Dans ce qui suit nous supposonsq=p. Par le th´eor`eme 24 nous avonsβh< βradsipest suffisament proche de 2. Il est naturel de se demander siβh< βradpour tout 2< p <2∗. Nous v´erifions cette affirmation num´eriquement en dimensionN = 3.
D’abord nous obtenons une approximation deβrad. Soita >0 et soituaune solution du probl`eme de Cauchy
−u00(r) = N−r1u0(r) +|u(r)|p−2u(r) sur ]0,1[ u(0) =a
u0(0) = 0
Nous pouvons d´eterminerapour que ua poss`ede exactement deux domaines nodaux et pour que ua(1) = 0. Sivest un minimiseur pourβradalorsua etvsont deux solutions radiales du probl`eme aux limites (5.1) poss´edant exactement deux domaines nodaux. Par le r´esultat d’unicit´e de [18] nous avonsua≡v. Nous pouvons donc calculerβrad=ϕ(ua).
Une borne sup´erieure pour βh est donn´ee par ˜β = ϕ(f) pour tout choix de f ∈ Mh. Lorsque 2< p≤4.5 nous prenonsfcomme ´etant une deuxi`eme fonction propre du Laplacien avec condition de Dirichlet homog`ene. Lorsque 4.5< p <2∗= 6, soitλ >0 et posons
(
v(|x|) = λ+|x|2−1/2
−(λ+ 1/4)−1/2 pour 0<|x|<1/2 v(|x|) = 0 pour |x|>1/2 .
Nous pouvons translater v pour que son support soit dans B+ et prendre f comme ´etant un multiple convenable de l’extension impaire de v `a B. Le tableau 5.1 contient des donn´ees qui indiquent queβh<β < β˜ radpour un large ´echantillon de valeurs de p. Pour calculer ˜β dans les trois derni`eres colonnes nous avons choisi λ= 10−2, 10−3et 10−5 respectivement.
p 2.5 3.5 4.5 5.5 5.7 5.9
βrad 1.2 e 7 912.4 96.54 21.97 15.98 11.03 ˜
β 5.1 e 5 313.2 73.63 17.61 12.61 9.898 Tab.5.1 –βradet ˜β avecN= 3.
Etude num´erique de la meilleure
constante de Poincar´e-Wirtinger
6.1 Introduction
Soit B la boule unit´e dans RN avec N ≥ 1. Soit 1 < q < 2∗ o`u 2∗ est l’exposant critique de Sobolev usuel. La meilleure constante dans l’in´egalit´e de Poincar´e-Wirtinger est d´efinie par
Wq = inf Z B |∇u|2dx;u∈H1(B), Z B |u|qdx= 1, Z B u dx= 0 . (6.1) L’infimum est atteint par une fonctionuqui est solution du probl`eme aux limites
−∆u=Wq|u|q−2u+η dansB, ∂u
∂n = 0 on∂B, (6.2)
o`u η est un multiplicateur de Lagrange. Notons que si u est impair alors η = 0. Nous sommes int´eress´es par ´etudier num´eriquement les propri´et´es de sym´etrie deu, et en particulier son ´eventuel caract`ere impair.
Siq= 2 alorsW2=ν2 est la deuxi`eme valeur propre du Laplacien avec la condition de Neumann homog`ene. Tout minimiseur pour W2 est une fonction propre associ´ee `a ν2 et, r´eciproquement, toute fonction propre associ´ee `a ν2, qui est normalis´ee convenablement, est un minimiseur pour W2. De plus, siuest un minimiseur pourW2 alors c’est une fonction impaire etη= 0 dans (6.2). Dans le cas N = 1 plusieurs auteurs on ´etudi´e les propri´et´es de sym´etrie des minimisers pour Wq dans le cadre plus g´en´eral o`u H1(−1,1) est remplac´e parW1,p(−1,1) avec 1< p <∞. Dans le cas W1,2(−1,1) =H1(−1,1) consid´er´e ici, les r´esultats suivants sont connus . Dans [14] il est d´emontr´e que tout minimiseur est impair si 1< q ≤5. Par contre dans [5] il est d´emontr´e qu’il n’existe aucun minimiseur impair si 6 < q < 2∗ = +∞. La situation pour 5 < q ≤ 6 semble ouverte.
