Symétrie et Brisure de Symétrie dans quelques Problèmes Elliptiques

(1)

FACULTÉ DES SCIENCES

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

Olaf Torné

Thèse examinée par le Jury composé de :

Luis Caffarelli Isabelle Catto Mabel Cuesta Paul Godin

Jean-Pierre Gossez (président du Jury) Enrique Lami Dozo (promoteur) Michel Willem

University of Texas at Austin, USA Université de Paris IX – Dauphine, France Université du Littoral, France

Université Libre de Bruxelles Université Libre de Bruxelles Université Libre de Bruxelles Université Catholique de Louvain

ANNÉE ACADÉMIQUE 2004-2005

(2)

(3)

C’est un grand plaisir de très chaleureusement remercier Enrique Lami Dozo d’avoir encadré ce travail de recherche. Je suis très heureux d’avoir bénéficié tant de ses compétences de mathématicien que de ses qualités humaines. Je lui serai toujours fort reconnaissant de m’avoir offert l’inestimable opportunité d’accéder au monde de la recherche.

Les travaux contenus dans le chapitre 5 furent réalisés durant le dernier trimestre 2004 dans le cadre d’un groupe de travail dirigé par Michel Willem. Je témoigne de ma reconnaissance envers ce dernier pour avoir suggéré les problèmes considérés au chapitre 5 et d’avoir appuyé avec intérêt le développement de ces travaux.

J’ai l’honneur de remercier les professeurs Paul Godin et Jean-Pierre Gossez de m’avoir accueilli dans le service d’analyse de l’ULB et, en particulier, je remercie ce dernier de s’être toujours intéressé à mes travaux.

Les travaux du chapitre 4 ont bénéficié de plusieurs discussions avec Paul Sintzoff, Nicolas Tacheny et Christophe Troestler.

Je suis reconnaissant envers mes parents, Linda Keep et Jean Torné, de s’être toujours préoccupés de mon éducation et de m’avoir transmis le goût d’apprendre. Je rends grâce à ma mère d’avoir rendu possible la poursuite de mes études.

Je remercie Arianne Torné de m’avoir aidé à mettre en forme certaines parties du document.

Enfin, c’est un très grand honneur de remercier les membres du Jury d’avoir accepté d’examiner ce travail.

(4)

1 Introduction 5

1.1 Introduction (en fran¸cais) . . . . 5

1.2 Summary (in English) . . . . 6

1.2.1 Trace constant in a ball . . . . 6

1.2.2 Successful generalisations . . . . 8

1.2.3 A model superlinear elliptic equation . . . . 8

1.2.4 Numerical computations for nodal solutions . . . . 9

I Minimiseurs dans l’in´egalit´e de trace de Sobolev 11 2 Minimiseurs pour la constante de trace dans une boule 13 2.1 Introduction . . . . 13

2.2 Minimiseurs radiaux . . . . 15

2.3 Minimiseurs nonradiaux . . . . 17

2.4 Le casN = 1 . . . . 19

3 Minimiseurs pour la constante de trace dans une boule avec p= 2 27 3.1 Introduction . . . . 27

3.2 Minimiseurs radiaux . . . . 30

3.3 Minimiseurs nonradiaux . . . . 35

3.4 Le casN = 1 . . . . 37

3.5 Calculs num´eriques dans le casN = 2 . . . . 38

3.5.1 M´ethode num´erique . . . . 38

3.5.2 Exemples num´eriques . . . . 40

4 Minimiseurs pour la constante de trace dans d’autres domaines 47 4.1 R´esultats analytiques . . . . 47

4.2 Exemples num´eriques . . . . 49

II Solutions nodales d’équations semilinéaires elliptiques 53 5 Caractère nonradial des solutions à énergie minimale 55 5.1 Introduction . . . . 55

5.2 D´emonstration du r´esultat principal . . . . 56

5.3 Le probl`eme de Neumann . . . . 60

5.4 Calculs num´eriques en dimensionN = 2 . . . . 61

5.5 Calculs num´eriques en dimensionN = 3 . . . . 63

6 Etude num´erique de la meilleure constante de Poincar´e-Wirtinger 65 6.1 Introduction . . . . 65

6.2 Exemples num´eriques . . . . 66

(5)

A Symétrie foliée de Schwarz 69 B Résultats connus sur la symétrie des minimiseurs 71 C Résultats connus sur la constante de trace critique 73

(6)

Introduction

1.1 Introduction (en fran¸cais)

La première partie de ce travail concerne les propriétés de symétrie de minimiseurs dans la ca- ractérisation variationnelle de la meilleure constante de trace, dans des domaines symétriques.

