FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA METRIQUE A L'ECHELLE DE PLANCK

HAL Id: tel-00001502

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001502

Submitted on 18 Jul 2002

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE

DE LA METRIQUE A L’ECHELLE DE PLANCK

Grichka Bogdanoff

To cite this version:

Grichka Bogdanoff. FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA METRIQUE

A L’ECHELLE DE PLANCK. Mathématiques [math]. Université de Bourgogne, 1999. Français.

�tel-00001502�

UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREY DE

DE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSIQUE

DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029

THESE

présentée par

Grichka BOGDANOFF

En vue d'obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE

Spécialité : Mathématiques

F

LUCTUATIONS

Q

UANTIQUES DE LA

S

IGNATURE

DE LA M

É

TRIQUE

À

L

'

É

CHELLE DE

P

LANCK

_________

Soutenue publiquement à l’Ecole Polytechnique

le 26 Juin 1999

devant le jury composé de

Gabriel SIMONOFF Président

Dimitri GOUREVITCH Rapporteur

Costas KOUNNAS Rapporteur

Shahn MAJID Rapporteur

Igniatios ANTONIADIS Examinateur

Michel SEMENOFF-TIAN SHANSKI Examinateur

Daniel STERNHEIMER Examinateur

REMERCIEMENTS

Je tiens en premier lieu à exprimer toute l'émotion suscitée par la disparition brutale de Moshé Flato qui avait accepté d'être à la fois le fondateur et le guide irremplaçable de cette recherche. Un hommage tout spécial lui est donc destiné pour son soutien continuel, sa disponibilité amicale et créative ainsi que l'expérience scientifique unique dont il m'a généreusement fait profiter et qui donne toute sa signification à ce travail. Daniel Sternheimer, qui a bien voulu en diriger la soutenance et n'a jamais ménagé sa présence aux moments les plus difficiles, trouvera ici la marque de notre amitié et de notre profonde gratitude.

Je veux aussi saluer la mémoire d'André Lichnerowicz, dont les conseils exceptionnels et toujours amicaux ont vivement éclairé ma compréhension de la gravitation et contribué à l'orientation de ce travail.

Je tiens également à remercier les membres du Laboratoire de Physique Mathématique de l'Université de Bourgogne pour leur accueil et l'aide scientifique qu'ils m'ont apportée au cours de ces dernières années. Mes remerciements vont plus particulièrement à Daniel Sternheimer, Georges Pinczon, Michel Semenov- Tian-Shanski , Jacques Simon, Christiane Martin et Jean-Claude Cortet. Je remercie également Marylise Debret pour les aimables démarches effectuées par elle dans l'administration de la présente thèse.

La phase préliminaire de cette recherche a été élaborée grâce à Gabriel Simonoff, du Laboratoire de Physique de Bordeaux I . Son aide extrêmement amicale, sa profonde vision d'homme de science et ses conseils m'ont été précieux dès l'origine de cette longue recherche, voici déjà bien des années. Qu'il trouve ici le témoignage de ma gratitude particulière. Que Joël Sternheimer, dont la pensée libre et originale a fortifié mon engagement dans cette recherche, soit également remercié pour les mêmes raisons. Et mon amical hommage va vers Jean-Claude Simon, mon tout premier maître en science.

Quant au fond, je tiens à dire ma plus profonde gratitude à Shahn Majid, du Laboratoire de Mathématiques du Queen Mary et Westfield College, pour les très nombreux échanges et l'aide constante qu'il a bien voulu m'apporter tout au long de ce travail. Sans ses conseils infaillibles et son exceptionnelle créativité dans le domaine des groupes quantiques, cette recherche n'aurait jamais atteint les objectifs que je m'étais fixé. Ma reconnaissance va également à Costas Kounnas, de l'Ecole Normale Supérieure, dont la pensée généreuse et la vision étonnamment intuitive éclairent ce travail, notamment dans les domaines de la gravité quantique. Les échanges toujours stimulants que j'ai eu le privilège d'avoir avec lui ont été le fondement de nombre de mes idées ou résultats les plus significatifs. Igniatios Antoniadis, de l' École Polytechnique, a quant à lui orienté ma progression en théorie des cordes et je l'en remercie. De même, Gabriel Veneziano, du CERN, a enrichi de sa vision mon approche de la cosmologie primordiale. Et tout comme Shahn Majid, Dimitri Gourévitch de l'Université de Valenciennes a inspiré certaines de mes recherches dans le domaine de la q-déformation. Qu'il en soit également remercié, comme tous ceux qui ont accepté de faire partie du jury. Que A.M. Poliakov, S. Deser, M. Takesaki, E. Witten, M.Dubois-Violette, G. t'Hooft, J. Demaret, F. Combes, D. Lambert, S.K. Donaldson, C. Vafa, L.L. Vaksman, M. Shifman, R. Jackiw, R. Engeldinger, O. Ogievetsky, N.Yu. Reshetikhin, S. Ferrara, C. Kiefer, R. Haag, T. Damour, L. Alvarez-Gaumé, J.M. Souriau, J. Fröhlich, A. Ashtekar, S. Parmentier, R. Stora, A. Chakrabarti, M. Gromov, P. Fré, E.V. Shuryak, C. Olive, S. Helgason, S.Coleman , M.A. Rieffel, M. Winnink, S.L. Woronowicz, et bien d'autres tout au long des années trouvent ici le témoignage de mes remerciements pour les échanges particulièrement enrichissants que nous avons pu avoir et l'accueil toujours chaleureux qu'ils m'ont réservé. Enfin, ma reconnaissance sincère va vers ceux qui ont relu et supervisé la dernière version de ce travail : S. Majid et D. Gourévitch pour la partie groupes quantiques, C. M. Marle, de Paris VI, pour la partie groupes classiques et géométrie, E. Leichtnam, de l'ENS, pour les algèbres d'opérateurs, C. Kounnas pour les aspects physiques. Je remercie également P. Cartier et M. Enock qui m'ont fait l'honneur de lire attentivement certaines parties de ce travail. Qu'ils soient tous remerciés pour le temps qu'ils m'ont consacré.

Dans le même esprit, je salue avec reconnaissance Martine Bauer, dont l'aide si généreuse a permis la réalisation matérielle de ce travail.

Enfin, mon affection me porte vers Jacqueline Beytout, inspiratrice de mon tout premier engagement dans cette longue recherche et indéfectible soutien depuis.

Nous tenons à remercier le général Novacq, Directeur Général de l'Ecole Polytechnique et toutes les autorités compétentes qui ont permis la soutenance de cette thèse de Doctorat de l'Université de Bourgogne au sein de l'Ecole Polytechnique.

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

INTRODUCTION GENERALE

Les premiers fondements d'une théorie cosmologique explicitement fondée sur l'hypothèse d'un changement de signature de la métrique de l'espace-temps ont été développés par S. Hawking en 1978 [268]. L'hypothèse de Hawking postule le changement discret de la métrique de Lorentz à la métrique Euclidienne définie positive. Inspirée des méthodes Euclidiennes de C.Lanczos [324][325] puis J. Schwinger [454] ou Nakano [408] en théorie constructive des champs, cette hypothèse est aujourd'hui considérée en cosmologie quantique, notamment par G. Gibbons [238] , G.F.R. Ellis et al [198] et d'autres, sur des bases qui restent cependant plutôt formelles.

Notre étude, fondée sur les aspects mathématiques des chapitres 1, 2 et 3 (notamment le chap. 3 où nous analysons le changement de signature dans le cadre de la théorie des groupes quantiques) va dans le même sens, mais en introduisant, à l'échelle de Planck, une phase de transition (i.e. superposition ) de la signature au cours du passage Lorentzien Euclidien.