Dans le casN= 2 nous avons calcul´e des minimiseurs pourWq et nous observons un ph´enom`ene de brisure de sym´etrie similaire `a celui qui existe lorsqueN = 1 : Lorsqueqest suffisamment petit, les minimiseurs que nous obtenons sont impairs, tandis que siqest suffisamment grand alors les minimiseurs obtenus ne sont pas impairs.
D´ecrivons bri`evement la m´ethode num´erique. PuisqueW2=ν2, il est naturel de discretiser (6.1) en remplacant H1(B) par un espace de dimension finie engendr´e par des fonctions propres du Laplacien avec une condition de Neumann homog`ene. Une base compl`ete de fonctions propres est donn´ee par
Jm jn,m0 r
cosmθ
sinmθ m= 0,1,2, . . .; n= 1,2, . . . (6.3) Dans cette base une fonction satisfait la seconde contrainte apparaissant dans (6.1) si et seulement si sa coordonn´ee correspondant `a la fonction propre triviale est nulle. Nous sommes alors en pr´esence d’un probl`eme de minimisation par rapport `a une seule contrainte. Nous avons calcul´e ce minimum `a l’aide d’une routine de la librairie Nag.
Remarquons enfin que ce probl`eme de minimisation sous contrainte peut ˆetre reformul´e de fa¸con `
a rentrer dans le cadre d’application de l’algorithme du mountain pass (MPA) introduit par Y. S. Choi et P. J. McKenna dans [7]. En effet, chercher un minimiseur de (6.1) est ´equivalent `a chercher un minimiseur pour le probl`eme
ω= inf u∈Nϕ(u) (6.4) o`u ϕ(u) =1 2 Z B |∇u|2dx−1 q Z ∂B |u|qdx, et o`u N = u∈H1(B); Z B u dx= 0,hϕ0(u), ui= 0
est la vari´et´e de Nehari correspondante. On peut appliquer le MPA `a (6.4).
6.2 Exemples num´eriques
Nos exp´eriences montrent que la valeur seuil de q au-dessus de laquelle les minimiseurs cessent d’ˆetre impairs est ´egale `a, ou proche de,q= 4. Dans le tableau 6.1 nous donnons une description quantitative de quelques minimiseurs et dans la figure 6.1 nous tra¸cons des exemples de graphes.
q Wq forme η max deu min deu (m,n) 2.0 ν2 impair 0 0.950 -0.950 / 3.0 4.144 impair 0 1.127 -1.127 (5,5) 3.5 4.286 impair 0 1.182 -1.182 (5,5) 4.0 4.34 impair 0 1.222 -1.222 (6,6) 4.1 4.34 non impair -0.39 1.41 -1.01 (10,4) 4.5 4.25 non impair -0.78 1.60 -0.732 (10,4) 5.0 4.06 non impair -0.87 1.65 -0.602 (10,4) 5.5 3.85 non impair -0.87 1.65 -0.53 (10,4)
Tab. 6.1 – Quelques minimiseurs pour Wq. La derni`ere colonne indique le nombre d’´el´ements utilis´es dans la discr´etisation.
Sym´etrie foli´ee de Schwarz
Dans cet annexe nous rappelons la d´efinition et certaines estimations standards pour la sym´etrisation foli´ee de Schwarz.
