---L'outil spectral nous permet à présent de formuler notre hypothèse principale sur la “ dynamique spectrale ” du pré-espace-temps, la distance spectrale entre les états (dualement entre les observables) étant croissante dans le temps imaginaire :
Conjecture 4.4.4 Le flot modulaire Euclidien représentant l'évolution d'un système en temps imaginaire
correspond à un accroissement de la distance spectrale séparant les états du système .
Elts de démonstration(i). Soit M une variété Riemannienne ordinaire, O l'espace des observables,
D
un opérateur de Dirac etD
-1 le ds2 Riemannien sur M .D
a un spectre discret donné par les valeurs propres n . La distance Riemannienne entre x , y M est donnée par :d (x , y) = Inf Longueur L où Longueur
L g g' (t)
0 1
dt
A l'échelle de Planck, nous proposons de remplacer la distance "géométrique" entre les points x et y par la distance "algébrique" entre les états et de la métrique sur l'algèbre
A
. Une mesure est une forme linéaire surA
telle que (1) = 1: , (a* a) 0 ,
a
, (1) = 1Il en résulte une distance spectrale entre les états et de la métrique, duale de d (x , y) et en général non commutative, dont la structure est fournie par le "triplet spectral" :
(
A
, ,D
)donné par l'algèbre d’opérateur involutive
A
dans et l’opérateur de DiracD
autoadjoint tel que la résolvante (D
- )-1 deD
est compact et le commutateur [D
, a] =D
a - aD
est bornéa A.
La dimension de (A
, ,D
) est gouvernée par la croissance des valeurs propres de n. A partir de [149], la distance spectrale entre les états de la métrique est telle que :d ( ) = sup
{ (a) - (a) ; a D,a 1 , 1 1 }
(4.20) Indiquons que (4.20) permet de retrouver la distance géodésique en régime Riemannien. Soit la variété Riemannienne compacte O munie d'une K-orientation (structure spinorielle) et soit ƒ l'opérateur du produit de Clifford par le gradientde
. Le triplet (A
, ,D
) est décrit par(ƒ ) (x) = ƒ(x) (x) ,
x
O , ƒA
, .qui fournit la représentation de l'algèbre de fonctions sur O dans l'espace de Hilbert des sections de carré intégrable du fibré des spineurs = L2 (O , S). La norme Hilbertienne de ƒ est alors donnée par la norme Lipschitzienne :
D , Sup
x O
Considérons x , y M et , les états correspondants: ƒ =ƒ(x) , (ƒ) = ƒ(y).L'on observe que (4.20) redonne la distance Riemannienne ordinaire
A.
(ii) Soient à présent , deux états du système pré-espace-temps décrits en (4.4.5). Nous avons proposé en (4.4.1)(4.4.2) l'existence d'un automorphisme modulaire t (A) en temps imaginaire - ou flot modulaire Euclidien-de la forme :
Chapitre 4. Espace-Temps KMS et Double Signature
---t (
A
) t im (A
) =e
ß HA e
ß H avec ß = - i t et t (4.21)D'après (4.4..2), le flot Euclidien donné par (4.21) est partout dilatant. Comme la distance spectrale donnée par (4.20) est de la forme
d ( ) = sup
{ }
conformément au résultat (4.4.2), l'application de l'automorphisme sur le sup de la norme des Vi accroît nécessairement la distance spectrale décrite par (5.26) entre deux états , de
A
. La distance d'état d ( ) est donc nécessairement croissante dans la direction du temps imaginaire 1 2 . En conséquence, la “ dynamique Euclidienne ” à l'échelle < planck prend donc la forme d'un accroissement de la distance d'état (ou distance spectrale) d s séparant deux états , .Nous regardons à présent une autre approche de la relation entre les secteurs Lorentzien et Riemannien de la théorie. Nous suggérons que la théorie modulaire, fondée sur l'existence du 1- cocycle de Radon-Nykodym reliant les états d'un système, peut être étendue à un cocycle à deux variables reliant les deux signatures génériques + et - .
Proposition 4.4.5 Soient deux états réel
(x)
im(x)
sur W, il existe un cocycle à deux variables canoniqueu
,
u
1 2u
1 1,(x) u
21
,
2à valeur dans le groupe unitaire de W pour 1 et 2 réels et dans le semi-groupe de W pour 1 et 2 imaginaires purs , tel que :
,
(x) = u
,(x)u
*x W
.Note le 2-cocycle ci-dessus dépend de deux variables et correspond ici à l'extension de ß dans la bande holomorphe.
A la différence du 1-cocycle habituel -qui est associé au temps réel t du système- le 2-cocycle évoqué ci-dessous généralise le paramètre d'évolution et peut être également associé au temps imaginaire du système.
Démonstration Soient la variable complexe = t + i ß et l'algèbre d'observables A W. L'équation du 1-cocycle réel contient deux variables additives t1 et t2 . Le cocycle de (4.4.5) contient deux variables complexes
1 et 2 . L'extension t implique donc la transition d'un 1-cocycle à une variable t à un cocycle à deux variables re et im. Les automorphismes holomorphes prennent alors la forme :
,
(A) = e
( it - ß ) HA e
-( it - ß ) H (4.22) Le cocycle (4.22) dépend donc de deux variables, étant un 2-cocycle ramifié (i) vers un 1 - cocycle unitaire et (ii) vers un 1- cocycle non unitaire.(i) Pour 1 et 2 réels, l'état est réel et les automorphismes
(x)
obéissent à la structure de groupe :(x) = e
- Hx e
H (4.23) En posant = e-H, l'on retrouve les automorphismes “Lorentziens” à temps réel(x) = e
i Hx e
- i H soit, sous intégration :Chapitre 4. Espace-Temps KMS et Double Signature
---(x) =
1(x) + i
n n 1dt
1 0 1dt
2...
