∈_Nla suite d´efinie par :u₀= 1,u₁= 2 et la relation de r´ecurrence :

∀n∈N u_n+2=−u_n+1+ 2u_n. Donner une expression de u_n, en fonction denpour toutn∈N.

2. Soient (u_n)_n∈_N et (v_n)_n∈_Nles suites d´efinies paru₀=−1,v₀= 3 et les relations de r´ecurrence :

∀n∈N

un+1=−un+ 2vn

vn+1=−3un+ 4vn. Donner une expression de un et vn, en fonction denpour toutn∈N.

Indication : On pourra s’inspirer de l’exemple introductif du cours Changement de base et réduction des endomorphismes (système proie-prédateur) et de l’exercice précédent.

F Exercice 229 : SoitAla matrice d´efinie par : A=





1 0 1 0 0 0 1 0 1



.

1. En utilisant la théorie de la diagonalisation, calculerAⁿ pour toutn∈N^∗. 2. Retrouver le résultat de la question 1, à l’aide d’une raisonnement par récurrence.

F Exercice 230 : Soient (un)_n∈_N, (vn)_n∈_N et (wn)_n∈_N les suites d´efinies par u0 =v0=w0 = 1 et les relations de r´ecurrence :

∀n∈N







un+1= 5vn+ 6wn

vn+1= 2un−9vn−12wn

wn+1=−un+ 7vn+ 9wn. Donner une expression deu_n,v_n et w_n en fonction denpour toutn∈N.

Indication : On pourra s’inspirer du probl`eme 3 du concours blanc et utiliser la th´eorie de la diagonalisation.

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