Soitr >0 et soitBrla boule de rayonrcentr´ee `a l’origine dansRN, avecN ≥2. SoitSN−1⊂RN la sph`ere unit´e et soit P ∈ SN−1 fix´e. La sym´etrisation AP d’un sous ensemble ferm´eA ⊂∂Br est d´efinie comme ´etant la boule g´eod´esique ferm´ee contenue dans∂Br et centr´ee enrP, telle que dσ(AP) =dσ(A). Ici dσd´enote la mesure usuelle sur∂Bρ.
Soituune fonction continue `a valeurs r´eels d´efinie dansB=B1. La sym´etrisation foli´ee de Schwarz deu, par rapport au pointP, est not´eeuP et est d´efinie par la condition
{uP ≥t} ∩∂Br= ({u≥t} ∩∂Br)P ∀0< r≤1,∀t∈R.
Siu=uP, alors l’on dit queuposs`ede la sym´etrie foli´ee de Schwarz par rapport au pointP. Une telle fonction ne d´epend que de deux variables : la variable radialer, et la coordonn´ee sph´erique θ correspondant `a la distance g´eod´esique au point P sur SN−1. De plus, si r >0 est fix´e alors θ7→u(r, θ) est non croissante sur l’intervalle ]0, π[.
SoientP etucomme ci-dessus et soit 1≤q <∞. Alors
kuPkLq(B)=kukLq(B)
et
kuPkLq(∂B)=kukLq(∂B). Si, de plus,uest de classeC1, alors
Z B |∇uP|qdx≤ Z B |∇u|qdx. (A.1)
Malheureusement aucun r´esultat g´en´eral concernant une ´eventuelle in´egalit´e stricte dans (A.1) ne semble ˆetre d´emontr´e `a ce jour. Cependant dans le cas particulier q = 2 nous avons le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 29 (Denzler [11]). SoientP etucomme ci-dessus. Supposons
Z B |∇uP|2dx= Z B |∇u|2dx.
Alors, pour tout 0< r <1,uP et ucoincident sur∂Br `a une rotation pr`es, qui peut d´ependre de r.
R´esultats connus concernant les propri´et´es de sym´etrie des
minimiseurs pour la constante de trace
Soit Ω un domaine born´e et r´egulier contenu dans RN avec N ≥ 2. Soit 1 < q ≤2∗ o`u 2∗ est l’exposant critique de trace d´efini par 2∗= 2(N−1)/(N−2), siN ≥3 et 2∗=∞, si N = 2. La meilleure constante dans l’in´egalit´e de trace est donn´ee par
Sq(Ω) = inf v∈H1(Ω) R Ω|∇v|2+v2dx R ∂Ω|v|qdσ2/q . (B.1)
Si 1< q <2∗ il est standard de montrer que cet infimum est atteint par une fonctionude signe constant et que tout multiple deuest aussi un minimiseur.
J. Fern´andez Bonder, E. Lami Dozo et J. D. Rossi ont ´etudi´e les propri´et´es de sym´etrie des minimiseurs pour (B.1) lorsque Ω =Bρ est la boule de rayonρ >0.
Th´eor`eme 30 (Fern´andez Bonder - Lami Dozo - Rossi [13]).
1. SupposonsN ≥2 et soit 1 < q ≤2. Alors pour tout ρ >0 il existe un minimiseur radial pour Sq(Bρ).
2. SupposonsN ≥2 et soit2< q <2∗. Alors il existeρ0(q)>0tel que pour tout0< ρ < ρ0, il existe un minimiseur radial pourSq(Bρ). De plus, ce minimiseur est unique `a une constante multiplicative pr`es. Dans le casN ≥3,ρ0 peut ˆetre choisi ind´ependamment deq.
3. SupposonsN≥3 et soitq= 2∗. Alors il existeρ0 tel que pour tout 0< ρ < ρ0, il existe un minimiseur radial pour Sq(Bρ).
La premi`ere affirmation d´ecoule du th´eor`eme 31 ci-dessous. La deuxi`eme affirmation est d´emontr´ee `
a l’aide du th´eor`eme des fonctions implicites. La preuve de la troisi`eme affirmation fait intervenir une borne inf´erieure pour le rayon critiqueρ0(q) apparaissant dans la deuxi`eme affirmation. Les auteurs de [13] ont ´egalement obtenu des informations concernant la d´ependence du caract`ere radial des minimiseurs en le param`etreq.
