Tout point de l' espace-temps est relié à la singularité initiale par un flot topologique

Selon les perspectives de (7.2.4)(7.2.5), la singularité initiale du pré-espace-temps, de nature purement topologique, correspond à un nouvel invariant, que nous appelons "invariant de singularité ", de la forme :

Z

ß 0

Tr(-1)^s (8.17)

Z

ß= 0

est associé à l'échelle 0 du système et est isomorphe au premier invariant de Donaldson. L'on observe que

l'invariant de singularité, à la différence de l'invariant de Witten

Z

Tr(-1)ⁿ, n'est pas construit à partir de H = 0 mais est indépendant de H, la métrique sous-jacente étant Riemannienne. L'essentiel du principe de singularité repose alors sur le fait que le bord S3 de l' espace-temps peut être identifié au bord S³ de l' instanton gravitationnel singulier B4 de taille 0 représentant la singularité initiale de l' espace-temps. B⁴ a pour charge topologique :

Q ¹ 32 ^{2 d}

4

x R R ^˜ = 1

Comme le point S est un point critique, la longueur de corrélation du système est infinie et l'amplitude topologique de l'instanton, propageant la charge Q par cobordisme trivial, a une portée infinie (i.e. est invariante d'échelle) et impose une contrainte topologique non locale. Considérant un point X de B⁴, l'amplitude topologique assurant la propagation de la charge instantonique a la forme :

^O

S³

. O

_X

#(S

³

, X)

L'amplitude topologique de la théorie est donnée par les pseudo-observables du membre de gauche, tandis que le membre de droite désigne le nombre d'intersections des _i B⁴. La fonction

#(S

³

, X)

est nulle si le point X est situé hors de la sphère S³ et vaut 1 si X est à l'intérieur de S³ (i.e. si X B⁴), cas où il existe une amplitude topologique. Q dépend donc uniquement des propriétés globales de la fonction

A

^a

( x r)

. A l' infini, l'on a:

F

^x

0

mais ce n'est pas (nécessairement) le cas pour le potentiel de jauge

A

^a qui devient une pure jauge:

A(x)

^x

U (x) U

¹

(x)

(8.18) le vide de la théorie étant non trivial. Les éléments de jauge U(x) SU(2 ), x S³ sont tels que :

U =

A i B , A

²

B

²

1

et

U(x)

représente

U: S

³

SU(2) S

³où nous trouvons les applications de la sphère

S

³représentant l'espace physique compact E3, bord de l' espace E4, sur l'espace isotopique de SU(2), également isomorphe à

S

³. Nous tirons l' identification de S3, bord de la solution instanton de dimension 4 à l' espace physique, du double plongement de SU(2) dans SL(2, C) -revêtement universel du groupe de Lorentz - et dans SU(2) SU(2), revêtement de SO(4). Comme SU(2) S3, nous proposons donc d'interpréter S3 à la fois (i) comme bord de dimension 3 de la solution Euclidienne instanton B4 de dimension 4 et (ii) également comme bord de dimension 3 de l' espace-temps.

Or, l'espace physique de dimension 3 correspondant précisément à

S

³ - et comme la charge topologique Q de l'instanton est déterminée par le comportement du champ de jauge sur

S

³-, il en résulte que chaque point de

Chapitre 8. Théorie Topologique de l'Expansion du Pré-Espace-Temps

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l'espace-temps peut être identifié à la charge topologique Q de l'instanton gravitationnel singulier. De ce point de

vue, la charge topologique de la singularité initiale, soit Qs

¹

32

²

^d

4

x R R ^˜

se propage en tout point de l'espace-temps, d'où le principe (8.3.1). Nous conjecturons en (8.3.2) l'existence d'un "flot de singularité" donné par le courant topologique de Chern-Simon.

Conjecture 8.3.2 Il existe, à l'échelle 0 un "flot de singularité "donné par le courant topologique de

Chern-Simon.

Arguments (i) En théorie Yang et Mills, la densité de charge topologique s'écrit :

Q ¹

8

²

^{tr F}

2

(8.19)

et est une forme fermée dQ = 0 dans la mesure où l'identité de Bianchi DF = 0 :

d tr F

²

2tr DFF 0

D'après le théorème de Poincaré, (8.19) est également exacte sur le demi-hémisphère H+ de S4 :

Q dK

et nous avons donc :

q ¹

8

²

^{tr F}

2 H

dK

H soit :

q K

S³

Or, la 3-forme K représente le courant topologique

K ¹

8

²

^{tr AdA}

2

3^A

3

où nous retrouvons la forme de Chern-Simons

Q

₃

(A, F) tr AdA ²

3^A

3

tandis qu'avec la charge Q, nous retrouvons l'anomalie du singlet d* J5 =

¹

4

²

^{tr FF}

^{selon :}

d* J5 = 2Q.

(ii) Les résultats (i) sont transposables en supergravité. En effet, l'on montre que le courant topologique devient :

Q

₂¹

(v , ) ~ tr v d

Q

₂¹

( , ) ~ tr ad

Chapitre 8. Théorie Topologique de l'Expansion du Pré-Espace-Temps

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et dans ce cas, le courant topologique est engendré par l' anomalie gravitationnelle axiale :

A grav = d * j5 = 2

i A (M^ˆ

_2n

)

_{n= 2} =

i ¹

96

²

^{tr R ˜ R}

où nous retrouvons pour source du courant topologique le terme topologique de l'instanton gravitationnel singulier.