01.1 En général, pour 0 < t temps de Planck 10-43 s, les modèles à changement de signature de la métrique proposent la transformation globale, par rotation de Wick ( = -

i

t) et sans phase intermédiaire, de la métrique Lorentzienne (+ + + -) en une métrique statique purement Euclidienne (+ + + +), décrite par la fonction d'onde :

< (h'ij, ', S2 ) | (h ij, S1 ) > = [g ] [ ] exp [- I (g , )] (0.1)

Contrairement au cas Lorentzien, tous les champs commutent dans le cadre Euclidien ( 0), de sorte que les directions genre espace et genre temps, dissymétriques à l'échelle relativiste, sont symétrisées à l'échelle de Planck au sein d'une variété quadri-dimensionnelle sans bords, sans échelle et sans origine, sur laquelle agît SO(4). Ce type de géométrie définit l'hypersphère du type S4 _{postulée par Hartle-Hawking [266] en gravité quantique. La}

compatibilité de cette hypothèse avec les contraintes relativistes a été établie par G.F.R. Ellis et al [198] en 1991. Toutefois, dans les modèles cités ci-dessus, (i) la principale justification à l'introduction de la métrique Euclidienne est de permettre la résolution de l'intégrales de chemins par les méthodes de l'analyse complexe. La rotation de Wick n'est alors qu'une transformation de coordonnées, sans fondement physique. Par ailleurs, (ii) l'existence d'une métrique à signature fixe (Lorentzienne ou Euclidienne) à l'échelle de Planck ne paraît pas compatible avec les contraintes de la gravité quantique. Enfin, (iii) l'approche Euclidienne efface la notion de singularité initiale et entre donc en contradiction avec les théorèmes relativistes de singularité prédisant une origine singulière à l'espace-temps.

Dès le début de notre travail, il nous est apparu que la méthode consistant à "transporter" à l'échelle de Planck la métrique Lorentzienne g sans modifier sa signature s£ (3, 1), est difficilement compatible avec les contraintes

de la gravité quantique. Par ailleurs, l'intéressante proposition de S. Hawking et al [265][268] d'une métrique statique Euclidienne (++++), (récemment développée avec N. Turok [271] sous la forme d'un instanton singulier raccordé à l'espace-temps Lorentzien au voisinage de l'échelle de Planck) outre son aspect formel, ne résout que partiellement ces difficultés tout en en créant d'autres au moins aussi profondes.

01.2 Nous proposons ici une solution nouvelle, fondée sur une possible fluctuation (3, 1) (4, 0) de la signature de la métrique à l'échelle de Planck. Du point de vue mathématique, nous partons des travaux pionniers de M. Flato, A. Lichnerowicz et D. Sternheimer sur les déformations d'algèbres et produits - * (1974) [211], ceux de V.G. Drinfeld (1985) [189], M. Jimbo (1985) [290]291] et S. Majid (1988) [356][357] sur les groupes quantiques, ceux d'A. Connes (1973) [139] sur la classification des facteurs de type III. Du point de vue physique, nous considérons la théorie KMS (1967) [260] et les travaux de A.M. Polyakov (1975) [68] et G. t'Hooft (1976) [488] sur les configurations du type monopoles et instantons. Enfin, - à partir notamment de certains résultats de C.M. Hull et al [282], C. Kounnas et al [[311] - nous considérons la théorie topologique de E.Witten [518], Euclidienne et effective à l'échelle 0, comme duale (

i

- duale) de la théorie quantique des champs (qui, elle, est Lorentzienne). Dans la suite, nous indiquons alors que l'intégrale de chemins décrivant l'espace-temps entre l'échelle 0 et l'échelle

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

de Planck devrait contenir deux formes d'actions, duales l'une de l'autre : l'action Lorentzienne _{( ) et l'action} Euclidienne _{( ) , combinées sous la forme ( )}:

( ) =

d

4

x g

(

1 2

l

p

x

0

)

( )

(x

0 1 2

l

p

)

( ) (0. 2)

Nous suggérons que le poids de la signature physique Lorentzienne dans l'intégrale fonctionnelle Iƒ, dominant à

l'échelle de Planck P

G

c

3

1 2

1, 7. 10-33 _{cm diminue à l'approche de l'échelle}

0 0. A l'inverse, celui de

la signature topologique Riemannienne, faible à grande échelle, doit devenir dominant au voisinage de la singularité initiale. Nos résultats semblent donc indiquer qu'en deçà de la phase d'expansion physique de l'espace-temps (à l'échelle ß > _p), il pourrait exister, au voisinage de l'échelle ß = 0, une phase d'"expansion topologique" (au sens de la théorie topologique de Witten [518]), dans le secteur non perturbatif de la théorie, i - duale de la phase physique. Nous appelons "flot topologique dilatant" le flot obtenu en temps imaginaire pur en remplaçant t par it dans le flot temporel associé à l'évolution de Heisenberg. Ce flot est caractérisé par un courant tensoriel antisymétrique B du type axion (partenaire du dilaton en supergravité N=2), et sa source est située à l'échelle 0.

01.3 Notre premier objectif a été de définir certains aspects mathématiques de la fluctuation de la signature. Nous

nous efforçons d'abord de mettre en évidence (chap. 1 et chap. 2) l'existence et les propriétés de la superposition entre

ds

_(3,1)2 , métrique (3, 1) de l'espace-temps et

ds

₍₄₎2 , métrique (4, 0) de l'espace quadridimensionnel Euclidien. Notre méthode consiste à "unifier" (dans l'esprit de Flato) [210] les deux algèbres de Lie so(3, 1) et so(4) associées au deux groupes SO(3, 1) et SO(4) agissant sur 3, 1 _{et sur} 4_{. Nous réalisons cette unification des deux groupes}

Lorentzien et Riemannien au sein de l'espace homogène symétrique

h =

SO(3,1) SO(4 ) SO(3)

A partir de _h, nous construisons l'espace topologique quotient

top =

3, 1 4

SO(3)

décrivant la superposition des deux classes de métriques Lorentzienne et Riemannienne. Nous montrons que _top comporte une singularité à l'origine, ce qui indique que l'espace de superposition des métriques admet une origine singulière. Sur le plan cosmologique, la conséquence intéressate est que la notion de fluctuation de la signature semble alors constituer un argument en faveur de l'existence de la Singularité Initiale de l'espace-temps.

01.4 Notre hypothèse de fluctuation de la signature à l'échelle de Planck nous a ensuite conduit à rechercher un

lien possible entre quantification de l'espace-temps et déformation de la signature de la métrique. Ceci est suggéré

dans le contexte de la q-déformation et des groupes quantiques.

Par quantification d'un système, l'on peut entendre une * - algèbre A (une * - sous-algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert ) contenant les observables de position et de quantité de mouvement comme * - sous-algèbres telles que : et ˆ ˆ f e tˆ et ( f ) ^ , et ( f )( x) f ( e t (x)) (0.3)

désignant l'action d'un groupe G sur une observable ƒ, les positions observables étant des fonctions C(X). Dans ce cas, l'on a pour l'algèbre A : A = C(X) G. Soit alors le diagramme de Majid [382] :

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

C(S3) U(su(2)) Déformation BS_q3 U_q(su(2 )) ~ U_q(so(4))

Quantification Quantification C(S3) U(su(2)) Déformation BS q 3 _U q(su(2)) ~ Uq(so (3, 1)) (0.4) Ici BS q 3

est l'anneau de coordonnées tressé de la q-3-sphère [425]. Or, BS q 3

BU

q(su(2 )) . Pour q 1, le membre supérieur de (0.4) est une version partiellement tressée de Uq(su(2) Uq(su(2)) = Uq(so(4)). En revanche, BS3_q U_q(su(2)) est isomorphe au double quantique de Drinfeld (Uq(su(2)) [189-190] , lequel, pour q 1, est

isomorphe à Uq(so(3,1)). L'on observe ainsi à partir de (0.4) que la quantification paraît reliée à un possible changement de signature dans le cas q-déformé.

