(Majid) Un - groupe tressé est un groupe tressé B tel que B est une - algèbre et

,h ,(Sh)

^* ,

h H,

H *

.

Une * - algèbre de Hopf quasitriangulaire est dite de type réel [382] si ^* * = ( ). Elle est de type "anti-réel" lorsque * * = 1

La construction des groupes de q-Poincaré Lorentzien et Euclidien impliquent également une structure et une opération définies par Majid : les groupes de tresse [369] et la bosonisation [363].

Définition 3.1.6 (Majid) Un groupe tressé B (ou une algèbre de Hopf tressée) est défini comme une algèbre de

Hopf équipée du coproduit : B B B où B B n'est plus le produit tensoriel d’algèbres usuel mais un produit tensoriel tressé tel que

(a b) (c d) : = a (b c) d

où est l’opérateur de tresse-transposition. L'on requiert également l'existence d'une counité tressée et d'une antipode tressée

S

.

Nous munissons maintenant les groupes de tresses utilisés dans la suite d’une - - structure.

Définition 3.1.7 (Majid) Un - groupe tressé est un groupe tressé B tel que B est une - algèbre et

( ) o = o o ,

( )

o , o

S

=

S

o .

étant ici la transposition usuelle. Si B est un groupe de tresses quelconque dans une catégorie tressée de H-modules, B est un - groupe de tresse et H une * - algèbre de Hopf agissant unitairement. Alors la "bosonisation" (cf. [382]) de B, sous la forme du groupe quantique

B > H

_{, n'est ni quasitriangulaire ni une *- algèbre de Hopf}

mais est une quasi - * - algèbre de Hopf comprenant B et H comme sous - * - algèbres [379] . Nous effectuons cette construction en 3.4.9.

3.2 QUANTIFICATION DU GROUPE DE LORENTZ ET DOUBLE SIGNATURE

Nous commençons par la description de Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) [388] en tant que * - algèbres de Hopf [379]. Dans les différentes constructions, nous utilisons Uq(su(2)), algèbre non commutative engendrée par [189][290] :

1 , X+ , X - ,

q

H 2

, q

H 2

avec les relations

q

H 2

q

H 2

1 , q

H 2

X q

H 2

q

¹

X , [X , X ] = ^q

H

q

^-H

q - q

^{-1 . (3.2)}

Les rel. (3.2) engendrent une algèbre de Hopf telle que :

q

H 2

q

H 2

q

H 2 ,

X X q

H 2

q

H 2

X

, avec

q

H 2

1 , X = 0 , SX = - q

¹

X

_,

Sq

H 2

q

H 2

Il a été montré que sur C[[t]], H et X± peuvent être considérés comme des générateurs, l’algèbre de Hopf étant quasitriangulaire avec les relations :

=

q

H H 2

(1 q

^-2

)

ⁿ

[n]!

n = 0

(q

H 2

X

₊

q

H 2

X )

ⁿ

q

n(n -1) 2

, [n] = ^q

n

q

^{- n}

q - q

^{-1 (3.3)}

avec [n] ! = [n] [ n - 1] ... [1] . H est quasitriangulaire réel avec q réel et la * - structure

X

^*

X , H

^*

H

Remarquons dans des formules telles que (3.3) la necessité de trouver les produits complets appropriés. Toutefois, en utilisant les algèbres de Hopf duales, toutes nos constructions peuvent être rendues complètement algébriques. Pour cette raison, nous n'allons pas discuter une telle complétude explicitement.

A présent, la théorie des groupes quantiques [382] nous donne :

U_q(so(4)) = ^{Uq(su(2)) Uq(su(2)) comme algèbre}

Uq(su (2 )) Uq(su(2 )) comme cogèbre ^(3.4)

correspondant à SO(4) comme produit direct de deux copies de SO(3). En revanche, la description naturelle de Uq(so(3, 1) est fondée sur la décomposition d' Iwasawa, exprimée par le double quantique de Drinfeld [189]:

Uq(so(3, 1) = (Uq(su(2)) = ^{Uq(su(2) Uq(su(2)}

*op _{comme algèbre}

Ici, Uq(su

(2)

)* Uq(su

(2)

*) où su

(2)

* est l'algèbre de Lie duale de Drinfeld, duale de su(2) en tant que bigèbre de Lie. Il s'agît d'une algèbre de Lie tridimensionnelle soluble, correspondant classiquement à SL (2, C) = SU(2) SU(2)*^op, où SU(2)*^op est le groupe de Lie soluble dont l'algèbre de Lie est su(2)*^op.

A première vue, les deux groupes quantiques (3.4) et (3.5) paraissent très différents. Comme les axiomes d'algèbres de Hopf unifient l'algèbre et la cogèbre dans la même structure d'adH, l'on pourrait espérer associer la configuration Euclidienne à l'algèbre et la configuration Lorentzienne à la cogébre twistée (possiblement). L'analyse montre que ce n'est pourtant pas le cas. Toutefois, notre premier résultat est que les configurations Euclidienne et Lorentzienne admettent une description équivalente et sont construites sur la même algèbre, avec deux coproduits différents. D'où:

Proposition 3.2.1 Soient l'algèbre de Hopf Euclidienne Uq(so(4)) et l'algèbre de Hopf Lorentzienne (Uq(su(2)), isomorphe à Uq(so(3, 1). Les deux algèbres de Hopf possèdent la même algébre Uq(su(2) Uq(su(2)) et leurs cogèbres C1 = Uq(su(2) Uq(su(2)) et C2 = Uq(su(2) Uq(su(2)) sont reliées par twisting.