Th´eor`eme 31 (Fern´andez Bonder - Lami Dozo - Rossi [13]). Supposons qu’il existe un minimiseur radial u pour Sq0(Bρ) et soit 1 < q ≤q0. Alors il existe un minimiseur radial pour Sq(Bρ) qui, de plus, est un multiple de u. En particulier, pour tout 1 < q ≤ 2 il existe un minimiseur radial pour Sq(Bρ).
M. del Pino et C. Flor`es ont ´etudi´e les propri´et´es des minimiseurs deSq(µΩ) avec 2< q <2∗, o`u µΩ est une dilatation du domaine Ω gouvern´e par un param`etreµ→ ∞.
Th´eor`eme 32 (del Pino - Flor`es [10]). SoitΩ comme ci-dessus avecN ≥3. Soit2< q <2∗ et notons uµ un minimiseur pourSq(µΩ), normalis´e pour que kuµk= 1. Notons yµ un point o`u uµ atteint son maximum. Pour toute suiteµn → ∞il existe une suite partielle, encore not´eeµn, telle que
1. ∂Ω3µ−1
n yµn→x0 o`u x0∈∂Ωest un point o`u la courbure moyenne est maximale,
2. supy∈µΩ|uµn(y)−w(Q(y−yµ))| →0 o`u Q est une rotation fix´ee et w est un minimiseur pour la meilleure constante de trace critique dansRN+,
lorsquen→ ∞.
Soit uµ comme dans le th´eor`eme 32. On ram`ene uµ `a une fonction d´efinie dans Ω en posant vµ(x)≡ uµ(µ−1y). La deuxi`eme affirmation du th´eor`eme implique que vµ developpe un unique pique en un point de ∂Ω lorsqueµ est suffisament grand. Ce point est centr´e autour d’un point de∂Ω o`u la courbure moyenne est maximale.
Le th´eor`eme 32 peut conduire `a une perte de sym´etrie pour les minimiseurs de Sq(µΩ). Par exemple, si Ω =Bρ alors il n’existe aucun minimiseur radial d`es queρ >0 est suffisament grand.
R´esultats connus concernant
l’existence de minimiseurs pour la constante de trace critique
Soit Ω un domaine born´e deRN avecN ≥3 et supposons que∂Ω est Lipschitzien. Soit 1< q≤
2∗≡2(N−1)/(N−2) et consid´erons le probl`eme de minimisation Sqλ(Ω) = inf v∈H1(Ω) R Ω|∇v|2+v2dx−λR ∂Ωv2dσ R ∂Ω|v|qdσ2/q . (C.1) S’il existe un minimiseur v, il est standard de montrer que v est de signe constant et que tout multiple non nul devest encore un minimiseur. On peut supposer que le minimiseurv est positif, et il est alors solution du probl`eme aux limites
∆u=u dans Ω, u >0 dans Ω, ∂u ∂ν =λu+uq−1 sur∂Ω. (C.2)
Si 1< q < 2∗ alors l’injectionH1(Ω) ,→Lq(∂Ω) est compacte et il est standard de montrer que l’infimum (C.1) est atteint. Si q = 2∗ alors l’injection en question n’est pas compacte et l’exis-tence d’un minimiseur pour (C.1) est une question non triviale. Dans le cas λ= 0, J. Fernandez Bonder, E. Lami Dozo et J.D. Rossi ont obtenu, dans [13], des r´esultats partiels concernant l’exis-tence de minimiseurs dans le cas critique. Cependant, le r´esultat le plus complet est dˆu, `a notre connaissance, `a Adimurthi et Yadava, dans [1]. Ces auteurs introduisent la condition g´eom´etrique suivante : On dit que (gc) est satisfait au point x0 ∈ ∂Ω s’il existe un voisinage U(x0) tel que Ω∩U(x0) est contenu dans le demi-espace d´elimit´e par le plan tangent `a ∂Ω au point x0. Il s’agit donc d’un point o`u toutes les courbures principales sont positives. Maintenant, notonsS la meilleure constante de trace de Sobolev pour le demi-espace, soit
S= inf ( Z RN+ |∇u|2dx;u∈H1 RN+, Z RN−1 |u|2∗dx= 1 ) .