0 t1d t
n[
tn( ),[...[
t 1( )
0 t n - 1,
t(x)]]]
avec la relation de cocycle mise en évidence par O. Bratelli et D. Robinson [105] :
(x) = (x)
*étant une famille d'unitaires à un paramètre telle que :
=
1+ i
n n 1dt
1 0 1dt
2...
0 t1d t
n t n( ) ...
t 1( )
0 t n - 1 = 1+ i
n n 1dt
1 0 1dt
2...
0 t1d t
n t 1( ) ...
t n( )
0 t n - 1 (4.24)qui satisfait la relation de cocycle t + s t t s.
(ii) Pour 1 et 2 , imaginaires purs, l'équ. (4.23) est à valeur dans les automorphismes de semi-groupe :
(x) =
-x ,
imx W
d'où nous tirons, avec = i ß :
i ß
e
ß ( H + )e
ß H (4.25)qui représente l'extension analytique du cocycle reliant
et
au point i ß . Cette identification résulte de la cyclicité de la trace. Nous avons donc le 1 - cocyle “euclidien” :i ß = 1
( 1)
nds
1 0 ß n 1ds
2 0 s1... ds
n isn( )...
0 sn -1 is1( )
(4.26) l'état prenant la forme :(x) = ((
iß / 2)* x (
iß / 2))
((
iß / 2) * (
iß / 2))
(4.27)donnant un état KMS “euclidien”. La limite imaginaire pure correspond au bord imaginaire pur de la bande KMS (re = 0) et au flot euclidien dilatant l'espace des “pseudo-observables”, dual de l'espace des observables et que nous appelons "espace des états". Le 2-cocycle holomorphe
,
(x) = u
,(x)u
*x W
relie donc les deux 1-cocycles de (i) et (ii) et, par conséquent, les deux familles d'états correspondantes et , avec l'état réel) et l'état imaginaire pur) .
L'existence d'un état induit donc celle d'un flot modulaire, flot dont A. Connes a montré, à partir du théorème de Radon-Nikodym, qu'il s'agît d'une propriété intrinsèque de l'algèbre, modulo les automorphismes intérieurs Int M de cette algèbre. Un nouveau problême consiste maintenant à voir dans quelle mesure l'automorphisme t(
x
) est indépendant de l'état ou de tout autre état. C' est précisément le cas pour les automorphismes liés aux facteurs deChapitre 4. Espace-Temps KMS et Double Signature
---type III, ceux-là même qui interviennent dans tout état KMS. A partir d'un facteur de ---type III, si l'on remplace le poids sur M par un poids , on ne modifie le groupe a un paramètre t (
x
) que par un automorphisme intérieur de M. Rappelons qu'un automorphisme ntérieur est dit intérieur s'il existe un élément unitaire U dans M tel que :intérieur = U A U
Autrement dit, il existe un homomorphisme canonique Out(M) de l'algèbre, indépendant du choix du poids - i.e. de l'état - , exprimé comme quotient des automorphismes Aut(M) de M par le sous-groupe normal Int(M) des automorphismes intérieurs (
x
) = ux
u*x
:: Out M = Aut M / Int M (4.28)
Ce remarquable résultat obtenu par A. Connes est à l'origine de sa classification des facteurs de type III , algèbres dont le centre Z(M) est réduit à et pour lesquelles 1. Or, comme il résulte de (4.28) que l'algèbre sous-jacente à la théorie possède une dynamique intrinsèque, l'interprétation profonde (mais naturelle) que proposent A. Connes et C. Rovelli [147] est d'identifer le flot modulaire au flot temporel physique dans un contexte généralement covariant. C'est ainsi la structure algébrique intrinsèque de l'algèbre de Von Neumann décrivant les observables qui implique l'existence et le comportement du flot temporel physique. Notre approche est identique, masi cette fois dans le cas du flot temporel imaginaire (ou "évolution Euclidienne).
4.4.6 - Evolution Euclidienne et flot des poids
Le fait que les automorphismes de l'algèbre des "pseudo-observables" cessent d'être stellaires pour t imaginaire pur (correspondant aux automorphismes de semi-groupe) implique la disparition de la notion d'évolution quantique et oblige à certaines précautions sur le spectre de H. Mais plus profondément, en temps imaginaire pur, la notion d'état (i.e. borné) du système induit par l'algèbre de Von Neumann W * nous paraît devoir être étendue vers le poids de cette même algèbre, de sorte que le flot modulaire correspondant au temps réel peut être prolongé par le "flot des poids" - au sens fixé par A. Connes [140], F. Combes [137] et M. Takesaki [483] - de l'algèbre décrivant la pseudo-évolution du système - i.e. de la métrique - en temps imaginaire.
4.4.7 Flot des poids