Une autre approche suggère le même résultat, soit :

Uq(so(3, 1)) (Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(su(2)) (0.5)

En effet, dans le cas du carré twisté de Reshetikhin - Semenov-Tian-Shanski [446], dual du double de Drinfeld [189][190], représente un twisting supplémentaire du coproduit associé au cas Euclidien :

Uq(so(4)) = Uq(su(2)) Uq(su(2))

Un tel twisting correspond également à un type de quantification, dans l'approche de Drinfeld, de Uq(g) en théorie de quasi-algèbres de Hopf [190]. Ces deux observations sont le point de départ de notre étude.

Spécifiquement, nous obtenons dans les sections 3.2 et 3.3 certaines constructions algébriques nouvelles, motivées par nos considérations physiques des chaps 4, 5 et 6. En particulier, nous montrons l'existence du nouveau produit bicroisé cocyclique

M (H) = Hop H (0.6)

Une telle construction est inspirée par l'idée d'unifier les signatures Lorentzienne et Euclidienne au sein d'une structure unique de groupes quantique , ce que nous parvenons à faire sous la forme du produit bicroisé cocyclique

Uq(so(4))op _{Uq (so(3, 1)) (0.7))} Par ailleurs, nous suggérons que la "semidualisation", transformation proposée par S. Majid [382], permet de décrire la transition du groupe q-Euclidien vers le groupe q-Lorentzien (et inversement) :

Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(4))

semidualisation

Uq(su(2))* Uq(su(2)) Uq(so(3, 1))

En outre, nous avons montré en 3.4 que dans le domaine de la q-déformation de l'espace-temps, les structures naturelles q 4 et q 3, 1

, covariantes sous Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) sont reliées comme suit :

U

q(su(2 ))

Dualité de - algèbres de Hopf

SU

q(2 ) ~ q 4

/

1

Transmutation q - changement de signature

BU

q(su(2)) Autodualité de groupes - tressés BSUq(2 )

=

q 3, 1

/

1

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

où nous mettons en évidence l'existence d'une dualité entre _q4 à _q3, 1comme un genre de T-dualité. Notons qu'une telle interprétation n'est possible que lorsque q 1 - i.e. est un effet de l'échelle de Planck-.

Pour finir, nous étudions de la même manière les structures des groupes de q-Poincaré

q 3, 1

U

_q

(so (3 , 1))

~

(0.8) etc.. et les relions au groupe de -Poincaré P [374] ainsi qu'à leurs différentes déformations par twisting. Nous discutons alors la conjecture selon laquelle il existe peut être un lien général entre cocycle de déformation , courbure (généralement de l'espace des phases du sytème mais ici courbure du pré-espace-temps) et anomalie(s) de la théorie.

Nos constructions algébriques du chapitre 3 suggèrent ainsi que, pour être compatible avec les contraintes de la supergravité et de la géométrie non commutative à cette échelle, la superposition de signature (+ + + ±) devrait être envisagée comme un élément nouveau de la gravité quantique.

01.5 Notre deuxième objectif a été de mettre en évidence (parfois de manière heuristique) que le possible

changement de signature de la métrique à l'échelle de Planck n'est pas seulement formel mais pourrait avoir un contenu effectif. Ainsi, notre propos n'a pas été de construire (dans les chapitres 4 et 8) de nouveaux résultats mathématiques concernant les algèbres d'opérateurs mais plutôt d'utiliser certaines notions de la théorie des algèbres de Von Neumann (groupe modulaire, état KMS), pour illustrer les motivations physiques de notre recherche. Nous espérons que de futurs développements mathématiques viendront étayer, dans ce domaine, nos premiers résultats.

Il apparaît (4.1.2) que du point de vue thermodynamique, la température de Planck

ß

_planck-1 Tp

E

P

k

_B

c

5

G

1 2

k

_B1

1,4

10

32

K

marque la limite de température physique du système. Les résultats de S. Weinberg [509] paraissent indiquer que l'espace-temps à l'échelle de Planck forme un système globalement en équilibre thermique. D'un point de vue algébrique, un état d'équilibre est un état sur une C* - algèbre quasi-locale, engendré par une sous-algèbre correspondant aux observables cinématiques du sous-système. Partant de l'état d'équilibre, nous tirons en 4.3.2 que le pré-espace-temps à l'échelle de Planck peut être vu comme soumis à la condition de Kubo-Martin-Schwinger (KMS [319][387]). Dans les limites de la bande holomorphe KMS, la quatrième direction de la métrique peut alors être considérée comme complexe. Nous suggérons donc l'existence d'un potentiel effectif à une boucle, couplé en supergravité N = 2 au dilaton complexe :

diag(1 , 1 , 1 , ei ) (0.9)

La signature de la métrique (0.9), munie à présent d'un degré de liberté supplémentaire sur la composante g₄₄, est Lorentzienne pour = ± et peut devenir Euclidienne pour = 0. La théorie modulaire de Tomita [482], suggère alors la "dualisation" de la signature, donnée par les automorphismes généralisés de A que l'on peut écrire :

c

e

c H

_{A e}

c H _(0.10)

Le flot temporel associé à (0.10) est formellement holomorphe en la variable ß_c = ß_r+ iß_i . Le groupe des automorphismes modulaires

c engendre deux flots en dualité, soit d'une part :

r

e

i iH

_{A e}

i iH _(0.11)

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

i

e

r H

_{A e}

r H _(0.12)

donnant sur A un semi-groupe d'opérateurs non bornés et non stellaires. Le flot

i de A n'est pas défini sur A

toute entière mais sur un idéal { de A et couplé au flot topologique en temps imaginaire pur ß = i t. Dans le modèle que nous proposons, l'algèbre des observables, décrite par (0.11) est remplacée à l'échelle 0 de l'espace-temps

par une nouvelle algèbre en (0.12), que nous suggérons d'appeler "algèbre des pseudo-observables", duale selon nous de l'algèbre de Heisenberg

rsous la forme (0.12). A l'échelle singulière ß = 0, il n'est plus possible de conserver

la notion d'observables physiques; à la place, l'on considère les cycles d'homologie dans l'espace des modules des instantons gravitationnels (de taille 0). Cette dernière conclusion reste vraie, en temps imaginaire pur, pour tout ß > 0 réel. Une telle approche nous a permis de distinguer trois domaines différents sur le "cône de lumière cosmologique", chacun de ces domaines étant décrit par une algèbre de Von Neumann spécifique. Plus précisément, si nous appelons M_0,1 = R F le facteur R_0,1 de type II correspondant à l'échelle singulière 0, comme toutes les transformations ergodiques à partir de M_0,1 (flots associés à l'échelle 0) sont faiblement équivalentes [149], M_0,1 est un facteur hyperfini, du type ITPFI d'Araki-Woods [31]. Le facteur M_0,1 est alors canonique. Plus généralement, il existe ainsi trois échelles (correspondant aux trois régions du cône de lumière cosmologique dans le shéma (0.1) ) :

(i) l'échelle topologique (échelle 0 associée à ß=0) décrité par l'ITPFI de type II M_0,1 ;

(ii) l'échelle quantique de superposition (0<ß< _Planck) décrite par l'ITPFI de type III soit R II Nous écrivons alors M_q = M _0,1 .

(iii) l'échelle classique (ß > _Planck),décrite par le facteur M_c de type I .

Pour finir, remarquons que le flot des poids associé au facteur M_0,1 de type II à l'échelle 0 de l'espace-temps est un invariant de M_0,1. Or, nous allons voir au chapitre 7 que la singularité initiale est également décrite par un invariant topologique, Is = tr(-1)s, que nous appelons "invariant de singularité", isomorphe au premier invariant de Donaldson. Nous retrouvons alors, par un tout autre chemin, la même description de la singularité initiale sous la forme d'un invariant topologique. Ceci renforce notre description du "flot d'évolution Euclidienne" en termes de flot des poids.