SoitBρ la boule de rayonρcentrée à l’origine dansR^N avecN ≥2. Soit 1< p <∞fixé et soit 1< q≤p_∗ oùp_∗ est l’exposant critique de trace. La meilleure constante de trace de Sobolev est donnée par

Sq(ρ) = inf

u∈W^1,p(B_ρ)

R

B_ρ|∇u|^p+|u|^pdx R

∂B_ρ|u|^qdσ^p/q . (1.1)

Si 1< q < p_∗ il est standard de montrer que cet infimum est atteint par une fonctionude signe constant et que tout multiple deuest aussi un minimiseur.

Puisque le probl`eme de minimisation (1.1) est invariant par rotation, il est naturel de se demander siuest une fonction radiale.

Le caractère radial ou nonradial d’un minimiseur est déterminé par les paramètres ρet q. Dans le chapitre 2 nous montrons que siqest suffisamment petit, alors tout minimiseur pourSq(ρ) est radial, tandis que siqest suffisamment grand, ou bien siρest suffisamment grand, alors il n’existe aucun minimiseur radial pourSq(ρ). Un des résultats principaux du chapitre 2 est une estimation quantitative de la valeur seuil deqau-delà de laquelle aucun minimiseur n’est radial.

Dans le chapitre 3 nous étudions le caractère radial ou nonradial des minimiseurs pourSq(ρ) dans le cas particulier où p= 2. Sous cette hypothèse nous pouvons améliorer sensiblement plusieurs des résultats obtenus dans le cas général 1< p <∞.

LorsqueBρ est rempla¸cé par un domaine symétrique Ω, nous pouvons de nouveau nous demander si les minimiseurs pour la meilleure constante de trace,Sq(Ω), possèdent toutes les propriétés de symétrie de Ω. Cette question est abordée dans le chapitre 4, où nous présentons des conditions suffisantes pour que tout minimiseur pourSq(Ω) possède les mêmes symétries que Ω.

(7)

Dans la deuxième partie de ce travail nous considérons les propriétés de symétrie des solutions nodales minimales de quelques problèmes semilinéaires elliptiques.

Dans le chapitre 5 nous considérons l’équation −∆u = u^p−1₊ −u^q−1₋ dans un disque, avec une condition aux limites homogène de Dirichlet ou de Neumann. Nous démontrons une condition suffisante sur les paramètres 2 < p, q < 2^∗ pour qu’aucune solution nodale minimale ne soit radiale.

Dans le chapitre 6 nous présentons une étude numérique des minimiseurs pour la meilleure constante de Poincaré-Wirtinger dans un disque. Nos résultats numériques montrent qu’un tel minimiseur peut être soit impair, soit non impair, selon la valeur d’un paramètre de ce problème.

Dans ce travail nous avons, de manière générale, commencé par faire une étude analytique la plus complète possible des problèmes considérés. Cependant, lorsqu’il nous a été impossible de progres- ser de manière rigoureuse, nous avons systématiquement eu recours à des méthodes numériques.

Ainsi, nous espérons que les nombreux graphiques et données quantitatives que nous présentons aideront le lecteur à développer une certaine intuition des problèmes en question et que ces calculs pourront le convaincre de la probable véracité de certaines affirmations que nous n’avons pas pu

´

etablir de mani`ere rigoureuse.

