Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS
Ann´ee universitaire 2019-2020
Probl` eme 2 : R´ eduction de Jordan-Dunford
A rendre pour le mardi 17 septembre 2019.
SoitKun corps,K∈ {R,C}. Soitm≥1 un entier. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finiem. Soitu∈ L(E).
Si Best une base deE, on note MatB(u) la matrice deudans la baseB.
Rappelons qu’un sous-espace vectorielF deE est ditstable parulorsqueu(F)⊂F.
1. Supposons queE se d´ecompose en une somme directeE =E1⊕ · · · ⊕Ep o`u p≥1 est un entier et o`u chacun desEi est un sous-espace vectoriel deE stable paru. Pour touti∈ {1, . . . , p}, soitBi = (ei1, . . . , eid
i) une base deEi et posons
B=
p
^
i=1
Bi= (e11, . . . , e1d1, . . . , ep1, . . . epd
p) la base obtenue par concat´enation ordonn´ee des basesB1, . . . ,Bp. Montrer que :
MatB(u) =
MatB1(u|E1)
0
. ..
0
MatBp(u|Ep)
2. Notons λ1, . . . , λp les valeurs propres de ude multiplicit´es respectives α1, . . . , αp. Supposons que le polynˆome caract´eristique deu, not´eχu est scind´e surK,i.e.,
χu= (−1)m(X−λ1)α1· · ·(X−λp)αp.
Pour touti∈ {1, . . . , p}, on poseNλi = Ker(u−λi)αi. LesNλi sont appel´es les sous-espaces caract´eristiques de u.
(a) Montrer que, pour tout i∈ {1, . . . , p},Eλi = Ker(u−λi)⊂Nλi. (b) Montrer que, pour tout i∈ {1, . . . , p},Nλi est stable paru.
(c) Montrer que, pour touti∈ {1, . . . , p}, (X−λi)αi est un polynˆome annulateur deu|Nλi.
(d) En d´eduire que, pour tout i ∈ {1, . . . , p}, le polynˆome minimal de u|Nλi est de la forme (X−λi)γi avec γi ≤αi puis que le polynˆome caract´eristique deu|Nλi est de la forme (−1)δi(X−λi)δi avecδi≥γi. (e) Montrer queE=Nλ1⊕ · · · ⊕Nλp.
(f) En d´eduire que, pour touti∈ {1, . . . , p},δi=αi et d´eterminer la dimension deNλi. (g) Montrer que, pour tout i∈ {1, . . . , p}, il existe une baseBi deNλi telle que :
MatBi(u|Nλi) =
λi *
. ..
0
λi
∈ Mαi(K)
soit triangulaire sup´erieure.
1
(h) En d´eduire l’existence d’une baseBdeE telle que
MatB(u) =
"λ1 * . ..
0
λ1#
| {z }
α1
0
. ..
0
λp *
. ..
0
λp
| {z }
αp
.
On rappelle qu’un endomorphismen∈ L(E) (resp. une matriceN ∈ Mm(K)) est ditnilpotents’il existe k∈N tel quenk= 0L(E)(resp. Nk= 0mo`u 0mest la matrice carr´ee nulle de taillem). Le plus petit entierk0 tel que nk0 = 0L(E) est ditindice de nilpotence den.
3. Soit u ∈ L(E) dont le polynˆome caract´eristique est scind´e sur K. Montrer qu’il existe un endomorphisme d diagonalisable et un endomorphismennilpotent tels que :
u=d+n et d◦n=n◦d. (1)
4. En d´eduire que pour toute matrice A ∈ Mm(C), il existe une matrice D diagonalisable et une matrice N nilpotente telles que
A=D+N et DN =N D.
Nous allons dans la suite montrer que la d´ecomposition (1) est unique.
5. Soit d et n obtenus `a la question 3. Supposons l’existence de d0 diagonalisable et de n0 nilpotent tels que : u=d+n=d0+n0, d◦n=n◦d et d0◦n0 =n0◦d0.
(a) Montrer quedet d0 commutent avecu.
(b) Soit la d´ecomposition deEen somme directe des sous-espaces caract´eristiques deu: E=Nλ1⊕ · · · ⊕Nλp. Pour touti∈ {1, . . . , p}, soitqi le projecteur surNλi parall`element `aNλ1⊕ · · · ⊕Nλi−1⊕Nλi+1⊕ · · · ⊕Nλp
: six=x1+· · ·+xp∈E avec pour touti∈ {1, . . . , p},xi∈Nλi, alorsqi(x) =xi. Montrer qued=λ1q1+· · ·+λpqp.
(c) Montrer que pour touti∈ {1, . . . , p},d0 laisse stable Nλi.
(d) Soitx=x1+· · ·+xp∈E avec pour touti∈ {1, . . . , p},xi ∈Nλi. Montrer que, pour touti∈ {1, . . . , p}, ( qi◦d0(xi) = d0(xi)
qi◦d0(xj) = 0 sii6=j (e) Montrer que pour touti∈ {1, . . . , p},qi◦d0=d0◦qi.
(f) En d´eduire quedetd0 commutent.
Puisquen0 commute aussi avecu, la mˆeme d´emonstration montre quedet n0 commutent.
(g) Montrer quenetn0 commutent.
6. Montrer quen0−nest nilpotent.
7. Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables de E qui commutent. Notons µ1, . . . , µp (resp. γ1, . . . , γq) les valeurs propres def (resp. g) etF1, . . . , Fp les sous-espaces propres correspondants (resp. G1, . . . , Gq).
(a) Montrer que chaque Gj est stable parf et que chaqueFi est stable parg.
(b) Pour tous i ∈ {1, . . . , p} et j ∈ {1, . . . , q}, soit Hij = Fi ∩Gj. Montrer que pour tout i ∈ {1, . . . , p}, Fi=Hi1⊕ · · · ⊕Hiq et que l’un au moins desHi1, . . . , Hiq n’est pas r´eduit `a{0E}.
(c) En d´eduire queE est somme directe des Hij et qu’il existe une base deE form´ee de vecteurs propres `a la fois pourf etg. On dit que cette base est une base de diagonalisation simultan´ee pourf et g.
(d) Montrer que la somme de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent est un endomorphisme diagonalisable.
8. Montrer qued−d0 est diagonalisable.
9. En d´eduire quen=n0 et d=d0.
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