01.6 Revenons aux aspects physiques de la théorie de superposition. Comme nous l'indiquons au chap. 4, il

devrait exister, à l'échelle de Planck, une limite à la température - et à la courbure - du pré-espace-temps, limite postulée par Hagedorn, et précisée par Atick et Witten [38], au delà de laquelle l'on devrait considérer un secteur purement topologique, postulé par la théorie topologique des champs de Witten ou Donaldson. Le premier invariant de Donaldson est une forme algébrique "Riemannienne" dont nous suggérons en 7.3.2 l'isomorphisme avec l'invariant topologique caractérisant, selon notre approche, la limite d'échelle 0. A cette échelle "topologique", la théorie ne devrait donc plus être considérée comme singulière mais devrait plutôt être redéfinie sous une nouvelle forme Eucldienne. Cette approche repose sur deux idées essentielles :

((i) Conformément à certaines résultats en théorie des (super)cordes, notamment ceux de E. Kiritsis et C. Kounnas

dans [313], nous considérons l'hypothèse selon laquelle, à très haute courbure (i.e. à l'échelle de Planck T

_~

M_Planck) la gravitation classique, décrite par l'approximation O(1

/

M_Planck) n'est plus valable. Nous proposons

donc d'introduire, dans le Lagrangien "quantique" de la théorie, des termes de dérivées supérieures en R2 (tout en considérant, en dimension 4, la possibilité d'un "cut off" des termes de dérivées plus hautes sur la limite R2, ce qui élimine les termes en R3+ ... + Rn de la théorie des cordes). Nous conjecturons que ces termes peuvent autoriser la superposition (3, 1) (4, 0) de la signature de la métrique dans le cadre d'une théorie élargissant la gravitation classique de type Einstein. A partir des indications du chap. 4 selon lesquelles l'espace-temps à l'échelle de Planck devrait être vu comme soumis à la condition KMS, nous postulons de manière naturelle l'existence de deux potentiels gravitationnels distincts. Nous conjecturons alors qu'en supergravité R + R2 (et en N = 2), l'approximation linéarisée de la métrique de Schwartzschild peut être considérée comme une solution locale exacte de la théorie étendue. Nous en tirons la conjecture 4.1.1 selon laquelle la présence de termes non linéaires R2 _dans

le Lagrangien effectif de supergravité peut autoriser la superposition (3, 1) / (4, 0) de la signature de la métrique à partir de l'échelle de Planck

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Au deuxième paragraphe du chap. 5, nous précisons le contenu du Lagrangien quadratique qui nous paraît le plus naturellement adapté aux conditions de très hautes courbures de la variété, lorsque l'échelle

ß

l

_Planck (i.e. pour des échelles de longueur "inférieures" à la longueur de Planck). Notons qu'au sens strict, la notion "inférieur à la longueur de Planck" n'a plus de signification en termes de distance, en raison même de la perturbation portant sur la métrique Lorentzienne. Notre Lagrangien étendu est donc :

L_{supergravité} =

ˆ R

1

g

2

R

2

RR

* (0.13)

avec une composante physique Lorentzienne (le terme d'Einstein

ˆ R

) et une composante topologique Euclidienne (le terme topologique

RR

*). L'interpolation entre ces deux composantes, selon un mécanisme que nous suggérons ci-dessous, nous incite donc à considérer que L_{supergravité} décrit correctement les deux pôles (physique et topologique) d'une même théorie (la superposition) ainsi que les deux métriques associées.

Nous indiquons ainsi qu'à la limite d'échelle

ß

= 0, la théorie, de dimension D = 4, réduite à

RR

*, dominée par des instantons gravitationnels de dimension 0, peut être vue comme purement topologique. Dans ce secteur, la métrique est statique, définie positive Euclidienne (+ + + +). Le domaine de validité de l'évolution Euclidienne s'étend jusqu'à l'échelle de Planck

ß

~

l

_Planck. Au delà de l'échelle de Planck (

ß

l

_Planck), la théorie est de type Lorentzien et également de dimension D = 4. Enfin, dans le secteur de gravité quantique (

0

ß

l

_Planck), la théorie, définie par la quantification du groupe de Lorentz, possède une dimension supplémentaire (D = 5), laquelle autorise la superposition des deux classes Lorentzienne et Euclidienne (ce qui induit une phase de "superposition" des signatures (3, 1) (4, 0). La dynamique du pré-espace-temps correspondrait alors à l'expansion d'un monopôle gravitationnel de dimension 5 tandis que la superposition peut être associée (après compactification de la quatrième coordonnée spatiale du monopôle D = 5) à une dualité monopôle-Instanton d'un genre nouveau en dimension 4.

Enfin, lorsque

ß

l

_Planck , l'espace-temps entre dans la phase Lorentzienne conventionnelle de l'expansion cosmologique.

01.7 A partir de l'approche précédente, nous entreprenons d'approfondir au chap. 6 la notion de superposition

effective des métriques. Pour cela, comme annoncé en 01.6, nous suggérons d'associer les métriques Lorentziennes à des configurations gravitationnelles du type monopôles de t'Hooft - Polyakov [488] à 4 dimensions. Ces monopôles de dimension 4 résultent de la compactification, au voisinage de l'échelle de Planck (limite infra-rouge de la théorie), de la quatrième coordonnée x4 _{du monopôle de dimension 5. De même, nous associons la métrique}

Riemannienne à la configuration du type instanton gravitationnel. Nous considérons alors que le i-dual de la théorie monopôlaire D = 4 (+ + + -) est la théorie topologique du type instanton D = 4, de signature (+ + + +). Dans le cadre de la S / T - dualité construite en théorie des cordes - où existe une dualité entre les champs T et S, la i-dualité monopôle-instanton isodimensionelle (D = 4) est possible (il convient de noter ici que notre modèle de superposition, de dimension D = 5, se situe dans le secteur de basse dimension de la théorie des cordes et, de ce fait, peut se voir appliquer nombre de ses résultats). Nous suggérons alors que la métrique Euclidienne peut avoir une existence effective entre l'échelle 0 et l'échelle de Planck et n'éxerce plus qu'un effet purement topologique à l'échelle relativiste.

Plus généralement, à partir des S / T - dualités, nous suggérons que le secteur physique (échelle de Planck) et le secteur topologique (échelle 0) peuvent être vus comme reliés par une symétrie générale, du type U-dualité en théorie des cordes [282], telle que U = S T. Cette U-dualité (qui échange la S-dualité entre couplages fort et faible avec la T-dualité) définit une dualité "de forme" (au sens de E. Verlinde [508]) entre l'origine singulière et la limite "à grande échelle" (échelle de Planck) de la variété, i.e. entre le vide topologique (échelle 0) et le vide physique (échelle de Planck) de la théorie :

Vide physique (ß = Planck, monopole, (+ + + -)) U dualité Vide topologique (ß = 0, instanton, (+ + + +) )

La U-dualité, rappelée en 7.2.1, applique le secteur physique de la théorie sur le secteur topologique et vice-versa. La limite topologique de dimension D = 4 correspond, selon nous, à la limite de température du système physique D = 3+1. Partant de la variété fermée M de dimension (3+1) et étant une variété lisse de dimension 3, l'invariant

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Z(M) est donné par la fonction de partition Z, l'espace vectoriel Z( ) étant l'espace de Hilbert de la théorie. L'endomorphisme de Z( ) donné par Z( x Id) est alors l'opérateur d'évolution en temps imaginaire e - H_{, avec}

ß = 0 sur la limite topologique non triviale associée à l'invariant de singularité Tr(-1)s. Quoique la théorie topologique ne soit pas dynamique, il existe néanmoins un phénomène de "propagation topologique" ( ou topologique), qui s'effectue suivant un cobordisme non trivial, analogue à celui déjà étudié par M. Atiyah [50] dans un autre contexte. Rappelons ici qu'une "amplitude topologique", au sens de Witten [518], représente une interaction, dans un système, indépendante des distances entre les points du système. Nous considérons au chapitre 7 que les amplitudes "physiques" (au sens de [24]) de la théorie topologique de la gravitation sont les invariants de Donaldson. De ce point de vue, les amplitudes considérées impliquent l'existence d'observables non locales (que nous appelons "pseudo-observables", reliées à la sphère S3 (bord de l'instanton gravitationnel singulier muni de la topologie de la boule B4).