1.2 Summary (in English)

1.2.1 Trace constant in a ball

LetBρ denote the ball of radiusρ >0 centered at the origin inR^N withN ≥2. Let 1< q≤2_∗ where 2_∗is the critical trace exponent. The best constant in the Sobolev trace inequality is given by

S_q(ρ) = inf

u∈H¹(Bρ)

R

B_ρ|∇u|²+u²dx R

∂B_ρ|u|^qdσ^2/q. (1.2)

If 1< q ≤2^∗ this infimum is achieved by a function uwhich has definite sign and any nonzero multiple of uis again a minimiser. The proof that the minimum is achieved is standard in the subcritical case and follows from [1] in the critical case (see Annexe C).

Letu >0 be a minimiser for (1.2). Since the minimisation problem is invariant under any rotation it is natural to ask ifuis a radial function.

Ifq= 2 then S₂(ρ) =λ₁(ρ) is the first eigenvalue in the Steklov type problem ∆u=u inB_ρ,

∂u

∂ν =λu on∂Bρ. (1.3)

There exists an eigenfunctionu₀associated to λ₁(ρ) which is unique upto a constant factor. Any minimiser forS₂(ρ) is a multiple ofu₀.

Letq6= 2 and letube a minimiser forS_q(ρ). We can assume thatuis positive and normalised in such a way that

Sq(ρ)R

∂B_ρu^qdσ²_q−1

= 1. (1.4)

(8)

The functionuis then a solution of the boundary value problem







∆u=u inBρ, u >0 in Bρ,

∂u

∂ν =u^q−1 on∂B_ρ.

(1.5)

Our first result gives some sufficient conditions for there to exist a radial minimiser for (1.2).

Theorem 1.

1. Let 1 < q < 2 be fixed. Then any solution of (1.5) is a multiple of u0. In particular, any minimiser forS_q(ρ)is a multiple ofu₀.

2. Letρ >0 be fixed. There existsδ(ρ)>0 such that if 1< q <2 +δ then any minimiser for Sq(ρ)is a multiple ofu0.

3. Let 2 < q ≤2∗ be fixed. There exists ε(q) such that if 0 < ρ < ε then any minimiser for Sq(ρ)is a multiple ofu0.

The authors of [13] partially obtained statements 1 and 3 above. However following their ideas we were able to obtain the slightly stronger results stated in the theorem. For further details, theorem 1 above should be compared with theorem 30 in Annexe B. Lastly, let us note that statement 2 above is completely new.

In some cases we can show that there does not exist a radial minimiser forSq(ρ). Define Q(ρ) = 1 + 1

λ1(ρ)²

1−(N−1)λ₁(ρ) ρ

.

Theorem 2.

1. Letρ >0 be fixed. Ifq > Q(ρ)then there does not exist a radial minimiser for S_q(ρ).

2. Let 2< q≤2_∗ be fixed. If ρ >0 is large enough, thenq > Q(ρ) and there does not exist a radial minimiser for Sq(ρ).

As noted in [13] the loss of radial symmetry in large balls can be deduced from the results of [10] who have studied the asymptotic behavior of minimisers for the trace constant in expanding smooth domains. Our proof of loss of radial symmetry for large balls is different since it is based on an analysis of the function Q(ρ). Although this approach is restricted to the case of the ball, it nevertheless has a number of advantages : It is simpler and can easily be extended to the case whereH¹ is replaced byW^1,p. Moreover, it yields an estimate for the threshold value ofρleading to a loss of radial symmetry.

In the caseN = 1 we define a minimisation problem analogous to (1.2) and replace the notion of radial function by that of even function. We can then show that Q(ρ) is the exact threshold for loss of radial symmetry. More precisely, if 1< q ≤Q(ρ) then any minimiser is a multiple of u0, whereas ifQ(ρ)< q <∞then there does not exist an even minimiser.

In the caseN = 2 we have verified numerically thatQ(ρ) is the exact threshold for loss of radial symmetry, for a large sample of values ofρ. The method reduces to computing an approximation ofSq(ρ) for prescribed values ofqandρ. This is achieved by discretisingH¹(Bρ) and solving the resulting finite dimensional minimisation problem.

(9)

1.2.2 Successful generalisations

Let us fix 1< p <∞and consider the more general trace constant Sq(ρ) = inf

u∈W^1,p(B_ρ)

R

Bρ|∇u|^p+|u|^pdx R

∂Bρ|u|^qdσp/q ,

where 1< q < p_∗ andp_∗ is the critical trace exponent. In this case we can obtain an analogous result to the first statement of theorem 1. We also prove a similar result to theorem 2.