La valeur de S ainsi que la forme des minimiseurs ont ´et´e obtenues explicitement par Escobar dans [12] mais nous n’en avons pas besoin de ce qui suit. Le r´esultat suivant permet de d´emontrer l’existence de minimiseurs pour (C.1) dans certaines conditions.
Lemme 33 (Adimurthi-Yadava [1]). SoitΩun domaine born´e deRN avecN ≥3. Supposons ∂Ω∈C4 et notonsH la courbure moyenne du bord. Soit x0∈∂Ωun point v´erifiant la condition g´eom´etrique (gc)ci-dessus. Siλ >−H(x0)alorsSλ
2∗(Ω)< S. Soitλ1(Ω) =S0
2(Ω) la premi`ere valeur propre dans le probl`eme de type Steklov d´efini par
∆u=u dans Ω ∂u
∂ν =λu sur∂Ω . Si−∞< λ < λ1(Ω) alors la fonctionnelleJ, d´efinie par
J(v) = Z Ω |∇v|2+v2dx−λ Z ∂Ω v2dσ, est co´ercitive sur H1(Ω).
Le lemme 33 permet de d´emontrer l’existence de minimiseurs pour (C.1) avecq= 2∗en appliquant une m´ethode classique d´evelopp´ee par Yamabe, Aubin et Trudinger. En effet, supposons que
−∞ < λ < λ1(Ω) et que les hypoth`eses du lemme 33 sont satisfaites. Consid´erons une suite qi → 2∗ et ui une suite de minimiseurs pour Sλ
qi(Ω), normalis´es pour que kuikLqi(∂Ω) = 1. Si Sλ
2∗(Ω)< S, comme dans le lemme 33, alors on peut d´emontrer que la suiteui contient une suite partielle, encore not´eeui, telle queui→udansH1(Ω). La limiteuest un minimiseur pourS2∗(Ω). A titre de remarque, notons que cette d´emarche fait notamment intervenir l’in´egalit´e
Z ∂Ω |u|2∗dσ 2/2∗ ≤S Z Ω |∇u|2dx+C Z Ω u2dx.
Dans ce travail, et plus particuli`erement dans les chapitres 3 et 4, nous sommes int´eress´es par l’existence de minimiseurs pour Sλ
2∗(µΩ) o`u µ >0 est un param`etre de contraction ou de dilata-tion du domaine. En remarquant qu’une contracdilata-tion du domaine revient `a accroˆıtre la courbure moyenne du bord l`a o`u elle est positive, on obtient le r´esultat suivant par application de ce qui pr´ec`ede.
Th´eor`eme 34. Soit Ω un domaine born´e de RN avec N ≥ 3. Supposons ∂Ω ∈ C4 et notons H la courbure moyenne du bord. Soit x0 ∈∂Ω un point v´erifiant la condition g´eom´etrique (gc) ci-dessus. Soit µ >0, un param`etre de contraction ou de dilatation du domaine.
1. Soit0≤λ < λ1(µΩ). Alors il existe un minimiseur pour Sλ
2∗(Ω).
2. Soit −∞< λ <0. Il existe µ0(λ) >0 tel que si 0< µ < µ0 alors il existe un minimiseur pour Sλ
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