De (i) et (ii), nous déduisons que la charge topologique Q = 1 portée par l'instanton gravitationnel singulier de taille 0 est donc propagée vers par le courant topologique de Chern-Simons K, comme requis.

A présent, nous considérons la propagation du flot singulier, sous la forme d'une amplitude topologique, et ses relations avec le groupe des transformations conformes de S³. Ce modèle est développé dans [92].

8.3.3 Propagation du flot singulier et groupe conforme de S3

Nous suggérons qu'un modèle de la propagation de l'interaction topologique Inttop peut être donné par les transformations conformes Conf (S3) de la sphère S3. Conf (S3) peut être décrit par le groupe de Möbius [71], défini à partir de l' inversion de S3. D' où :

Proposition 8.3.4 Pour toute similitude

h Sim

( 3), l'application définissant la charge topologique de

l'instanton, soit ƒ : S 3 S 3, définie par ƒ(n) = n et ƒ = g-1 o h o g sur S 3 n appartient à Möb (3).

Démonstration Soient n le pôle nord et s le pôle sud de la sphère S3. L'on montre alors que

{S} g -1 o h o g,

convenablement prolongé sur S3 tout entière, est dans Möb(3) si h est une inversion ou une symétrie hyperplane. Or, les h engendrent le groupe des similitudes Sim ( 3). En effet, considérant , il a été montré que si le noyau

Ker ( Id

X ) 0

alors ƒ admet un point fixe unique correspondant à son centre. Par ailleurs, ƒ Sim (X) Is (X), il existe X unique tel que ƒ( ) = . Le point est le centre de la similitude ƒ et l'on peut écrire:

h g = g h, h H _, et g Is (X) (8.20) Ce qui précède suppose des prolongements convenables, le plus immédiat consistant à adjoindre un point à l'infini sur 3 et à prolonger g en S3 3 par g(n) = . Or, d'après [72], il existe dans Möb(3) les applications

g ¹ H_0, g e H_0, e

associées aux homothéties vectorielles de 3. Si > 1, l'application ƒ admet le pôle nord comme attracteur et le pôle sud comme répulseur, i.e. les itérées ⁿ (n ) font converger tout point de S3 s vers n. Le seul point

de S3 échappant à l'attraction de n est le pôle sud s.

Nous poursuivons en suggérant dans la prop. (8.3.5) que Möb(3) est le groupe conforme Conf (S3) de S3. Posons que Conf (S3) décrit l'invariance d'échelle (i.e. invariance conforme) de la sphère identifiée ici, suivant l'inclusion S3 SL(2, C), à l' espace physique, compactifié de 3.

Chapitre 8. Théorie Topologique de l'Expansion du Pré-Espace-Temps

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Proposition 8.3.5 Soit Möb± (3) = Conf± (S3). le rayon r 0 de S 3 engendrant

S

_r³ ₀, et ƒ Möb(3), alors

S

_r³ ₀ appartient au faisceau (S3)de sphères S 3. Réciproquement, une bijection de S 3 vérifiant cette propriété appartient à Möb (3) . Le groupe Möb (3) présente un isomorphisme naturel avec PO( ) de la quadrique d' équation

q x

²

x

₅²

i 1

4

.

Démonstration Soit

i

_c, une inversion de X de dimension n. Soit sa dérivée

i

'(

x

) composée de la symétrie d' hyperplan vectoriel

x

et de l' homothétie de rapport /

x

². L' on montre alors que

i

'(

x

) en tout

x X

c est une similitude directe pour ⁿ < 0 et indirecte pour ⁿ > 0.

i

'(

x

) conserve les angles des droites et des droites orientées. Comme la composée de deux applications conformes est conforme, alors Möb(3) Conf(S3). Réciproquement, comme Möb(3) Conf (S3) est transitif sur S3, alors ƒ Conf (S3) laisse fixe le pôle nord n. Selon la projection stéréographique g de n, pour ƒ(n) = n, l'on obtient :

g g ¹ Conf ( 3)

g et ƒ étant conformes. En application du théorème des similitudes de Liouville [72], l'on a

g g ¹ Sim ( 3) ƒ Möb(3) (8.21) Il résulte des propriétés de l'inversion [72] que ƒ( ) conserve la structure de la sphère S3 lorsque le rayon r 0. Réciproquement, en posant ƒ(n) = n,

g g

¹ transforme les (demi)-droites de 3 en (demi)-droites, de sorte que

S

_r³ ₀ appartient au faisceau (S3)de sphères S3. Enfin, il a été établi dans [71] que:

Möb(3) =

( im( ))

¹

:

PO( )

i.e. le groupe de Möbius de S3 correspond à la restriction du groupe PO( ) sur im( ).

Une théorie topologique de propagation de la singularité a été suggérée dans [92]. A partir de ce qui précède, nous revenons pour conclure sur notre idée esquissée ci-dessus, selon laquelle la propagation de la singularité initiale pourrait être induite par l'existence d'une amplitude topologique du type charge topologique de l'instanton gravitationnel singulier Qs

d

⁴

x R R ^˜

. Les seules "observables" de la théorie sont, à l'échelle 0, des

observables topologiques

^O

^{, de la forme :}

Dans le document FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA METRIQUE A L'ECHELLE DE PLANCK (Page 116-119)