Next we introduce a new parameterλsatisfying−∞< λ < λ1(ρ) and consider the minimisation problem

S_q^λ(ρ) = inf

v∈H¹(Bρ)

R

Bρ|∇v|²+v²dx−λR

∂Bρv²dσ R

∂B_ρ|v|^qdσ^2/q .

We obtain analogous results to theorems 1 and 2 and, moreover, we show that λplays a similar role toq andρin determining whether or not a minimiser is radial.

Lastly, let Ω be a bounded domain with a Lipschitz continuous boundary and consider the problem Sq(µΩ) = inf

v∈H¹(µΩ)

R

µΩ|∇v|²+v²dx R

∂µΩ|v|^qdσ^2/q,

where µ > 0 is an expansion/contraction parameter. Assuming that Ω has certain symmetries, we are interested in studying to what extent these symmetries are reflected in the minimisers for S_q(µΩ). With respect to symmetry, we obtain an analogous result to theorem 1 above. With respect to loss of symmetry, we present some numerical examples which show that ifqorµis sufficiently large then a minimiser forS_q(µΩ) does not necessarily enjoy all of the symmetry properties of Ω.

1.2.3 A model superlinear elliptic equation

Let B denote the unit ball in R^N with N ≥ 2. Let 2 < q < 2^∗, where 2^∗ is the usual critical Sobolev exponent, and consider

−∆u=|u|^q−2u inB,

u= 0 on∂B. (1.6)

We are interested in sign changing solutions of (1.6). Define the functional ϕ(u) = 1

2 Z

B

|∇u|²dx−1 q Z

B

|u|^qdx, (1.7)

and the nodal Nehari set M=

u∈H₀¹(B) ; u_± 6= 0,hϕ⁰(u_±), u_±i= 0 .

It is shown in [4] thatϕ achieves it’s minimum overM and that any minimiser is a solution of (1.6). Such a solution is called a minimal nodal solution.

Letube a minimal nodal solution of (1.6). It is shown in [4] thatuhas foliated Schwarz symmetry and it has been conjectured that umust be odd. To our knowledge this conjecture remains open and it has been suggested that one should prove the weaker claim that u is nonradial. In this direction we have the following result.

(10)

Theorem 3. If qis sufficiently near to 2 then any minimal nodal solution of (1.6)is nonradial.

Let us remark that in this work we consider the more general equation−∆u=u^p−1₊ −u^q−1₋ and we also consider the case of the homogeneous Neumann boundary condition.

1.2.4 Numerical computations for nodal solutions

In the case N = 2 a number of authors have obtained numerical solutions of problem (1.6). We also carried out such computations and found that the minimal nodal solutions are odd functions.

In the caseN= 3 we have obtained numerical results which suggest that theorem 3 holds for the whole range 2< q <2^∗, and not merely forqnear to 2.

The results above are related to the conjecture that minimal nodal solutions of (1.6) are odd functions. Now let us give an example of a different problem involving sign-changing solutions, but for which numerical computations suggest that the solution is not odd.

Let B denote the unit ball in R^N with N ≥ 1 and let 1 < q < 2^∗. The best constant in the Poincar´e-Wirtinger inequality is given by

Wq = inf Z

B

|∇u|²dx;u∈H¹(B), Z

B

|u|^qdx= 1, Z

B

u dx= 0

. (1.8)

If q = 2 then W2 = ν2 is the second Neumann eigenvalue and a minimiser u for W2 is an eigenfunction associated to ν₂. It is well known that uis an odd function. A natural question is whether a minimiser forW_q is odd whenq6= 2.

This problem has received considerable attention in the caseN = 1. It is shown that if 1< q≤5 then any minimiser is odd, whereas if 6< q <∞then there is no odd minimiser. The most complete statement in this direction can be found in [14] in the more general setting where H¹(−1,1) is replaced byW^1,p(−1,1).