Dans la perspective ci-dessus, nous considérons donc l'existence, au delà de l'échelle de supersymétrie, d'une échelle de symétrie plus haute, unifiant les deux seules composantes de l'espace-temps encore différenciées à l'échelle de Planck : la direction genre espace et la direction genre temps. Il s'agît d'une symétrie de jauge, réalisant l'équivalence entre les quatre directions du champ de jauge gravitationnel g La configuration de champ associée est du type instanton (super)gravitationnel de taille 0, construit par E. Witten en théorie de Yang et Mills [295] à l'échelle = 0 de l'espace des modules d'instantons. A cet égard, une bonne image de la symétrie Euclidienne correspond, sur la variété Riemannienne sous-jacente de dimension 4, à une "entropie topologique" nulle, par oppostion au cas de la variété Lorentzienne habituelle. En effet, l'entropie topologique

h

_top

(g)

sur une variété M est :

h

_top

(g)

lim

r

1

r

Log (#

{ / g( ) R} )

où est une géodésique périodique et g( ) sa longueur mesurée par la métrique g. A présent, sur une 4-variété munie d' une métrique dont la signature est Lorentzienne, l'entropie topologique du flot géodésique est non nulle. En effet, la signature (3, 1) de g sur M confère à M une structure hyperbolique. Or, selon G. Besson et al [79 - B.E.] toute variété hyperbolique X est un minima local de l'entropie topologique du flot géodésique. Par contraste, sur une variété Euclidienne M0 correspondant à l' échelle 0 de l'espace-temps, l'entropie topologique est nulle. En effet, s'agissant de la boule B4 à bord S3, il a été montré par A. Katok [306- B.E.] que son entropie topologique est nulle :

h

_top

(g)

_B4= 0

Parmi les conséquences de la nullité de l'entropie topologique au voisinage de l'origine de l'espace-temps M0, sachant que le taux de croissance exponentiel p(ƒ) des orbites périodiques sur une variété M est égal à l'entropie topologique htop(ƒ), nous déduisons de

h

_top

(g)

_M

0= 0 que le système sous-jacent à la boule B4 représentant M0

n' est pas un système dynamique. Plus précisément, l'on montre qu'il s'agît, justement, d'une "pseudo-dynamique Euclidienne", de nature ergodique. Dans un tel cadre théorique, la transition de signature s'exprime alors par le passage d'une entropie topologique nulle à une entropie non nulle.

Pour conclure, il est intéressant de remarquer que, hors mis cette dernière considération, l'on retrouve dans 01.6 et 01.7 une image plus physique de certains de nos résultats acquis en q-déformation, notamment ceux sur la semidualisation et les dualités d'algèbres de Hopf sous-jacentes à la transition de signature.

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

01.8 En quoi notre approche peut-elle, à ce stade, déboucher sur une solution possible du problême de la

Singularité Initiale du modèle cosmologique type "Big Bang" ? Au chapitre 7, nous discutons notre représentation de l'échelle singulière 0. La singularité initiale, hors de portée de la théorie quantique mais bien définie par la théorie topologique des champs, peut donc être regardée ici non en termes de divergences de champs physiques mais en termes de symétries de champs topologiques et d'invariants associés (comme le premier invariant de Donaldson [178-179]) :

I =

( 1)

n i

i

(0.14)

L'une des insuffisances (sans doute la plus préoccupante) du modèle type "Big Bang" reste en effet son impuissance à fournir une image de l'origine singulière de l'espace-temps. Or, une résolution possible de la Singularité Initiale, que nous proposons au chapitre 7, est de considérer que l'échelle 0, qui ne peut pas être décrite par la théorie physique (perturbative) devrait l'être par la théorie duale (non perturbative), de type topologique. L'on définit habituellement, à partir de Witten [518], la théorie topologique comme la quantification de zéro, le Lagrangien de la théorie étant (i) soit un mode 0, soit (ii) une classe caractéristique

_c

_n

(V )

d'un fibré vectoriel

V

M

construit sur l'espace-temps. Nous proposons alors en (7.1.3) une nouvelle limite topologique de la théorie, non triviale, fondée non plus sur H = 0 mais sur ß = 0 et donc indépendante de H. La limite topologique ordinaire de la théorie quantique des champs, décrite par l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n est donnée par la limite de la fonction de partition Z = Tr(-1)ne -ßH _{pour les valeurs nulles (ou invariantes) de H. En revanche, dans notre cas, nous}

choisissons le mode 0 de l'échelle (ß = 0). Alors Z devient (s représentant le nombre d'instantons de la théorie) :

Z

ß= 0

= Tr (-1)s (0.15)

Ce nouvel invariant, isomorphe à l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n, peutexplicitement être associé à la singularité initiale du pré-espace-temps, atteinte pour la valeur ß = 0 de la fonction de partition des états. Nous proposons d'appeler "invariant de singularité" ce nouvel invariant, associé à l'instanton gravitationnel singulier de taille 0. L'on peut alors étendre la dualité monopôle-instanton proposée au chap. 6 en suggérant qu'une telle symétrie de dualité relie l'anneau de cohomologie BRST (secteur physique de la théorie) et l'anneau de cohomologie de l'espace des modules des instantons (secteur topologique). Les groupes de cohomologie BRST [217], ayant pour forme générique

H

_BRST(g )

=

ker Q

BRST

(g)

imQ

_BRST(g 1) (0.16)

nous considérons que la théorie topologique réalise alors l'injection d'anneaux :

H

_{BRST g} Uk₀

_H

BRST g

H

_mod(k) _i dk ₀

_H

(i) mod (k)

(0.17) qui fournit un chemin injectif du mode physique dans le mode topologique. En termes d'observables

O

i et de cycles

d'homologie

_H

_i

M

_{mod dans l'espace des modules}

_M

_{mod des configurations du type instantons gravitationnels}

[ (x)] sur les champs gravitationnels de la théorie, nous relevons l'équivalence :

O

1

O

2

... O

n

#

(H

1

H

2

...

H

n

)

(0.18)

où le secteur physique de la théorie est décrit par les observables

O

i et le secteur dual, de type topologique, par les

cycles d'homologie

_H

_i

M

_{mod . L'oscillation de signature entre secteur physique et secteur topologique est alors}

induite par la divergence

U

_k

j d

4

x

du courant-fantôme [73][217]

j

. Lorsque U = 0, comme il n'existe pas d'espace de plongement pour l'espace des modules, nous suggérons (Ch.7) que la théorie est alors projetée dans la branche de Coulomb, à l'origine de

_M

_{mod , sur un instanton singulier de taille 0 [524] que nous} identifions à l'espace-temps à l'échelle 0. La théorie est ramifiée sur le secteur purement topologique

H

_i, la signature correspondant à ce secteur étant Euclidienne (+ + + +).