Elts de démonstration L'on sait d'après [378] que pour une algèbre de Hopf factorisable H (telle que Uq(su

(2)

)), (H) H H, où désigne un coproduit twisté [189], noté H H dans la construction du "carré twisté" de [432]. Cette forme de double quantique a été appliquée à q-Lorentz dans [368][382]. L'on peut donc écrire pour l'adH Euclidienne :

Uq(so(4)) ^{Uq(su(2)) Uq(su(2)) comme algèbre}

Uq(su(2 )) Uq(su (2 )) comme cogèbre C1 ^{(3. 6)}

Par contraste, l' adH Lorentzienne s' écrit :

Uq(so(3, 1)) =

Uq(su (2 ) Uq(su(2) comme algèbre

Uq(su(2)) Uq(su(2)) comme cogèbre C2 ^{= (Uq(su(2)) (3.7)}

L' on observe (i) que l' algèbre Uq (su(2)) Uq (su(2)) est identique dans les deux cas Lorentzien et Euclidien et (ii) que C1 et C2 -et donc les structures Lorentzienne et Euclidienne- sont reliées par twisting, le twist étant ici isomorphe à dans la cogèbre. Plus précisément, nous considérons = ₂₃ H H H H comme un 2-cocycle dans H H où H = Uq(su(2)). Ceci donne le coproduit

H H = ₂₃ ( _{H H} ) ₂₃^-1 comme requis.

L' application du twisting par induit la modification de l'algèbre de Hopf appropriée au changement de signature. En même temps, le twisting du coproduit de H H en H H par la conjugaison induit une non-cocommutativité supplémentaire et est du même type que la quantification de l'algèbre enveloppante classique U(g) Uq(g) comme twisting de quasi-algèbre de Hopf dans la théorie de Drinfeld [190]. Dans le language dual d'anneau de coordonnées, un tel twisting introduit une non cocommutativité supplémentaire dans l'adH et est directement lié au processus de quantification. Ceci établit le lien entre quantification et transition de la structure d'algèbre de Hopf, de celle appropriée à la signature Euclidienne à celle correspondant à la signature Lorentzienne (et inversement).

Nous allons aussi bien considérer ultérieurment les différentes * - structures impliquées dans nos constructions. Celles-ci ne sont pas simplement reliées par twisting mais ont une origine plus profonde. Pour l'instant, nous procédons modulo les * - structures. Cependant, l'on note que les structures algébriques ci-dessus sont les structures appropriées pour les * - structures dans les deux cas. Nous allons montrer maintenant qu'il existe un chemin à un

paramètre les reliant. Ceci doit être important du point de vue des oscillations entre les deux secteurs Lorentzien et Euclidien.

Proposition 3.2.2 Les deux groupes qantiques Uq(so(3, 1)) et Uq(so(4)) sont reliés de façon continue par une

structure de quasi-algèbre de Hopf, modulo les *- strucutures.

Démonstration Soit U = U

q

(so(4)). Posons

Uq(so(4)) = Uq (su(2)) Uq (su(2)) = (Uq (su(2)) Uq (su(2)) ) (3.8)

et

Uq(so(3, 1)) = Uq (su(2)) Uq (su(2)) = (Uq (su(2)) Uq (su(2))) _(3.9)

avec = _{23 .}

Dans l' espace des éléments de Uq (su(2)) Uq (su(2)), nous prenons t = 1 - t + t 23

,

de sorte que t = 0 cas Euclidien

t = 1 cas Lorentzian

Soit à présent un élément arbitraire inversible U U tel que

Id( )= Id ( )= 1

A partir de là, nous pouvons effectuer un twist de U via dans une catégorie d'algèbre quasi-Hopf, de manière à passer de l'algèbre de Hopf U à l'algèbre de Hopf U par conjugaison du coproduit par . Dans ce cas, Drinfeld a montré [190] que le coproduit n'est plus généralement coassociatif, puisque

( d ) (h) = ( d) (h) ] -1

où est un élément inversible dans U U U donné par = C'est à dire

= ₁₂ ( Id)( ) (Id ) ( ) -1 -1

23

Soit alors _t = _t. Ici ₀ = 1 et l' on trouve également que ₁ = 1 (en utilisant les axiomes propres à une structure quasitriangulaire pour établir que ₁ = ₂₃ est un cocycle). Mais _t = _t 1 à un autre t générique. De ce point de vue, les extrémités du chemin sont les algèbres de Hopf

Uq(so(4)) (t = 0)

et

Uq(so(3, 1) (t = 1)

Partant de Uq(so(4)), nous pouvons ainsi appliquer un twist à cette adH, correspondant à t 0. Il en résulte une famille de quasi-algèbres de Hopf, définies par la perte de la coassociativité, reliant U

q

(so(4)) et U

q

(so(3, 1)).