We investigate this problem numerically in the case N = 2 and observe a similar effect to the one-dimensional case. We compute the threshold for loss of oddness to beq= 4 or thereabouts.

(11)

(12)

Minimiseurs dans l’in´egalit´e de trace de Sobolev

(13)

(14)

Minimiseurs pour la constante de trace dans une boule

2.1 Introduction

SoitBρ la boule de rayonρcentrée à l’origine dansR^N avecN ≥2. Soit 1< p <∞fixé et notons p∗ l’exposant critique de trace défini parp∗ =p(N−1)/(N−p) si p < N et p∗ =∞ sip≥N.

Soit 1< q≤p_∗. L’inégalité de trace affirme qu’il existe une constante C dépendant deq et deρ telle que

C Z

∂Bρ

|u|^qdσ

!p/q

≤ Z

Bρ

|∇u|^p+|u|^pdx ∀u∈W^1,p(Bρ). (2.1) La meilleure constante est donn´ee par

Sq(ρ) = inf

u∈W^1,p(B_ρ)

R

B_ρ|∇u|^p+|u|^pdx R

∂Bρ|u|^qdσ^p/q . (2.2)

Si 1< q < p∗ il est standard de montrer que cet infimum est atteint par une fonctionude signe constant et que tout multiple deuest aussi un minimiseur.

Siq=palorsSp(ρ) =λ1(ρ) est la premi`ere valeur propre dans le probl`eme de type Steklov ∆pu=|u|^p−2u dansBρ,

|∇u|^p−2^∂u_∂ν =λ|u|^p−2u sur∂B_ρ. (2.3) Tout minimiseur pour S_p(ρ) est une fonction propre associée à λ₁(ρ) et réciproquement toute fonction propre non nulle associée àλ1(ρ) est un minimiseur pourSp(ρ). De plus, il est démontré dans [16] que la première valeur propre λ1(ρ) est simple. Notons u0 la fonction propre associée, normalisée pour que u0(0) = 1. Puisqueu0 est unique et que le problème (2.2) est invariant par rotation, il est clair que c’est une fonction radiale.

Siq6=palors nous pouvons supposer queuest positive et normalis´ee de sorte que Sq(ρ)

Z

∂B_ρ

u^qdσ

!^p_q−1

= 1. (2.4)

(15)

La fonctionuest alors une solution du probl`eme aux limites







∆pu=u^p−1 in Bρ, u >0 inBρ,

|∇u|^p−2^∂u_∂ν =u^q−1 on∂B_ρ.

(2.5)

Etant donné les symétries du problème de minimisation (2.2), il est naturel de se demander siuest une fonction radiale. Dans le cas oùp= 2 etN ≥2 certains résultats ont été obtenus par M. del Pino et C. Florès dans [10] ainsi que par J. Fernandez Bonder, E. Lami Dozo et J. Rossi dans [13].

L’annexe C contient un exposé de ces résultats. Dans ce travail nous avons considéré la question du caractère radial des minimiseurs pourSq(ρ) dans le cadre général où 1< p <+∞. Nous avons

´

etendu certaines des affirmations connues pour le casp= 2, et nous donnons de nouvelles preuves pour certaines d’entre elles. Nous proposons également des résultats qui sont nouveaux même dans le cas p = 2. Notons aussi que le chapitre 3 est entièrement consacré au cas p = 2 et contient

´

egalement plusieurs r´esultats originaux.

Théorème 4. Soientρ >0et 1< p <+∞fixés.

1. S’il existe un minimiseur radial pourSq(ρ) alors c’est un multiple deu0.

2. Supposons qu’il existe un minimiseur radial pourS_q₀(ρ). Alors tout minimiseur pour S_q(ρ), avec 1< q < q₀, est un multiple deu₀.

3. Si1< q < p alors la solution de (2.5)est unique et c’est un multiple de u0. En particulier, tout minimiseur pour Sq(ρ)est un multiple deu0.