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

01.9 Nous suggérons alors, toujours au chap. 7, que l'image de la symétrie 0, décrite par le groupe de jauge non

brisé du type SU(2) SU(2), est donnée par le premier invariant de Donaldson [178][179], associé ici à l'exsitence d'une "amplitude topologique" caractérisant la théorie. Lorsque la dimension dim de l'espace des modules des instantons est non nul, les invariants de Donaldson sont donnés par la fonction de corrélation de la théorie :

Z(

₁

...

_r

)

DX e

S

W

_k 1 i i 1 r

W

_k i i i 1 r (Dim k 0) (0.19)

Or, notre résultat formel le plus surprenant est qu'à l'échelle ß = 0 associée à la limite des hautes températures, l'espace des modules des instantons étant nul sur cette limite, la fonction de partition, donnée par

Z

ß 0 Tr(-1)

s

e

H (0.20)

doit redonner le premier invariant de Donaldson

I =

( 1)

n i

i

,

invariant topologique non polynomial, réduit à un entier pour dim k = 0 [178]. Cette limite

Z

ß 0

Tr(-1)s

de la fonction de partition (0.19) correspond à une symétrie généralisée de tous les états possibles de la métrique, tous les états instantoniques de g , donnés par la charge topologique de l'instanton gravitationnel singulier, étant équivalents à l'échelle 0. Nous appelons "symétrie 0" la symétrie généralisée caractérisant l'échelle singulière 0. L'approche ci-dessus -combinée à celle du chap. 6 établissant, dans le cadre d'un modèle , le couplage à l'échelle de Planck entre une gravité Euclidienne de dimension 3 et un "target space" de dimension 2 (secteur scalaire) fournit une image qualitative de la singularité initiale d'espace-temps en tant qu'orbifod conique (ou conifold) G telle que

i

R

2

Z

_n . En élargissant ce dernier point de vue, une application conjecturale de la théorie des cycles

d'évanescence et polyèdres d'effondrement [326 B.E.] suggère à nouveau que la limite de la théorie Lorentzienne est purement topologique. En effet, en théorie des effondrements Riemannien et des polyèdres d'évanescence donnant des cycles de singularité [419], la dégénérescence métrique à l' échelle 0 concerne non pas la métrique Euclienne, bien définie, mais la métrique Lorentzienne, dégénérée sur cette limite. L'on peut alors conjecturer que la signature physique devient évanescente (au sens de Milnor [401]) au voisinage de 0, la signature dominante étant Riemannienne. Nous tirons en effet de t l'existence d'un polyèdre d'effondrement (ou d'évanescence) au voisinage de l'échelle 0 tel que la métrique Lorentzienne s'effondre sur la métrique Riemannienne (+ + + +) autour du point isolé singulier 0. Nous retrouvons ici la notion d'effondrement de Cheeger et Gromov [419]. Nos recherches préliminaires nous ont permis de constater que la théorie des polyèdres d'effondrement en dimension 4 induit de manière naturelle d'une part l'existence d'un espace de superposition de dimension 5 (correspondant à la complexification de la direction t de la métrique) et, d'autre part, conduit à une solution de la Singularité Initiale comme limite Riemannienne de type B4 effondré sur un point, limite du cycle d'effondrement d'une variété de dimension 5. Bien que les développements que nous avons effectué à cet égard ne soient pas inclus dans le présent travail, il a été pour nous encourageant de retrouver, par une toute autre voie, une structure topologique analogue à celle de l'instanton gravitationnel intervenant dans la théorie (la topologie de la boule B4).

Nous suggérons en effet pour modèle géométrique de l'instanton la boule B4 bornée par la sphère S3. La propagation de la solution dépend alors du support de l'instanton gravitationnel : au voisinage de la limite 0, il existe une accumulation de la charge topologique au dessus du point singulier S0 telle que la densité de charge

topologique RR* ; dans la situation duale, correspondant à l'état fondamental, le support de l'inst anton est étendu à l'infini et RR* 0. La transition de 0 à l'infini est alors décrite par les transformations conformes de la sphère.

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

01.10 Nos hypothèses du chap 8 suggèrent ainsi, de manière conjecturale, l'existence d'une première phase

d'expansion purement topologique du pré-espace-temps, paramétrée par la croissance de la dimension de l'espace des modules dim et décrite par la "pseudo-dynamique" Euclidienne. Cette "pseudo-dynamique" peut être vue heuristiquement comme un accroissement du diamètre de l'espace des états d( ) en temps Euclidien (dual de l'espace des observables en temps Lorentzien). Notre conjecture est que cette "dynamique Euclidienne" pourrait être décrite de manière naturelle par le flot des poids (au sens de Connes-Takesaki) de l'algèbre de type II décrivant les pseudo-états de la métrique à l'échelle ß = 0. Nous conjecturons également que le flot modulaire Euclidien représentant l'évolution d'un système en temps imaginaire pourrait correspondre à un accroissement de la distance spectrale séparant les états du système.

L'origine de l'espace-temps peut, in fine, être vue comme résultant de la brisure de la symétrie temps-espace à l'échelle 0, brisure qui, bien en deçà de la brisure de supersymétrie à l'échelle de Planck, engendre (i) l'émergence du temps comme direction privilégiée dans la 4-géométrie initiale (ii) l'expansion topologique du pré-espace-temps avant l'échelle de Planck et (iii) l'expansion physique au delà de l'échelle de Planck.

En conclusion du chap. 8, nous suggérons à partir de ce qui précède l'existence d'un "principe de singularité" que nous formulons ainsi :

Principe de singularité : Tout point de l'espace-temps est relié à la singularité initiale par un flot

topologique.

Le principe de singularité, découle ici de l'invariant de singularité

Z

ß 0 Tr(-1)

s

lequel repose sur le fait que le bord de l'espace-temps peut être identifié au bord S3 de l'instanton gravitationnel singulier B4 de taille 0 représentant la singularité initiale de l'espace-temps. La propagation de la singularité initiale est induite par l'existence d'une amplitude topologique - du type charge de l'instanton gravitationnel singulier de taille 0, soit

Q

d

4

x R

R

˜

, détectable sur le bord S3 de l'instanton gravitationnel singulier muni de la topologie B4. Les pseudo-observables sont ici interprétés comme cocycles sur l'espace des modules des instantons et sont associées aux cycles _i de la 4-variété B4 (application de Donaldson). Considérant un point X de B4, l'amplitude topologique assurant la propagation de la charge instantonique prend alors la forme :

O

S3

. O

X

#

(S

3

, X)

L'amplitude topologique de la théorie est donnée par les pseudo-observables du membre de gauche, tandis que le membre de droite désigne le nombre d'intersections des _i B4. La fonction

#

(S

3

, X)

est nulle si le point X est situé hors de la sphère S3 et vaut 1 si X est à l'intérieur de S3 (i.e. si X B4), cas où il existe une amplitude topologique.

C'est dans cette perspective - et d'autres non évoquées dans ce préambule - que nous proposons de considérer dans la recherche qui suit le "modèle hypersymétrique" - i.e. symétrie décrite par SO(4) et fondée, à l'échelle singulière ß=0, sur l'équivalence des trois directions genre espace et de la direction genre temps dans la métrique d'espace-temps- .

INTRODUCTION GENERALE

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

01.12 La présente thèse est donc organisée comme suit :

Dans le chapitre 1 , nous introduisons nos résultats en termes de groupes clasiques et suggérons l'existence d'un "chemin" algébrique dans l'oscillation de signature s de la métrique : à partir de (3, 1) - resp. de (4, 0) - s peut évoluer vers (4, 0) - resp. vers (3, 1) - mais jamais vers (2, 2).

Dans le chap. 2 , nous construisons l'espace homogène symétrique susceptible de décrire l'unification des deux groupes Lorentzien et Riemannien, ainsi que l'espace topologique quotient _top dont l'on peut attendre une représentation correcte de la superposition des deux métriques Lorentzienne et Riemannienne. .