Remarque Nous notons que le chemin que nous avons indiqué n'est naturellement pas unique. Un autre chemin

q

H H 2

e

q ² (1 q ²) q H 2X q H 2X (3.10) où

e

q ²

représente les mêmes séries de puissances qu'en (3.3), de sorte que :

1

comme dans le cas habituel, tandisque

0

q

H H

2

Plus précisément, nous prenons

q

( 1

2 )H H

23

Ici, l'on peut trouver que, dans le même sens que pour dans [382] :

( id)

_{13 23}

et similairement pour

(id )

.

Remarquons également que le twisting ne modifie pas les catégories de représentations, aux relations d'équivalence près. Puisque la représentation irréductible de SO(2, 2) est très différente de celles de SO(3, 1) et de SO(4), l'on ne peut s'attendre à l'existence d'aucun chemin d'évolution de la signature, même en terme de quasi-algèbres de Hopf, ni entre Uq(so((2, 2)) et Uq(so(3, 1)), ni entre Uq(so((2, 2)) et Uq(so(4)).

3.2.3 _{* - structures Euclidienne et Lorentzienne}

Nous sommes maintenant prêts à considérer les * - structures pour Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)). Nous interprétons le twisting ci-dessus comme une sorte d'"équivalence de jauge", dans la mesure où il ne modifie pas les catégories de représentations. Nous allons voir que le changement de signature ne se réduit pas simplement à un tel artefact de jauge, i.e. ne peut pas être entièrement expliqué par le twisting. Afin de construire convenablement les différentes * -structures impliquées, nous allons effectuer une "transformation de jauge inverse" sur la * - structure de Uq(so(3, 1)), de façon à observer son allure en termes d'une algèbre de Hopf qui sera la même que celle de Uq(so(4)). De cette façon, nous allons voir que les deux * - structures correspondant aux algèbres q-Lorentzienne et q-Euclidienne sont les deux seules possibilités naturelles dans ce contexte. Notons d'abord qu'en dehors du twisting, il existe une petite ambiguité de S2 dans la structure de * - algèbre de toute * - algèbre de Hopf (classiquement S2 = 1, de sorte que cette ambiguité n'est pas visible).

Lemme 3.2.4 Si H est une * - algèbre de Hopf munie de l'antipode S, alors * ^nov = S

-

2 o * = * o S2 forme également une algèbre de Hopf.

Démonstration Celle-ci est élémentaire puisque S2 est un automorphisme d'algèbre de Hopf et que * o S= S

-

1o *. Alors, (* ^nov )2 = S

-

2 o * o S

-

2 o * = * ² = id et *^nov o S = S

-

1o *^nov comme requis.

De même, l'on peut maintenant se demander comment une telle transformation de jauge modifie les * - structures correspondantes.

Lemme 3.2.5 (Majid) Soit H une * -algèbre de Hopf et un 2-cocycle réel tel que

(S S) ( * * ) = Le twist de la * - structure s’ écrit * = (S ^{- 1} U) ( (...) * ) S ^{- 1} U ^-1

de sorte que H est également une *- algèbre de Hopf.

Démonstration Nous rappelons la preuve de [382], utilisant la notation de Sweedler h = h₍₁₎ h₍₂₎ , avec la sommation comprise. L'on pose U = ⁽¹⁾S ⁽²⁾. Nous avons U* = S^-2U, et donc S ^{- 1} U est auto-adjoint sous *. Le twist sur la * - structure donne (* ) ² = id et (S o * )²= id. Alors l'on obtient, à partir de S ^{- 1} U donné dans [382] :

(* * )( ^{h S - 1U) - (1)* h*}₍₁₎ (1)* _S - 1 U^-1 S ^{- 1}U ) - ^(2)* h*₍₂₎ ^{(2) *} S ^{- 1} U ^{- 1}

coïncide avec

o * (h) = ⁽¹⁾ (S ^{- 1}U)₍₁₎ h*₍₁₎(S ^{- 1}U^-1)₍₁₎ ^{- (1)} (2) (S ^{- 1}U)₍₂₎h*₍₂₎(S ^{- 1}U^-1)₍₂₎ ^{- (2)} comme requis. L'on a également que est réel si est réel.

Nous considérons à présent la * - structure correspondant à Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)). Il est connu [382] que celles-ci confèrent à Uq(so(3, 1)) et Uq(so(4)) la structure d'algèbres de Hopf quasitriangulaires de type réel. Nous suggérons d'abord qu’il n’existe, sur Uq(su(2)) Uq(su(2)), que deux classes de * - structures différentes, que nous associons de manière naturelle à Uq(so(3, 1)) et Uq(so(4)). Nous souhaitons relever les véritables différences entre les * -structures, modulo les "équivalences de jauge" mentionnées ci-dessus. En ce sens, nous suggérons :

Dans le document FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA METRIQUE A L'ECHELLE DE PLANCK (Page 29-34)