La deuxième et la troisième affirmation du théorème 4 sont partiellement connues dans le cas p= 2. En effet, dans [13] il est prouvé que siq≤q0 ou siq≤p= 2 alors il existe un minimiseur radial pour S_q(ρ). La deuxième affirmation du théorème 4 dit que, dans ce cas, tout minimiseur est radial et, de plus, ce minimiseur est donné par un multiple d’une fonction fixéeu₀. De plus, il y a unicité dans le problème aux limites associé lorsque 1< q < p.

Dans certaines conditions la sym´etrie radiale se perd siqouρsont suffisamment grands. D´efinissons la fonctionρ7→Q(ρ) par

Q(ρ) = 1 + 1 λ₁(ρ)^p/(p−1)

1−(N−1)λ1(ρ) ρ

. (2.6)

Théorème 5. Soit1< p <+∞fixé.

1. Soitρ >0. Si Q(ρ)< q≤p_∗ alors il n’existe aucun minimiseur radial pourS_q(ρ).

2. Soit p < q≤p_∗. Il existeR(q) tel que pour tout ρ > R(q) on a q > Q(ρ). Dans ce cas, il n’existe aucun minimiseur radial pourSq(ρ).

La première affirmation du théorème 5 est nouvelle même dans le cas p = 2. De plus, bien qu’il existe plusieurs études sur la brisure de symétrie dans les problèmes variationnels, il est inhabituel d’avoir des résultats quantitatifs en dimension supérieure comme la première affirmation du théorème 5. La deuxième affirmation du théorème 5 est nouvelle dans le casp6= 2. Cependant la brisure de symétrie dans les grandes boules découle de [10] dans le cas p = 2. Ces auteurs considèrent le cadre plus général d’un domaine régulier subissant une dilatation et ils montrent que tout minimiseur présente un pique en un point de la frontière lorsque le paramètre gouvernant la dilatation est suffisamment grand.

Si ρest suffisamment petit alorsQ(ρ)> p_∗ et la première affirmation du théorème ne s’applique pas. Ceci est en accord avec le résultat de [13] qui dit que lorsquep= 2 etN ≥3 il existeR >0 tel que pour tout 0 < ρ < R et pour tout 2< q ≤2^∗, tout minimiseur est radial (voir aussi le théorème 16).

(16)

Lorsqu’un minimiseur associé à Sq(ρ) n’est pas radial, l’on peut tout de même affirmer une certaine symétrie. En effet, la technique de symétrisation foliée de Schwarz s’applique directement

`

a ce problème. En particulier nous retrouvons le résultat de del Pino et Flores concernant la concentration de la solution sur la frontière.

D’après ce qui précède on peut définir une fonction ˜Q(ρ) telle que

q≤Q(ρ)˜ ⇒ Tout minimiseur associ´e `a Sq(ρ) est un multiple deu0

q >Q(ρ)˜ ⇒ Il n’existe aucun minimiseur radial pourSq(ρ)

(2.7)

Il est clair que p ≤Q(ρ)˜ ≤ Q(ρ) et il est naturel de se demander si ˜Q(ρ) = Q(ρ). En d’autres termes, nous demandons si la réciproque de la première affirmation du théorème 5 est vraie. Cette question reste sans réponse à ce jour, mais nous pouvons démontrer les propriétés suivantes :

1. SiN = 1 etp= 2 alors ˜Q=Q.

2. SiN = 2 etp= 2 alors lim

ρ→0

Q(ρ) = lim˜

ρ→0Q(ρ).

3. Pour toutN etpnous avons lim

ρ→+∞

Q(ρ) =˜ lim

ρ→+∞Q(ρ) =p.

Dans la section 2.3 nous étudions en plus de détail Q(ρ) et nous démontrons les affirmations (2) et (3) ci-dessus. Nous décrivons aussi une méthode numérique pour calculerQ(ρ). Des exemples de tracés deQ(ρ) sont donnés plus loin dans les figures 3.1 et 3.2. L’affirmation (1) ci-dessus est démontré au chapitre 3 et nous y présentons aussi des résultats numériques confirmant queQ= ˜Q lorsqueN = 2 etp= 2.