Le chap. 3 contient nos principaux résultats, acquis dans le domaine des groupes quantiques. Nous avons obtenu certaines constructions algébriques nouvelles, en particulier, les familles de produits bicroisés cocycliques. Ces constructions explicitent la transition du groupe q-Euclidien vers le groupe q-Lorentzien ainsi que celle des espaces sur lesquels agissent ces groupes.

Au chap. 4 nous abordons une approche plus physique et suggérons que l'espace-temps pourrait être en état KMS à l'échelle de Planck, d'où nous tirons que le paramètre temporel ß devrait alors être considéré comme complexe. Dans ce cas, les fluctuations quantiques du champ de température pourraient constituer la source des fluctuations quantiques de la signature de la métrique.

Au chap. 5 , nous proposons une extension de la gravité relativiste à partir de l'échelle de Planck et adoptons un Lagrangien de supergravité de la forme R + R2 + RR* . Dans ce nouveau cadre, à la limite infrarouge ß lPlanck, ,

la théorie est décrite par le terme linéaire en R (secteur Lorentzien) tandis que sur la limite ultraviolette ß 0, c'est le terme topologique RR* qui domine, la théorie ayant un contenu purement topologique (secteur Euclidien).

Au chap. 6 , nous proposons une dualité nouvelle, isodimensionnelle, entre instantons et monopôles de dimension 4. La relation de dualité, à l'échelle de Planck, entre ces deux configurations du champ gravitationnel donne une bonne représentation semi-physique de la superposition des métriques (3, 1) et (4, 0).

Au chap. 7 , nous indiquons une possible résolution de la Singularité Initiale dans le cadre de la théorie topologique de Witten (Euclidienne), duale de la théorie physique (Lorentzienne). La Singularité Initiale peut alors être résolue sous la forme d'un instanton gravitationnel singulier de taille 0.

Au chap. 8 , nous discutons la question de l'expansion primordiale du pré-espace-temps, depuis l'échelle 0 jusqu'à l'échelle de Planck. Notre approche de la phase d'"expansion topologique" située dans la région quantique du cône de lumière est fondée sur des arguments algébriques (le flot des poids du facteur de type II associé à l'échelle 0) ainsi que sur des résultats liés à la théorie des instantons (en particulier la minimisation de la densité de charge topologique divergente de l'instanton singulier de taille 0). Nous énonçons en conclusion un "Principe de Singularité" fondé sur l'existence d'amplitudes topologiques, de portée par construction infinie, ayant pour source l'échelle 0 de l'espace-temps.

Enfin, nous proposons, outre les références citées dans le corps de notre recherche, une bibliographie indicative très exhaustive, rassemblant nombre de publication (environ cinq cents références) qui, directement mais aussi indirectement, nous ont paru apporter des contributions de nature à former les bases d'une théorie à venir de la superposition de la signature de l'espace-temps à l'échelle de Planck.

INTRODUCTION GENERALE ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Chapitre 1 Domaine de Fluctuation de la Signature

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1

DOMAINE (3, 1)

(4, 0)

DES FLUCTUATIONS DE LA SIGNATURE

Nous suggérons ici l'existence d'un "chemin" algébrique dans l'oscillation de signature s de la métrique : à partir de (3, 1) - resp. de (4, 0) - nous indiquons que s peut évoluer vers (4, 0) - resp. vers (3, 1) - mais jamais vers (2, 2). De même, à partir de (2, 2), s ne peut jamais évoluer vers (3, 1) ou vers (4, 0). La fluctuation de signature parait subir ainsi un confinement aux deux formes (3, 1) et (4, 0), dans les limites d'un "domaine de fluctuation" dépendant de contraintes algébriques.

1.1

CLASSE COMMUNE DE SIGNATURE (3, 1) (4, 0)

Nous commençons par remarquer que (3, 1) et (4, 0) appartiennent à une "classe de signatures" commune, liée au groupe fondamental ₁ =

_/

₂ commun au deux groupes, à la différence de (2, 2).

Remarque 1.1.1 SO(3, 1) et SO(4) appartiennent à la même classe fondamentale, l'un et l'autre possédant, en

commun avec SO(3), le même groupe fondamental 1 = / 2 à deux éléments. SO(2, 2) a pour 1 = à

une infinité d'éléments, et n'appartient pas à la même classe fondamentale.

Comme rappelé en [405], les ₁ de SO(3, 1) et SO(4) sont identiques - 1(SO(3, 1)) = 1(SO(4)) = / 2 ce qui

n'est pas le cas de SO(2, 2), dont le groupe fondamental est . Il est impossible de déformer continûment

/

2 vers .

(3, 1) (4, 0) (2, 2).

Nous montrons à présent que

_/

₂ est également le groupe fondamental de l'espace homogène symétrique correspondant à l'unification généralisée (dans l'esprit de M. Flato) de SO(3, 1) et de SO(4).

Proposition 1.1.2 L'espace homogène symétrique _h = SO(3 , 1) SO (4 )

SO (3)

représentant l'unification entre le groupe de Lorentz et le groupe Euclidien a le même groupe fondamental que SO(3, 1) et SO(4), soit / 2 .

Note : Nous utilisons ici une notation usuelle en physique exprimant, au niveau des groupes, le produit direct

G H par le produit tensoriel G H. Ainsi, SO(3, 1) SO(4 )

SO(3) s' écrira

SO(3, 1) SO (4)

SO (3) . A partir de la théorie d'unification des algèbres de Lie proposée par M. Flato [210], nous indiquons au chap. 2 (2.1.2, 2.1.3) que

h représente l'unification généralisée de SO(3, 1) et SO(4).

Démonstration L'on choisit une identification possible de SO(3) comme sous-groupe de SO(3,1) et de SO(4).

Commençons par définir l'action de SO(3) sur le produit direct

Chapitre 1 Domaine de Fluctuation de la Signature

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Soient les éléments g₁ SO(3, 1), g₂ SO(4) et h SO(3). SO(3) étant un sous-groupe commun aux deux facteurs du produit (1.1), nous avons donc un plongement "semi-diagonal" caractérisé par une action à gauche de SO(3) sur le produit (1.1). Le couple (g₁ , g₂) s'identifie alors à :

(g₁ , g₂)

h (h g1 , g2 h-1) (1.2)

L'action en (1.2) définit un fibré principal de groupe structural SO(3), l'espace des orbites de l'action de h sur l'espace total étant . Dans notre construction du fibré , l'espace total est SO(4) SO(3, 1)), la base est

SO(3, 1) SO (4) SO (3)

et la fibre est SO(3). Or, cette construction du fibré est équivalente à celle de R. Mnéimné et

F. Testard [405] selon laquelle, considérant le fibré principal G G_H :

G H F SO(4) so(3) SO(3, 1)) (1.3)

En effet, dans ce cas, le groupe SO(3) opère librement à droite sur SO(4) _{SO(3, 1)) par :}

(g₂ , g₁)

h (g2 h-1, hg1 ) (1.4)

et l'on montre aisément que (1.2) est équivalent à (1.4). L'espace des orbites SO(4) _so(3) SO(3, 1)) est une variété

fibrée au dessus de SO(4)_SO(3) de groupe structural SO(3) et de fibre type SO(4). Or, partant d'un fibré principal

F, de base B et d' espace total T,

x

₀ étant un point de T et F la fibre passant par F(

x

₀), l' on considère la fibration utile F T B. Alors, il a été établi [405] l' existence de la suite exacte des _i :

...

₂

(B, (x

₀

))

2 ₁

(F

_{( x0)}

,(x

₀

))

i* ₁

(T,(x

₀

))

* ₁

(B, (x

₀

))

. . .

1

0

(F

( x0)

,(x

0

))

i0

0

(T, x

0

)

. . .