Dans le cas de la dimension N = 1 nous pouvons définir un problème de minimisation ana- logue au problème (2.2) et obtenir des résultats similaires au théorèmes 4 et 5 concernant les propriétés de symétrie des minimiseurs. Dans deux cas particuliers, dont celui où p = 2, nous pouvons démontrer que ˜Q=Q. En dehors de ces cas particuliers nous présentons deux techniques numériques différentes permettant de vérifier que Q(ρ) est optimal.

2.2 Minimiseurs radiaux

Dans cette section nous démontrons le théorème 4 ainsi que la proposition suivante, utile dans la suite.

Proposition 6. Soient N ≥2 et 1 < p <∞ fix´es. Il existe une fonction positive et radialeu0

telle que

∆pu0=u^p−1₀ dansR^N.

De plus u0 est unique à un facteur constant près et pour toutρ >0 la restriction de u0 àBρ est la première fonction propre du problème (2.3).

Démonstration. Nous construisonsu0telle queu0(0) = 1. Soitα >0 et soitBαla boule de rayonα centrée à l’origine. Soitu_αune solution du problème de Dirichlet ∆_pu_α=u^p−1_α dansB_αetu_α≡1 sur∂B_α. Cette fonction u_α est unique par la théorie de régularité et le principe de comparaison (voir [15] et [9]). Pour toutα > 0 nous définissons la restriction deu₀ à B_α par u₀ = _uû^α

α(0). En utilisant le principe de comparaison comme ci-dessus l’on peut vérifier que u0 est bien défini et possède les propriétés anoncées.

(17)

Démonstration du théorème 4. Première affirmation. Soit un minimiseur radialvpourSq(ρ). Soit u₀ comme dans la proposition 6 et fixonsa >0 tel quev ≡au₀ sur∂B_ρ. Les fonctions v et au₀ satisfont toutes les deux l’équation ∆_pw=w^p−1 dansB_ρ, donc v≡au₀ dansB_ρ par le principe de comparaison de Damascelli [9].

Deuxième affirmation. Soit 1< q < q₀et soitvun minimiseur non négatif pourS_q(ρ). Il s’agit de montrer quevest un multiple deu₀. Sivest constant sur∂B_ρalorsv est un multiple deu₀ par le même argument que ci-dessus. Supposons maintenant que v n’est pas constante sur la frontière.

Pour simplifier on noteB=B_ρ. Il découle de l’inégalité de Hölder stricte que Z

∂B

v^qdσ ^p/q

<|∂B|^p^q⁻^q^p⁰ Z

∂B

v^q⁰dσ ^p/q0

.

Maintenant, par hypothèse il existe un minimiseur radial pour Sq₀(ρ). Donc d’après la première affirmation de ce théorème,u0 est un minimiseur pourSq₀(ρ). En utilisant l’équation précédente nous obtenons la contradiction suivante,

kvk^p_W1,p

R

∂Bv^q⁰dσ^p/q0 < |∂B|^p^q⁻^q^p⁰ kvk^p_W1,p

R

∂Bv^qdσ^p/q

= R

∂Bu^qdσ^p/q R

∂Bu^q⁰dσp/q0

kvk^p_W1,p

R

∂Bv^qdσp/q

≤ kuk^p_W1,p

R

∂Bu^q⁰dσp/q0,

où la dernière inégalité découle de ce que v est un minimiseur pourSq(ρ). Donc tout minimiseur v pourSq(ρ) est radial. Par la première affirmation de ce théorèmevest un multiple de u0. Troisième affirmation. Soit 1 < q < p et supposons qu’il existe deux solutions u et v de (2.5).

Par le résultat de régularité de [15] et le principe du maximum de [20] on au, v >0 dans ¯Bρ. En utilisant d’abord l’identité de Picone (voir [2]) puis la formulation faible de (2.5) nous avons

0 ≤

Z

Bρ

|∇u|^pdx− Z

Bρ

|∇v|^p−2∇v∇

u^p v^p−1

dx

= −

Z

B_ρ

u^pdx+ Z

∂B_ρ

u^qdσ+ Z

B_ρ

v^p−1 u^p v^p−1dx−

Z

∂B_ρ

v^q−1 u^p v^p−1dσ

= Z

∂B_ρ

u^qdσ− Z

∂B_ρ

v^q−pu^pdσ

= Z

∂B_ρ

u^p u^q−p−v^q−p dσ.