(1.5)

de sorte que dans le cas du fibré (1.3), avec B = SO(4)_SO(3) = S3, F = (SO(3, 1) et T = SO(4) _so(3) SO(3, 1)),

nous avons la suite exacte :

...

₂

(S

3

)

2 1

(SO(3, 1))

i* 1

(T)

* 1

(S

3

)

(1.6) Or, d' après (405), ₂

(S

3

)

= ₁

(S

3

)

= 0, ce qui implique nécessairement l' égalité des deux termes médians :

1

(SO(3, 1))

1

(T)

=

₂

et le groupe fondamental du fibré = SO(4) _so(3) SO(3, 1)) est donc :

1( ) =

₂

. (1.7)

Comme nous avons montré l'équivalence entre (1.2) et (1.4), nous en tirons donc que le groupe fondamental de

h =

SO(3, 1) SO (4) SO (3)

est bien ₁ =

2

, comme requis.

Le résultat ci-dessus au niveau des groupes fondamentaux nous conduit à considérer dans la suite l'existence d'un chemin continu de revêtement auquel est associée l'oscillation de signature (3,1)- (4,0).

Chapitre 1 Domaine de Fluctuation de la Signature

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.1.3 Fluctuation de signature et chemin de revêtements universels

Nous suggérons l'existence d'un "revêtement de superposition" d'ordre 2, susceptible de contenir alternativement soit le revêtement universel de SO(3, 1), soit le revêtement universel de SO(4). En revanche, ce revêtement d'ordre 2 ne peut être ramifié sur le revêtement de SO(2, 2).

Remarque 1.1.4 Le revêtement universel du fibré _h = SO(3, 1) SO (4) SO (3)

décrivant l'unification généralisée

entre le groupe de Lorentz SO(3, 1) et le groupe Euclidien SO(4) est { }(±) = SL(2, C) SU(2).

Démonstration Le revêtement universel

{ }

de SO(3, 1) SO(4) s'écrit : { }_{{SO(3, 1) SO(4)}} = SL(2, C) SU(2) SU(2)

De même :

{ }_(SO(3)) = SU(2)

Or, à partir (i) de l'action semi-diagonale de SO(3) sur le produit SO(3, 1) SO(4) définie en (1.2), puis (ii) de l'existence d'une bijection entre le ₁ et le revêtement universel de h et enfin (iii), du fait que le ₁ de _h calculé en (1.1.2) est

2

, nous pouvons conclure que le revêtement universel { }(±) de h =

SO(3, 1) SO (4) SO (3) est :

{ }(±) = SL(2, C) SU(2) (1.8)

comme requis.

Considérons maintenant SL(2 , )

~

SL(2 , )

~

, revêtement universel de SO(2,2).

Corollaire 1.1.5 La fluctuation de signature de la forme quadratique Lorentzienne s'effectue à l'intérieur du

chemin de revêtement { }(±) d' ordre 2 , simplement connexe, du type SL(2, C) SU(2) susceptible de se ramifier

soit vers SL(2, C) soit vers SU(2) SU(2). { }(±) ne peut se ramifier vers SL(2 , )

~

SL(2 , )

~

, revêtement de SO(2, 2) d'ordre infini.

Démonstration. Le revêtement universel de SO(3) est SU(2) ~ S3_{, de centre fini et simplement connexe, celui}

de SO(3, 1) est, topologiquement, SL(2, C) ~ S3 3_{, également de centre fini et simplement connexe (par}

nappe) tandisque celui de SO(4) est SU(2) SU(2) ~ S3 _S3 _{et présente les mêmes caractéristiques. En revanche,}

{ }(2, 2) = SL(2 , )

~

SL(2 , )

~

(1.9) a un centre infini et n'a pas de réalisation matricielle en dimension finie - i.e. { }(2, 2) n'est pas un groupe de

matrices [242]. Il existe donc entre { }(3, 1) = SL(2, C) et { }(4) = SU(2) SU(2) un chemin continu, lié à la

simple connexité et à l'ordre 2 des deux revêtements cités.Un tel chemin prend la forme d'un "revêtement de superposition", { }(±) = SL(2, C) SU(2) d'ordre 2, simplement connexe, contenant soit { }(3, 1) soit { }(4).

Note : SO(2, 2) n'a pas de représentation matricielle, ce qui supprime la notion usuelle d'état quantique.

Remarque 1.1.6 A la différence de SO(3, 1) et SO(4), le revêtement universel de SO(2,2), d'ordre infini,

n'admet pas de représentation matricielle. L'état de signature (2, 2) ne peut donc pas être un état quantique.

Chapitre 1 Domaine de Fluctuation de la Signature

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Démonstration Il résulte de la dém. (1.1.5) que SO(3, 1) et SO(4) ont chacun par bijection un revêtement

d'ordre 2 alors que le revêtement de SO(2, 2) est d'ordre infini :

1

(SO(3,1)

Z

/2Z

2 éléments

Z

_{/2Z 1}

(SO(4))

{ }

_{SL( 2, C)}

2 éléments

{ }

_{SU( 2) SU( 2)}

Au contraire, dans le cas de SO(2, 2) :

1

(SO(2, 2))

Z

Z

infinité d'éléments

{ }

{SL(2 , R) ~ SL(2 , R) ~ } (1.10)

Le revêtement universel SL(2 , )

~

SL(2 , )

~

, de noyau infini, n'admet donc pas de représentations matricielles, SL(2 , )

~

SL(2 , )

~

étant un groupe sans matrices. SO(2, 2) n'admet donc pas de représentation projective, celle-ci étant fournie par la représentation matricielle de son revêtement universel. L'absence de représentation projective supprime l'espace de Hilbert et ne permet pas de définir l'espace des états quantiques. Le théorème de Wigner [438] a établi que les symétries de l'espace projectif proviennent des opérateurs unitaires de l'espace de Hilbert. L'absence d' espace projectif n'autorise pas la quantification en signature (2, 2).

1.2

CHEMIN DE CONNEXITE ET DE LACETS (3, 1) (4, 0)) Remarque 1.2.1 SO_o(3, 1) et SO(4) possèdent le même o.

Soit le demi-cône de lumière orienté du passé vers le futur. Il n'existe qu'une seule composante connexe - donnée par

o - dans l' espace sur lequel agît SO_o (3, 1). De même, SO(4) en tant que variété possède également une seule composante connexe. D'où :

o{SOo(3, 1)}= o{SO(4)}

Comme SO(2, 2) a deux composantes connexes, s'il est possible de passer continûment de (3, 1) à (4, 0) en longeant la même composante connexe, il n'existe pas de chemin continu de composantes connexes entre SO_o(3, 1) et SO(2, 2) ou entre SO(4) et SO(2, 2).

La transition SO(3, 1) SO(4) n'existe pas seulement en terme de connexité mais en terme d'espace de lacets.

Proposition 1.2.2 La déformation de la signature Lorentzienne s'effectue dans un espace de lacets correspondant

à une déformation continue de l' espace des lacets (SO(3, 1) vers (SO(4). Une déformation continue de ce type n'est pas possible vers (SO(2, 2) .

Note Le symbole désigne ici l' espace des lacets.

Elts de démonstration. S'il est possible de rétracter sur un point l'espace des lacets de SO(3, 1), SO(4) et

SO(3), cette trivialisation n'existe pas pour SO(2, 2)

_~

SO(2) SO(2). Soient et les espaces topologiques associés à SO(3, 1), SO(4) et SO(2, 2). Or, et peuvent être rétractés sur le point correspondant à leur sommet ( a pour unique point réel son sommet ) et les deux espaces de lacets associés peuvent être trivialisés. En revanche, SO(2, 2)

_~

S₁ S₁ et l' espace des lacets associé se contracte sur le tore, non contractile sur un point. L' on a donc un homéomorphisme local entre et qui ne peut être étendu à .