Il est clair que nous pouvons échanger uetv dans cette équation. En combinant l’inégalité ainsi obtenue avec l’inégalité ci-dessus nous obtenons

0≤ Z

∂B_ρ

(u^p−v^p) u^q−p−v^q−p dσ.

Puisque 1 ≤q < p, l’integrand ci-dessus est négatif ou nul et donc u≡v sur ∂B_ρ. Par l’unicité de la solution du problème de Dirichlet pour l’équation ∆_pw=w^p−1, nous avons u≡v dansB_ρ. Puisque cette solution est unique, elle est radiale. Cette solution est donc un multiple deu0 par la première affirmation du théorème.

(18)

2.3 Minimiseurs nonradiaux

Dans cette section nous démontrons le théorème 5 et nous décrivons quelques propriétés deλ₁(ρ) et deQ(ρ).

Lemme 7. Soitλ₁(ρ) =S_p(ρ)la première valeur propre du problème de type Steklov (2.3). Alors la fonctionρ7→λ₁(ρ)est solution de l’équation différentielle ordinaire

λ⁰₁= 1−(p−1)λ^p/(p−1)₁ −(N−1)λ₁

ρ (2.8)

avec la condition initiale λ₁(0) = 0.

Démonstration. Soit u0 comme avant, la fonction radiale telle que ∆pu0 = u^p−1₀ dans R^N et u0(0) = 1. Pour toutρ >0 la fonctionu0 restreinte àBρ est une fonction propre associée à λ1(ρ) (voir proposition 6). Par la condition aux limites satisfaite par une fonction propre l’on a

λ₁(ρ) =u⁰₀(ρ)^p−1

u0(ρ)^p−1 ∀ρ >0. (2.9) D’autre part, l’équation différentielle satisfaite paru0 s’écrit en coordonnées polaires,

ρ^N⁻¹|u⁰₀|^p−2u⁰₀0

=ρ^N−1u^p−1₀ ∀ρ >0. (2.10) En dérivant (2.9) par rapport àρet en utilisant (2.10) on obtient l’équation annoncée. Maintenant, en choisissantu≡1 comme fonction test dans (2.2) on obtient

λ₁(ρ)≡S_p(ρ)≤ B_ρ

∂Bρ

= ρ

N, (2.11)

doncλ1(ρ)→0 quandρ→0.

Remarquons que l’on peut résoudre numériquement l’équation (2.8) puis utiliser la formule (2.6) pour évaluerQ(ρ). Des exemples de tracés deQsont donnés dans les figures ... et ...

Lemme 8. Soitλ₁(ρ) =S_p(ρ)la premi`ere valeur propre du probl`eme de type Steklov (2.3). Alors la fonctionρ→λ₁(ρ)est strictement croissante et

ρ→∞lim λ1(ρ) = 1

p−1 ^p−1_p

.

Démonstration. Tout minimiseur pourS_p(ρ) est un multiple deu₀et est donc radial. Donc par la première affirmation du théorème 5, qui sera démontrée indépendamment du présent lemme, l’on a p≤Q(ρ) pour tout ρ >0. En utilisant (2.6) et (2.8) on a λ⁰₁(ρ) = (Q(ρ)−p)λ1(ρ)^p/(p−1) et doncλ⁰₁(ρ)>0 pour toutρ >0. Il découle alors de (2.8) que la fonctionλ1(ρ) est bornée par une constante positive. Par conséquentλ⁰₁(ρ)→0 quandρ→+∞. Donc lim_ρ→∞λ1(ρ)^p−1^p = _p−1¹ . Théorème 9. La courbeQ(ρ)définie par (2.6)possède le comportement asymptotique suivant :

ρ→0limQ(ρ) = +∞ et lim

ρ→+∞Q(ρ) =p.

Démonstration. Par les lemmes 7 et 8 nous avons lim_ρ→0λ1(ρ) = 0 et lim_ρ→∞λ1(ρ) = 1/(p− 1)^p−1^p . En utilisant ces propriétés dans la définition deQon obtient le comportement asymptotique annoncé.